弹塑性力学之物理方程

物理方程

应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)一般表示对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系数cmn共36个取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关张量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律弹性张量的对称性（1）根据应力张量和应变张量的对称性

Cijkl=Cjikl

（2）根据应力张量和应变张量的对称性

Cijkl=Cijlk

独立的分量也是36个。

（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称

Cijkl=Cklij

独立的弹性常数共有21个两种表示方式之间的关系

弹性系数c的下标1、2、3、4、5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

弹性系数cmn也应具有对称性

cmn＝cnm

材料对称性弹性对称面该面对称的两个方向具有相同的弹性关系

以最芦后一上个方姨程为娘例

zx反号涝，而

x，

y，

z和

xy不变页，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz=c55

yz+c56

zx

zx=c56

yz+c66

zx正交樱各向俊异性旗材料具有翁三个采相互胃正交灿的弹锄性对逢称面串。独腥立弹抽性常躁数减卫少到9个

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c22

y+c23

z

z=c13

x+c23

y+c33

z

xy=c44

xy

yz=c55

yz

zx=c66

zx各种脱增强革纤维亩复合劫材料笛和木舍材等明属于朗这类俭材料横观锦各向粱同性炊材料存在挺一个距弹性燥对称乒轴，巾在垂输直该饶轴的仇平面辅内材炉料各晕向同字性将x，y轴互祸换时肾，材妻料弹饭性关肃系不邪变c11=c22，c13=c23，c55=c66将坐惧标系富绕z轴旋蜂转450，剪宽切应斜力应见变关娃系不脉变，c44=(c11

c12)

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c11

y+c13

z

z=c13

x+c13

y+c33

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=c55

yz

zx=c55

zx独立幼的弹后性常桃数减炎少到5个。山例如良：层伪状结虽构的案岩体常。各向贷同性绿弹性谋体广义Ho害ok剂e定律将x轴与z轴互嫂换，茅或将y轴与z轴互牺换时尸，材损料弹背性关平系不篇变，c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11

c12)于是严，独伪立的腰弹性剪常数个减少径到2个

x=c11

x+c12

y+c12

z

y=c12

x+c11

y+c12

z

z=c12

x+c12

y+c11

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=(c11

c12)

yz

zx=(c11

c12)

zx令c12=

，c11

c12=2G

、G称为La浑me弹性圈常数

x=2G

x+

xy=G

xy

y=2G

y+

yz=G

yz

z=2G

z+

zx=G

zx

=

x+

y+

z是体达积应扣变广义Ho戒ok步e定律疏的张袭量形毫式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij=Cij冻kl

klCij单kl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk)式中

ij是二寨阶单死位张旋量某个重面上槽的剪首切应奇力为坚零时闹，剪派应变唤也为达零应力合的主耻方向惭与应磨变的则主方视向重归合体积喉应力喷与体己积应牢变关烈系将等酸式对聋应相颂加，寨可得蓬平均陆应力捧与体疤积应泄变的非关系服：3

0=(劳2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/恳3是平裕均应榴力。

0=K

式中K=雁(3

+2G)/箭3是体包积变胀形模弟量。偏应缓力与有偏应招变关寒系

x=2G

x+

sx+

0=2G(ex+

)+

将体雅应力络与体饥应变岩关系赖代入乒：sx=2Gex同理粒可得懂：sy=2Geysz=2Gez张量州形式愧表示尊为sij=撒2Geij在线韵弹性再范围纯内，滩偏应葱力只甘产生尸偏应获变，彩即只搜产生亦形状垦改变迅，体积锁应力刻只产明生体调应变夏，即例只产庭生体袄积改违变。弹性驼常数判之间博的关漂系单轴量拉伸使用剥物理权关系对，有疼：

x=掩2G

x+

(

x+

y+

z)0牢=钩2G

y+

(

x+

y+

z)

y=

z纯剪容实验使用润物理铺方程司，

xy=咬2G

xy，G是剪否切模担量。G、

、K、E和

共5个弹妄性常齿数，巧但只韵有2个独瞎立由应昌力表持示应刘变正应肺力只待产生悦正应蒙变；劫剪应伪力只菌产生雪剪应蒜变。每个群应变功等于牺各个怎应力乔单独矩作用絮时产跳生的碧应变录之和抹。弹性环应变标能一维散情况一细脉长杆土，长芦度L，横少截面飞积S，两之端受企拉力P作用疯，伸坏长量困为

L，外力渡功为由于吓应力

x=P/S，

x=

L/L，上淹式可行写成单位唯体积母的应羡变能W为求应府变能竿相对餐应变紧的偏铲导三维祥情况考察丘微小帐六面忠体，避作用缠的应监力分齿量

ij，由蔽此产耽生的宣应变距分量

ij各应涝力分控量

ij都只兵在指画标与书它相孤同的炕应变遮分量

ij上做烈功，根据滑能量可平衡帜，单开位体线积的氧应变缸能应话是所以dW=

ijd

ij对于脸弹性殿体，盖应变逮能只疯取决沿于状积态，猴而与狱达到乡丰该状疫态的协路径目无关是应俭变状胃态的延单值顽函数W=W(

ij)，应拦变能参增量dW必须访是全蜘微分=

ijd

ij上式盐对于耽任意醉的应宫变增英量d

ij都应逮成立惹，可导公出如狭下对倡称性Cij插kl=Ckl搜ij将物糊理方思程

ij=Cij茧kl

kl代入dW=

ijd

ij，考瓜虑对惧称性腿，则W=Cij泉kl

ij

kl=

ij

ij应变隔能分性解应变祥能可蛮分解馒为体前积改价变能殿和形砍状改厕变能洲。W=

ij

ij=吼(sij+

0

ij)(eij+

kk

ij)=

0

kk+sijeij第一军项是帆体积准应