炸药爆炸基本理论

《炸药爆炸理论》讲义-第四章冲击波与爆轰波爆轰(detonation)是炸药化学变化的基本形式，是决定炸药应用的重要依据。爆轰反应传播速度非常大，可达每秒数千米，反应区压力高达几十吉帕（几十万个大气压），温度也在几千K以上，爆轰的速度、压力、温度等决定着炸药的做功能力和效率。研究炸药的爆轰现象和行为，认识炸药的爆炸变化规律对合理使用炸药和指导炸药的研制、设计等有重要的理论和实际意义。在爆轰现象发现之前人们就建立了冲击波理论，后来在冲击波理论的基础上建立了描述爆轰现象的经典爆轰波理论，这个理论至今仍然是十分有用无法被替代。炸药在爆炸过程中经常会产生一些波，如爆炸在炸药中传播时形成爆轰波。爆轰产物向周围空气中膨胀时形成冲击波，爆轰波和冲击波过后，介质在恢复到原来状态的过程中会产生一系列膨胀波等，因而在研究炸药爆轰以及爆轰后对外界的作用时，始终离不开波。爆轰的传播可以看成波动过程，具有波动的性质，简要介绍波的基础知识并回顾爆轰理论的发展过程和阶段对学习和掌握炸药的爆轰原理是有必要的。4.1爆轰理论的形成与发展（1）爆轰现象的发现：1881年、1882年，Berthlot，Vielle，Mallard和Le.Charelier在做火焰传播实验时首先发现的。他们的研究揭示，可燃气火焰在管道中传播时，由于温度、压力、点火条件等不同，火焰可以以两种完全不同的传播速度传播，一种传播速度是每秒几十—几百米，一种是每秒数千米，习惯上把前者称为爆燃，后者称为爆轰，可见爆轰也是一种燃烧—是一种迅速而激烈燃烧。（2）1899年，1905～1917年，Chapman和Jouguet分别独自地对爆轰现象作了简单的一维理论描述（即C-J理论），这一理论是借助气体动力学原理而阐释的。他们提出一个简单而又令人信服的假定，认为爆轰过程的化学反应在一个无限薄的间断面上瞬间完成，原始炸药瞬间转化为爆轰反应产物。不考虑化学反应的细节，化学反应的作用如同外加一个能源而反映到流体力学的能量方程中，这样就诞生了以流体动力学和热力学为基础的、描述爆轰现象的较为严格的理论—爆轰波的C-J理论。爆轰波的C-J理论并没有考虑到化学反应的细节，认为化学反应速度无限大，反应瞬间完成，这和实际情况是不相符合的，但是对化学反应的细节进行研究和描述十分困难，这个问题也是爆轰波的结构问题，一直爆轰学的一个重要研究领域。（3）1940年，前苏联的Zeldovich，1942年，美国人Von.Neumann和1943年德国人Doering各自独立对C-J理论的假设和论证作了改进，提出了爆轰波的ZND模型。ZND理模型要比C-J理论更接近实际情况。他们认为爆轰时未反应的炸药首先经历了一个冲击波预压缩过程，形成高温高密度的压缩态，接着开始化学反应，经历一定时间后化学反应结束，达到反应的终态。ZND模型首次提出了化学反应的引发机制，并考虑了化学反应的动力学过程，是C-J理论的重要发展。上述两种理论被称为爆轰波的经典理论。——都是一维理论。（4）上世纪50年代，通过实验的详细观察，发现爆轰波波阵面包含复杂的三维结构，这种结构被解释为入射波，反射波和马赫波构成的三波结构。（5）上世纪50～60年代，进行了大量的试验研究，实验结果显示：反应区末端状态参数落在弱解附近，而不是C-J参数，说明实际爆轰比C-J理论和ZND模型更为复杂，同时开展了计算机数值模拟。（6）上世纪50年代，Kirwood和Wood，推广了一维定常反应理论，指出定常爆轰具有弱解的可能性将随着流体的复杂性增加而增加。弱解模型为实验数据与一维理论的偏离作出了一种理论解释。（7）上世纪60年代开始，Erpenbeck提出了爆轰的线性稳定性理论，对一维爆轰定常解的稳定性（受扰动后，解是否稳定）进行了分析。后来又有人提出“方波”稳定性理论。近年来有人提出了很有希望的计算多维爆轰波的传播方法，这是爆轰理论的最新发展。4.2波的基本概念4.2.1波波可分为有两大类，即机械波与电磁波。水波、声波等是机械波，也称为力学波，冲击波、爆轰波是机械波；光波、无线电波、x射线等是电磁波。机械波必须在介质中传播，没有介质无法传播，在真空中不能传播任何机械波，但对电磁波的传播，介质不是必要的，比如光波可以在真空中进行传播。机械波在介质中传播时，介质可产生塑性或弹性变形，相应的产生了弹性波和塑性波两类。本课程讨论的是机械波，简称为波。“波”的概念：扰动在介质中的传播，或介质状态变化在介质中的传播。“扰动”就是介质状态的改变，如T，P，ρ，V等改变。“波阵面”的概念：在波传播过程中，介质原始状态与扰动状态的交界面。波阵面可以是平面，曲面（球，柱等）。波阵面的移动方向即表示波的传播方向。“波线”的概念：表明波动传播方向的射线，叫做波射线（波线）。在各向同性的介质中波线与波面垂直。“波速”的概念：波阵面移动的速度（注意：波速是扰动、振动的传播速度，并不是质点速度，与质点的振动速度是两个概念，波的传播是扰动的传播，不是质点的传播）。“纵波”的概念：介质质点振动方向与波传播方向平行的波。如，冲击波是纵波。“横波”的概念：介质质点振动方向与波传播方向垂直的波。如，电磁波是横波。“小扰动波”与“强扰动波”的概念：是指介质的状态参数变化的大小程度，小扰动波，介质的状态量变化小，强扰动波介质的状态量变化大，声波是小扰动波或称为弱扰动波，冲击波是强扰动波。4.2.2压缩波与稀疏波压缩波（PressureWave）是指介质受扰动后波阵面上介质的状态参数如T，P，ρ等增加的波，或波阵面所到之处，介质状态参数如T，P，ρ等增加的波。而稀疏波或膨胀波（expansionwave/rarefactionwave）是指受扰动后波阵面上介质的状态参数如T，P，ρ均下降的波。下面以无限长管中活塞推动气体的运动来说明压缩波和稀疏波性质。已知为初始时刻，活塞位置在处，介质初始状态为，。（1）若轻推活塞向右运动，时刻，活塞运动到位置，于是靠近活塞的、在之间气体受到压缩而移动到之间。在之间介质状态参数为，，而面右边的气体仍保持原有的状态。显然，介质质点的运动方向与波阵面运动方向一致。轻推活塞以后，若活塞保持匀速，压缩区的气体不再受到扰动，压力、密度、质点速度等将维持不变，压缩过程将逐层进行下去。图4-1活塞向右推动形成压缩波（2）若将活塞向左轻拉，时刻，活塞位于位置，则紧贴活塞的气体必然要向真空带区膨胀，这种膨胀扰动在时刻影响了面。由于膨胀作用（气体质点间距拉大），气体为了占据活塞向左移动后腾出的空间，必然向左膨胀，从而气体质点产生向左运动的扰动速度，扰动区的压力、密度等下降。但是扰动的传播速度是向右的。扰动所到之处状态参数均下降，介质质点的移动方向与扰动传播（波的运动）方向相反。图4-2活塞向左拉动形成稀疏波从（1）、（2）的分析不难看出压缩波与稀疏波的特点为：压缩波波阵面所到之处，介质状态参数增加，且波的传播方向与介质质点的运动方向一致；而稀疏波波阵面所到之处，介质状态参数减小，且波的传播方向与介质质点的运动方向相反。（3）若活塞在管子中央以一定频率作往返运动，则管中气体将以一定频率交替地发生压缩和膨胀，介质质点将在原来的位置振动，而波向左或向右传播，形成声波（弱的压缩波与稀疏波的合成）。声波可以描述为：弱扰动在介质中的传播。4.3完全气体，量热完全气体与等熵关系完全气体（perfectgas）是在不考虑分子间的作用力和分子体积的情形下，一种理想化的气体，又称为理想气体（idealgas）。它满足关系和，。理想气体是假想的、理想化的气体模型，世上无理想气体，实际气体很难严格遵循理想气体状态方程。热完全气体是真实气体在一定温度、压力范围内的近似，即可近似看成理想气体。对于热完全气体，满足关系：，可近似认为在一定温度范围内，CP,CV保持不变，。但一般情况下，CP,CV是温度的函数，。量热完全气体（caloricallyperfectgas）是指保持不变的完全气体，有关系。量热完全气体又称为“多方气体”。下面讨论等熵关系的建立：一般地：，有：（4-1）对可逆过程：（4-2）将（4-1）的第2式和（4-2）进行比较有：（4-3）又因为有热力学定义：对焓、Helmholtz自由能、Gibbs自由焓的表达式分别微分，有：（4-4）（4-5）（4-6）而，有：（4-7）将（4-2）的第一式、（4-4）、（4-5）、（4-6）与（4-7）式的四个式子分别进行比较有：（4-8）又因为：所以：，类似地可有如下一组关系式，即：（4-9）（4-9）式即是热力学的Maxwell关系式。将（4-9）的第二式代入（4-1）的第一式有：又由（4-3）式：，代入上式：（4-10）若（4-11）而，类似有：代入（4-11）式中第一式，有：（4-12）（4-10）、（4-12）式就是熵函数的一般表达式（微分形式），也可写成积分形式：（4-13）对热完全气体或理想气体，有：，于是有：（4-14）对量热完全气体，有：（4-15）定义，称为绝热指数又因为，代入（4-15）式，得：（4-16）对绝热可逆过程（必等熵），有：，所以有：（4-17）又因为：，所以有：（4-18）（4-18）式称为多方气体的等熵关系，亦即绝热关系。下面讨论定容比热、定压比热以及两者之间的关系：比热的定义式为：，质量比热的单位为：，所以对于定容过程：（4-19）由热力学第一定律：（4-20）而热焓定义为：（4-21）对定容过程，由（4-20）式得：（4-22）对定压过程，由（4-21）式得：（4-23）因为：，所以：（4-24）即：（4-25）由（4-23）～（4-25）式，得：（4-26）比较（4-1）式第二式与（4-2）式，有：（4-27）又由Maxwell关系式：（（4-9）式第二式）故有：（4-28）而对于理想气体，有：，于是：，（4-29）将（4-29）式代入（4-28）式，有：（4-30）又由绝热指数定义，故，（4-31）4.4气体一维流动的基本方程组流场是指流体运动所占据的空间，流场中任一质点流体的物理量如等是空间的位置（）（或）和时间t的函数，即或，T=(x,y,z,t)或T=(,t)等。如果流场中的物理量只是位置函数，而与时间无关，则称为定常流场，这种流动就称为定常流动（steadyflow），否则为不定常(unsteadyflow)的。如果流场中各物理量在空间分布只与一个几何坐标x有关，那么就称为一维（onedimensional）流场，相应的流动称为一维流动（onedimensionalflow）。推导条件：忽略气体的粘性、热传导（绝热）、无化学变化，不考虑体积力[如重力（对气体可忽略）、电磁力等]对流动的影响，只有体积膨胀功。A、连续性方程的推导（质量守恒方程）取如图4-3所示的控制体（开口系，当地观点，即Euler方法），为变截面（截面变化是光滑的）流管的一段。变截面流管中处的截面积为，密度为，气体流速为，于是：图4-3连续性方程的推导单位时间内流入控制体的质量为：同样时间内从面流出的质量为：微元中气体质量的变化量为：由质量守恒，单位时间内流入微元体的质量－流出dx的质量＝微元体段内的质量对时间的增加率。即：（4-31）即：（控制体体积不变，与t无关）为任取的（4-32）（式中，，）（4-32）式就是按当地观点建立的气体一维流动的连续性方程。下面讨论物质导数（Lagrange导数）的变换关系：物理量的物质导数（或称随体导数）是指某个封闭系统中的流体在运动过程中，它所具有的物理量（如：）对时间的变化率，是物理量随流体质点运动时的对时间的变化率。物质导数的定义为：，而则称为Euler导数。下面以求加速度为例，来给出物质导数的微分变换关系：设流体质点在流场中沿运动轨迹C（空间的一条曲线，见图4-4）运动，从当地观点出发，流体速度为：假定t时刻，流体微团在M点，速度为，经时刻后，运动到N点，速度为，则加速度为：（4-33）由于流场的非均匀性和不定常性，该微团的速度在运动过程中不止经历了的变化，而且也经历了的变化。当然也与时间长短有关。于是（4-33）式可以写成：（4-34）图4-4流场中质点运动加速度求解（4-34）式中代表沿S方向移动单位长度引起的速度变化，而如今单位时间移动了的距离，所以S方向上速度的变化为。对一维情况有：（4-35）对于等，亦有同样的变化关系，对于物理量写成通式形式为：（4-36）上式中为全导数，或称为物质导数、随体导数、Lagrange导数，它反映了流体质点在运动过程中物理量随时间的变化率；而称为当地时间导数，局部导数或Euler导数，它反映了流场的不定常性，反映了流体微团流过空间固定点上对时间的变化率；而称为迁移导数，对流导数，反映了流场的非均匀性，是流体微团运动到不同位置时所引起的F的变化。实际上，，而，于是对于三维、直角坐标系情况下物质倒数可写成：（4-37）由（4-36）式，可将（4-32）式化为：（4-38）——随体观点的连续方程注：B、欧拉方程—动量守恒方程或运动方程取如图4-5的控制体（闭口系，随体观点），设微元体的侧面积为S，该质点具有的速度为，为管壁切线与轴的夹角（如果管壁是光滑的，则是无穷小量），显然：，即：图4-5欧拉方程的推导微元体的面受到的压力为，面受到的压力为，而侧面所受力为，即侧面受力在方向投影为：侧面受力在与垂直方向投影为：（互相抵消）微元体x方向受到的总压力为（不考虑粘性力、重力等），由：＝忽略二阶小量，总压力为：根据Newton第二定律，知：（4-39）由于微元体尺寸，于是有：（4-40）——欧拉方程（动量守恒方程）为加深理解，以下由开口体系，Euler的观点推导动量方程：由面流入的动量为：由面流出的动量为：（依次忽略二阶小量）净流入的动量为：流入－流出＝微元体受到的合外力为：单位时间微元体动量的变化为：（依次忽略二阶小量）由动量定理：控制体内动量的增加率＝动量净增加＋微元体受的外力，即：（4-41）（）（4-42）即又（连续性方程（4-32）式）（4-43）可见，上式与（4-40）完全一样。C、能量方程若忽略热损失，不考虑非体积力做功，只计体积功的情形下，取微元体为研究对象，则：单位质量气体总能量为：（—单位质量内能，—单位质量动能）单位时间内通过面进入微元体的能量：单位时间内通过面流出微元体dx的能量：在面上，外力单位时间内对微元所做的功为：在面上，微元体单位时间内克服外力所做的功为：微元体的总能量变化率为：由能量守恒：微元体的总能量变化率应等于单位时间内流进的净能量加上外力做功的和，即可写成式子：（4-44）与无关（控制体体积不变），于是：（4-45）又(连续性方程（4-32）式)，故（4-45）式可简化为：（4-46）——能量守恒方程由上式再由（4-43）式（即动量方程），可得出：（4-47）再根据热力学原理进一步变化上式，由热力学第一定律：（4-48）上式中：—环境给封闭系统传递的热量；—系统内能的增加；—系统对外界（环境）所做的功。热力学第一定律的微分形式为：（4-49）若只考虑体积功，则有：（—内能；—热量；V—体积）（—单位质量的供热量；—单位质量内能；V—比容）又由于：（对封闭可逆过程）（4-50）且，（4-51）（4-52）将（4-47）式、（4-38）式代入（4-52）式，得：即：，或（4-53）可见，绝热可逆条件下的流动是等熵的（无粘条件下）。又因为：所以：（4-54）由以上推导的非定常流动的基本方程组为（变截面，一维）：【方程组（I）】守恒方程式普遍适用的，对任何流体都相同。状态方程则反映了流体在流动中的特殊性。四个方程，四个未知数：，方程组封闭，可求解。对等熵过程（绝热可逆过程），方程组中的第三式（能量方程）可用或来代替。而对于多方气体，能量方程可用来代替。对于定常流动，所有物理量（等）对时间的偏导数均为零。同时用热焓代替e，可得定常流动方程组：【方程组（II）】注：对于定常流动，由（4-45）式可得：（4-55）（注：，）同样可用（等熵）或代替方程组（II）中的第三式。（注：，若是多方气体，则有成立。4.5音速（声速），马赫（Mach）数与气体动力学间断4.5.1音速（声速）音速即声速，是微弱扰动的传播速度。首先讨论声速公式的推导：如图4-6所示的等截面无限长管中，活塞向右轻微推动一下，即速度由，则在管中产生一道向右传播的弱扰动波，波阵面，设波速为，波前区气流静止，将坐标建立在波阵面上（动坐标），则进入波阵面的气流速度为，流出的速度为－（），此流动为一维等截面定常流动。图4-6音速公式的推导由方程组（II）知：，忽略二阶小量后，（4-56）又由方程组（II）第二式（），知：（4-57）由（4-56）式和（4-57）式得出：（4-58）由方程组（II）第三式（），知：（4-59）（注意区别：方程组（II）中表示跨越或流入流出波阵面的速度变化，而（4-57）式、（4-59）式表示速度的微小增量）。而由热力学公式：即声波传播过程是等熵的。故有：（4-60）又因为：，（4-61）可见，声速是热力学函数，且是恒大于零的标量。流体密度随压力变化越大，即流体的压缩性越大，声速越小。因此，也可将声速看成是流体可压缩程度的度量。可压缩程度与流体性质有关，对于不可压缩流体，理论上声速为无限大。对多方气体，有（为常数），于是有：所以有：（4-61）——声速的Laplace公式可见，对多方气体而言，声速与介质的状态有关，取决于绝热指数，温度和气体的相对分子量（）。气体温度越高，声速越大；密度越大，声速越大。4.5.2Mach数Mach数用来表示流场中质点速度与当地音速之比，用式子：表示。根据Mach数大小可以将可压缩流动进行分类：亚声速流subsonic声速流sonic超声速流supersonic高超声速流hypersonicMach数的物理意义：与流体惯性有关，与流体弹性有关。Mach数可以理解为流体的惯性力与弹性力之比。对多方气体，，则可理解为流体的定向动能和内能之比。4.5.3气体动力学间断气体动力学是流体动力学的一个重要分支，主要是研究可压缩流体运动规律与及其与固体相互作用的一门科学。流体可压缩性可表示为：（4-62）气体的可压缩性远大于液体和固体，，如果，就必须考虑流体的可压缩性。间断：流场中的一个面，通过这个面有物质流动，并且介质状态参数发生不连续变化。间断面遵守的基本假定有：（1）间断面两侧气体处于热力学平衡状态；（2）介质的状态方程已知，并且在一般情况下，间断面两侧介质的状态方程可以不同；（3）间断面内部才存在粘性、不平衡性以及热传导等效应，间断面外，这些因素的影响小，可以忽略。一般间断面是个有“厚度”的曲面，但是为了简便，往往也不考虑间断面内部的粘性，不平衡性以及热传导，认为是一个几何面。对这样的间断面，取间断面作为控制体（研究对象），则在间断面法线方向，三个守恒方程成立。图4-7间断面对一维定常流动有：（4-63）式子，表示波前物理量与波后物理量之差，如：间断面实质上是一种简便的数学模型，便于数学处理。在间断面处，有：，，成立，对应于数学上的跳跃间断。当是等截面流管时，质量与动量方程的微分形式为：由（2）（4-64）——积分形式动量方程4.6冲击波基础知识冲击波，又称激波，但“冲激波”或“击波”的说法是错误的。冲击波的定义：冲击波是强压缩波，波阵面所到之处介质状态参数发生突跃变化，相对于波前介质，传播速度是超音速的()，相对于波后介质传播速度就是亚声速的（），或者说，从波前观察，激波是超声速的，从波后观察是亚声速的。4.6.1冲击波的形成以一维管道中的活塞运动来说明激波形成的物理过程。设有无限长管子，左侧有一活塞。在时，活塞静止，位于管道的处，管中气体未受扰动，初始状态参数为：。假定从到时刻，活塞速度由0加速到时出现激波，状态参数为：。图4-8冲击波的形成过程对每个小的时刻时，介质状态参数只发生变化，因而遵循声波或弱压缩波传播规律：（充分大）当，活塞以推进到1－1处，活塞前气体受到弱压缩，产生第一道弱压缩波，波后状态为：，声波传播速度为，于是：（4-65）当，活塞运动道2－2处，产生第二道压缩波，该波在已压缩过的气体（）中传播，波速为：（4-66）显然，（4-67）即第二道压缩波比第一道波快，终就会赶上第一道波，从而叠加成更强的压缩波。当时，有：（4-68）依次下去，活塞前气体将产生一系列弱压缩波，而后一道波总是比前一道波传播的快，从而叠加形成强的压缩波——即形成了冲击波。很容易理解，活塞运动的加速度越大，则形成的冲击波的时间愈短。活塞在充满气体的管道中加速运动形成冲击波时，并不要求活塞的运动速度超过未扰动气体中的音速。当管中气体为1个大气压、活塞运动速度为10米/秒时，所形成的冲击波波阵面上的超压ΔP为0.05个大气压，活塞速度为340米/秒时，所形成的冲击波波阵面上的超压ΔP为数个大气压。从这里也可以看出，所形成冲击波的超压ΔP随着活塞的速度或加速度的增加而增加。而在空气中运动的物体要形成冲击波，其运动速度必须超过（或接近）空气中的音速。这是因为在封闭的管道中，介质状态参数的变化很容易积累起来而形成冲击波（因为活塞将活塞后的膨胀区与活塞前的压缩区隔离开了），而物体在（例如弹丸）在三维的空间运动时，若其速度低于空气中的音速，则前面的压缩波以空气中的音速传播，物体向前运动的同时，周围空气则向其后的真空地带膨胀，形成膨胀波，使得运动物体前方空气的压缩状态不能叠加起来，所形成的压缩不总是以未扰动空气中的音速传播，故不能形成冲击波。当物体的运动速度超过当地空气中的音速时前面的空气来不及“让开”，即空气的状态参数来不及均匀化（膨胀波以音速传播），突然受到运动物体的压缩，能形成冲击波。总之，冲击波是由压缩波叠加而成的，压缩波叠加形成冲击波是一个由量变到质变的过程，二者的性质有根本的区别。弱压缩波通过时，介质的状态发生连续变化，而冲击波通过时，介质状态参数发生突跃变化。4.6.2平面正冲击波基本关系平面正冲击波波阵面是个强间断面，往往又说冲击波是强间断面，是数学上的跳跃间断点：平面正间断面或平面正激波特点：（1）波阵面是平面；（2）波阵面与未扰动介质的可能流动方向垂直；（3）忽略波阵面两边介质的粘性与热传导。正激波基本关系建立：设激波运动（传播速度）为，见图4-9，下标为0的表示波前参数，下标为1的表示波后参数，P、T、e、u、ρ为介质的压力、温度、内能、质点速度或气流速度和密度，将坐标系建立在波阵面上，令波阵面右侧的未扰动介质以速度向左流入波阵面，而波后已扰动介质以速度由波阵面向左流出。图4-9平面正激波基本关系式的建立取波阵面为控制体，此时波前波后介质状态参数间关系应满足一维定常流条件。静坐标系中，所有参数是的函数，而动坐标系中，仅是的函数，与时间无关）由方程组（II），知：（4-69）——质量守恒（4-70）——动量守恒（4-71）——能量守恒以上三式就是平面正激波波前、波后参数间的基本关系式。（4-71）式可写为：（4-72）由（4-69）式，得：由（4-70）式，得：上两式代入（4-72）式并化简得到：（4-73）冲击波关系式的能量方程又称为冲击波绝热方程，（4-73）、（4-71）都是激波绝热方程，亦叫激波的Hugoniot方程。4.6.3冲击波参数的计算因为：，，（4-69）式可写为：（4-74）也可写成：，或（4-75）将（4-75）式代入（4-70）式得：（4-76）由（4-75）、（4-76）两式，得：（4-77）将（4-77）式中两式代入（4-71）式中，得：即：（4-78）这也是冲击波绝热方程（Hugoniot方程）。根据（4-76）式、（4-77）式、（4-78）式，如果已知激波的超压（ΔP=P－P0）可很方便的对冲击波其他参数进行计算，该三个方程与原（4-69）式、（4-70）式、（4-71）式完全等价。而对于多方气体，其比内能函数为：（注：）将上式代入（4-78）式，得：（4-79）或：（4-80）（4-79）式或（4-80）式即为多方气体的冲击波绝热方程（Higoniot方程）。方程（4-76）式、（4-76）式、（4-79）式或（4-80）式中共有四个未知数即、或、和。一般来说介质的初始状态是给定的，绝热指数已知，即、、、和是已知，故求、或、、时，必须给定一个未知数，再利用状态方程：，即可计算。但是在计算中需要知道γ，γ值取决于分子的结构和温度。对空气，按双原子分子考虑，时，；时，在273～3000K范围内，，由此可以计算；当时，由于波阵面温度很高，离解和电离会明显发生，气体内能和粒子数目也相应增加，必须考虑空气的离解和电离对的影响。例：已知未扰动空气的初始参数为，压力P0＝9.8×104Pa，密度ρ0＝1.25kg·m-3，u0＝0，T0=288K。如果冲击波的超压ΔP=9.8×106Pa，试用理想气体的冲击波关系式计算冲击波的其他参数。解：对于空气，按照理想气体，值不变，＝1.4，P1＝P0＋ΔP，ρ1=5.67ρ0=5.67×1.25=7.09(kg·m-3)，V1=1/ρ1=1/7.09=0.14(m3·kg-1)用上述方法，再考虑到k值随温度的变化，计算得到的结果列于表4-1。括号中数字是将k作为不随温度变化的常数进行计算的结果。表4-1空气冲击波参数，，,21.23336（336）1.632.15（2.15）175（174）368452（453）51.76482（483）2.843.74（3.72）452（453）439698（700）82.26618（622）3.534.66（4.62）627（630）497875（880）102.5705（715）3.885.12（5.03）725（726）528978（986）204.121126（1173）4.816.35（6.14）1095（1087）6611360（1387）305.571522（1630）5.387.10（6.63）1364（1360）7631676（1695）406.951898（2080）5.767.60（6.93）1594（1182）8471930（1952）508.282260（2540）6.047.96（7.10）1795（1773）9202150（2185）609.532660（3000）6.308.31（7.22）1978（1965）9842350（2390）8011.763210（3900）6.708.85（7.40）2300（2270）10802705（2760）10014.153890（4800）7.069.32（7.49）2590（2540）11803022（3080）由于离解和电离造成粒子数目增加，气体的状态方程和激波绝热压缩方程也随之发生变化，计算过程较为复杂，计算的结果表4-2，表4-2中括号中的数字是按照γ值不变的理想气体公式求得的结果。表4-2考虑离解和电离时的空气冲击波参数，,，21620.5（36.9）9.00（5.85）11.6（11.5）13.1（13.6）26622.0（45.2）10.0（5.88）13.0（12.5）14.4（15.1）38426.0（65.1）11.0（5.90）15.7（15.1）17.3（18.1）104048.0（174）11.0（5.96）25.8（24.8）28.4（29.8）162075.0（271）10.0（5.98）32.0（31.0）35.6（37.2）2990114.0（498）9.5（5.99）43.5（42.1）48.6（50.6）4080140.0（680）9.0（6.00）50.8（49.6）57.0（59.1）4.6.4冲击波的性质为了便于讨论冲击波性质，对冲击波基本关系作一变换，将主要参数、和表示为未扰动介质和的函数，并令（波前介质静止），于是：声速：，或(4-81)因为：（4-82）所以：（4-83）由上一节（4-80）式：，代入（4-83）式有：（4-84）比较（4-84）式两边有：（4-85）所以：（4-86）考虑到（4-81）式：（4-87）或：（4-88）由上一节（4-70）式可知，（4-89）将（4-88）式代入（4-89）式得：（4-90）由（4-83）式，得：（4-91）将（4-88）式代入（4-91）式，得：（4-92）（4-88）式、（4-90）式、（4-92）式即为以、表示的激波波阵面前后介质参数突跃变化的表达式，也可以运用它们进行激波参数的计算，如果已知激波的速度很容易计算其他参数。一般来说激波的压力和速度是很容易实测的，由此可以计算其他参数。如果波前介质不是静止状态的，而是具有与激波方向一致的速度，则同样可推导出：（4-93）（4-94）（4-95）下面分析激波的基本性质：性质1：相对波前未扰动介质，激波的传播速度是超声速的，即满足，而相对于波后已扰动介质，激波的传播速度是亚声速，即。性质1的证明过程如下：由（4-84）式得：即：上式两边同除：即：（4-96）又由（4-69）式：，得：即：（4-97）将（4-80）式、（4-96）式代入（4-97）式得：（4-98）对激波：且故：（4-99）（4-100）即：，。证毕！对弱激波（弱压缩波声波）：所以：，即：，即：对弱激波：，（）由热力学定律：，所以：即：，即弱激波传播过程是等熵的。对强激波：，，由（4-93）式、（4-94）式、（4-95）式得：（4-101）（4－101）是强激波的基本关系式。性质2：激波的传播速度不仅与介质初始状态有关，而且还与激波强度有关。令，称为激波强度，于是，将其代入（4-96）式有：，即：（4-102）故（4-103）式中表示了介质初始状态的音速，对于声波，有，，因此声波传播速度只与介质状态有关。性质3：激波波阵面两侧介质参数发生突跃变化，介质质点沿波传播方向得到加速而发生位移，，且，或；此外，激波过后，介质质点速度的增量（）总是小于激波相对于未扰动介质的传播速度，即。由（4-94）式，知：（4-104）对于（4-104）式，因为，且，，所以有：成立。另外，（4-104）式等号右边，所以（）与（）同号，即介质质点沿波传播方向得到加速而发生位移。性质4：激波压缩后，介质的熵是增加的，介质的温度是增加的。激波的绝热方程或Hugoniot方程得（多方气体）：（4-104）若令，则（4-104）式变为：（4-105）上式说明，在平面上，激波的绝热方程是双曲线，其中心在（，），两条渐近线为：，（4-106）当时，，即双曲线过初态点（，）。下面讨论气体的几种情形压缩：（1）多方气体的等熵压缩：——等熵关系（绝热关系）；（2）等温压缩：；（3）激波绝热压缩：——激波绝热方程。很容易在平面上描绘出三种压缩所对应曲线几何位置关系，如图4-10所示，假定初态点均为。图4-10P－V平面上等T线、等S线与H线过的Hugoniot曲线位于过该点的等熵线的右上方，等熵线上各点熵均等于，而Hugoniot曲线上各点的熵均大于（A点除外），等熵线即是弱扰动传播的过程线，也是等熵压缩的终态线，而Hugoniot线则不是激波压缩的过程线，仅是经一次激波（不同强度）压缩后所有状态点的集合。等熵压缩时，无论压缩或膨胀多少次，终态都在曲线上，而激波压缩时，一次压缩后，再经一次激波压缩，则压缩后的状态不在原Hugoniot曲线上，而在一新的Hugoniot曲线上，同时分段压缩比一次压缩所能达到的最终密度要大。如图4-10，分析三个物理过程分段压缩与不分段压缩情况。a、不分段压缩等熵压缩时：，有：（）（注：该方程又称为泊松方程）则：分段等熵压缩时：，有：：（）：所以有：可见，对于等熵（绝热）压缩，分段压缩与不分段压缩压缩程度一样，终态点位于同一曲线上。b、不分段等温压缩：，有：分段等温压缩：，有：：：所以有：可见，对于等温压缩，分段压缩与不分段压缩压缩程度一样，终态点位于同一曲线上。以上两种情形分段不分段终态一致，说明等温压缩和等熵（绝热）压缩，分段压缩的终态点在同一曲线上。那么激波压缩时，是不是如此呢？下面将进一步讨论。b、激波不分段压缩时，有：：分段激波压缩：，有：：：所以有：因此，对于激波压缩，分段压缩的终态密度大于不分段压缩，说明分段压缩后，终态点在一新的H曲线上，且新的H曲线处于原来的下方。这一点与等温压缩和等熵压缩是不同的。在激波绝热线上，连接初态点与终态点的直线称为波速线，又称为米海尔逊直线或Rayleigh直线。由（4-77）式得：（4-107）故称为波速线，如果波前静止，即，则：，直线越陡，波速越大。由（4-70）式可得：若，则：可见，（ⅰ）在A点之上：，，所以：与同号，方向相同，为压缩波；（ⅱ）在A点之下：，，所以：与异号，方向相反，为膨胀波。接下来证明结论：沿激波绝热线，熵是增加的。证明：对激波压缩过程，由热力学第一定律知：（4-108）如图4-11所示，分析由Hugoniot曲线熵初态点熵值的变化情况。由激波的Hugoniot方程：两边取微分得：（4-109）将（4-109）式代入（4-108）式，得：（4-110）（式中）这就是沿Hugoniot曲线的熵表达式，实质是Rayleigh向右扫过一点点，熵的增加量计算式。图4-11沿激波绝热线上熵值的变化图中线、线与线所围成的阴影部分面积令为，则：这就是所谓的“面积规则”，该面积等于（4-110）式的值。将（4-110）式改写为：（4-111）将（4-111）式对V求导得：（4-112）将（4-112）式再对V求导得：（4-113）在A点，有：，由（4-111）式得：由（4-112）式得：由（4-113）式得：在A点的上方的熵用Taylor展开，有：（4-114）故有：（4-115）即：（4-116）对正常特性的流体有：所以：若，则；若，则。可见，在A点以上各个状态，，是个自发过程。即激波压缩后，介质的熵是增加的。而由，，，是非自发过程，不可能发生，即稀疏激波不可能存在，膨胀波是连续变化的。注意：上述各个性质是由多方气体中的激波得出的，但对于其它介质中的激波同样适用。注：由（4-105）式得：，其中，，为垂直渐近线，于是有：（4-117）（4-118），，，。可见，对于多方气体还可以解析地说明4.6.5冲击波的传播与反射a、冲击波的传播过程——自由传播激波的自由传播是指激波完全依靠自身的能量的传播过程。活塞加速运动形成激波后，如果活塞突然停止运动，则激波失去外界能量补充，将依靠自身的能量继续传播。活塞突然停止后，由于惯性，紧贴活塞的气体质点仍以活塞速度向前运动，这样活塞前出现了空隙，从而在受激波压缩的气体中产生膨胀波，传播方向与激波方向一致，并能追上激波，从而使激波强度减弱。此外，由于激波传播过程中存在着粘性摩檫、热传导，热辐射等不可逆能量损耗，也促使激波强度减弱。空中点爆炸：形成冲击波为球面激波，其衰减速度比平面一维激波自由传播时的衰减速度快得多。除膨胀波和不可逆能量损耗影响外，球形激波波及的范围与距离R的三次方成正比。受到压缩的气体体积迅速增加，单位质量压缩气体得到的能量随波的传播距离迅速减小，因而激波的强度会迅速下降。b、冲击波的反射冲击波的反射有正反射与斜反射。正反射：入射冲击波的传播方向垂直于障碍物表面，并在垂直障碍物表面发生发射，其传播的方向与入射波的传播方向相反。斜反射：入射冲击波的波面与障碍物表面形成一角度，并在障碍物表面反射。图4-12给出了这两种反射的示意图，此外在一定条件下还会发生激波的马赫反射，马赫反射在本讲义中不作介绍，可参考有关参考书。图4-12激波的正反射与斜反射正反射激波基本关系式：如图4-12所示，对于入射波有：（多方气体）对于反射波有：（多方气体）因为固壁为绝对刚性的，因而反射时，入射波前静止，，故有：（4-119）令，，则，于是（4-119）式变为：（4-120）对于空气，有，代入上式有：（4-121）（ⅰ）若为强冲击波，，；（ⅱ）若为弱冲击波，，。故冲击波反射后，压力增加至2～8倍，反射后对目标的破坏作用更大。必须指出，对强冲击波，空气已不能看作是完全气体，存在着离解与电离，值要变小（如＝1.1～1.2），此时反射压力更大。斜反射激波基本关系式在此就不作讨论。4.7爆轰波爆轰波是指带有化学反应的冲击波,即冲击波＋化学反应区＝爆轰波。4.7.1C-J理论由Chapman与Jouguet首先提出，后称为C-J理论。假定：冲击波与化学反应区作为一维间断面处理，反应在瞬间完成，化学反应速度无穷大，反应的初态和终态重合。流动或爆轰波的传播是定常的。一维平面波：药柱直径无限大，忽略起爆端影响。间断面：爆轰波理解为冲击波，化学反应区作为瞬间释放能量的几何面紧紧贴在冲击波的后面，整个作为间断面来处理，从间断面流出的物质在已处于热化学平衡态，因此波后可用热力学状态方程来描述。稳定爆轰(定常)：坐标系可作为惯性系建立在波阵面上。上述假设即是C-J假设，C-J假设把爆轰过程和爆燃过程简化为一个含化学反应的一维定常传播的强间断面，对于爆轰过程，该强间断面为爆轰波，对于爆燃过程则叫做爆燃波。将爆轰波或爆燃波简化为含化学反应的强间断面的理论通常称为Chapman-Jouguet理论，简称C-J理论。A、爆轰波基本关系式与激波间断相似，在爆轰波间断面两侧，三个守恒方程成立（动坐标系中）：图4-13爆轰波基本关系式的建立上述三个方程在形式上和激波的关系式完全一样，但是能量方程（4-124）式中不仅包括物质热运动的内能，而且还包括化学反应能。在激波关系中，而在爆轰波关系中，由于存在化学反应，，其中为化学反应进展度。：表示未进行化学反应的初态；：表示反应终态，对于C-J理论，终态与初态重合。根据假定，从到是瞬间完成的，期间没有时间间隔。用表示单位质量(或mol)的化学反应能，则可写为：（4-125）比内能可表示为：Q—炸药的爆热（爆轰化学反应放出的热量），所以有：,故（4-124）式可写为：（4-126）或可表示为:（4-127）（4-127）式就是爆轰波的Hugoniot方程。（4-122）式、（4-123）式、（4-127）式就是爆轰波的基本关系式。B、爆轰波波速线爆轰波的波速线与激波波速线类似，均是由形式相同的方程（4-122）式、（4-123）式得来的：（4-128）——爆轰波波速线，简称爆速线（也叫米海尔逊线、Rayleigh线）在P-V平面上，这是一个点斜式的直线方程，它表示通过点，斜率为的直线，如图4-14所示：图4-14爆轰波波速线直线斜率为：（4-129）由于，所以：与必异号。即经过爆轰间断面，压力和比容必须反向变化，或压力与密度必须同向变化。直线和将P-V平面分为4个区，如图4-15所示：图4-15P-V平面的分区Ⅰ、Ⅲ区中与同号，不符合守恒方程，无物理意义。在Ⅱ区，，，对应于爆轰过程；在Ⅳ区，，，对应于爆燃过程。对爆轰波，，由（4-123）式知：与同号，说明爆轰波通过后，介质质点在爆轰波方向受到加速，或者如果，则介质质点运动速度与同向。C、爆轰波绝热曲线——Hugoniot曲线此关系即为由三个守恒方程得到的P-V关系在P-V平面上的几何表示。（4-127）式在P-V平面上的曲线为双曲线：由于，（假定爆轰前后均为理想气体，且不变），于是（4-127）式可写为：（4-130）若令，则（4-130）式变为：（4-131）（4-131）式在P-V平面上为双曲线，其中心为（），（），两条渐近线为：（4-132）当时，（4-133）图4-16不同Q值的爆轰波Hugoniot曲线由（4-133）式知，只有当时，即无化学反应时，，双曲线才会通过（）点，即初态点；而当时，即有化学反应时，双曲线不会通过（）点。越大，越大，说明曲线位置越高，如图4-16所示。爆轰波Hugoniot曲线的物理意义：表示爆轰波在活性介质中传播时，经由初态点（），满足3个守恒方程的所有终态点（）点的集合。激波绝热线经过（）点，而爆轰波绝热线不通过初态（）点。和直线将Hugoniot曲线分为3段：B点以上为爆轰支，D点以下为爆燃支，B－D间没有意义，如图4-17所示：图4-17Hugoniot曲线上各段的物理含义在爆轰支，B点：，对应于定容爆轰，波速线AB的斜率，对应于爆轰速度无穷大。在M点有：（4-134）M点对应于C-J爆轰，M点即为C-J爆轰点，此时；在M点以上有：，对应于强爆轰，或称为超驱动爆轰；在MB段有：，对应于弱爆轰。在爆燃支，D点：，对应于定压燃烧，波速线AD的斜率，对应于的极限情况，为无限缓慢的燃烧状态。在E点有：（4-135）E点对应于C-J爆燃，E点即为C-J爆燃点，，其中为C-J爆燃速度；ED段：，对应于弱爆燃；E点以下：，对应于强爆燃。D、爆轰波稳定传播的条件——C-J条件（又称爆轰选择定则）方程（4-122）式、（4-123）式、（4-127）式是由三个守恒方程得到的，再加上状态方程共有4个方程，但有5个未知数：，，，和，构成方程组求解未知变量，还需要补充一个方程才能求解，这个方程就是：即所谓的C-J条件。这个条件就是爆轰波能够稳定传播的条件，也就是说如果没有这个C-J条件，那么爆轰波支上的任何状态都是可能的，但实验表明，对气相或凝聚相炸药爆轰，在给定初态下，爆轰波都是以某一特定的速度稳定传播的。另外，从几何上看，三个守恒方程有解时，在理论上有三个解（波速线和爆轰波的Hugoniot曲线可能有三个交点），即强爆轰解、弱爆轰解和C-J爆轰解。然而，Chapman和Jouguet提出：只有C-J爆轰才是稳定存在的，这就是所谓的C-J理论。那么什么叫C-J条件呢？（ⅰ）Chapman提出的稳定爆轰传播条件：（4-136）即实际上爆轰对应于所有可能稳定爆轰传播的速度中的最小速度。（ⅱ）Jouguet提出的条件为：（4-137）上式可描述为：爆轰波相对于爆轰产物的传播速度等于爆轰产物的音速。两者提法不一样，但是本质是相同的，因此都称为C-J条件，可综合表述为：爆轰波若能稳定传播，其爆轰反应终了产物的状态应与波速线和爆轰波Hugoniot曲线相切点M的状态相对应，否则爆轰波在传播过程在中是不可能稳定的。该点的状态又称为C-J状态。在该点，膨胀波（稀疏波）的传播速度恰好等于爆轰波向前推进的速度。E、C-J条件的证明（a）由热力学第一定律：对（4-127）式：两边取微分（针对某一条Hugoniot曲线而言，Q为常数）得：（去掉下标1）（4-138）从而有：即：，两边对V进行微分，得：（4-139）由（4-122）式、（4-123）式可知：，且是波速线斜率的相反数，且，故的符号取决于（4-139）式右端两项的大小。图4-18爆轰波沿Hugoniot曲线、Rayleigh线熵值变化情况在KM段，有：所以：在ML段，有：所以：可见由K→M，熵逐渐减小，由M→L，熵逐渐增大（随着V增大），而在M点，，M点熵值最小。也可通过（4-139）式：再对V求导，看出，故M点为熵值极小值点。上式再对V求导，得：（4-140）因为在M点：，所以，有：（4-140），故：（4-141）所以，M点为熵值的极小值点。因为过M点的等熵线，在M点有：所以：（4-142）也就是：（4-143）故：M点是Rayleigh线、等熵线与Hugoniot曲线的公切点。由音速公式，知：（4-144）又根据（4-143）式，知：（4-145）由已知的（4-128）式，知：（4-146）而再由（4-122）式：所以：（4-147）从而有：（4-148）这就证明了C－J条件，也说明了熵沿曲线（爆轰的Hugoniot曲线）的变化情况。（b）下面再看一下熵沿Rayleigh或Miechelson线变化的情况：由前面内容讨论可知，对于不同的Q，爆轰的Hugoniot曲线位置不同。当Q＝0时，即是过点激波绝热曲线，当化学反应放出全部能量时，即为终态的Hugoniot曲线，即曲线2。若用表示已反应的质量百分数，那么爆轰的Hugoniot曲线可表示为：（4-149）当时，对应曲线1——激波绝热线（初态线）；当时，对应曲线2——爆轰波绝热线（终态线）；当时，称为冻结态。对（4-149）式沿Rayleigh，取微分有：（4-150）又由热力学第一定律：，代入（4-150）式并对V微分有：（4-151）因为在Rayleigh线上，，代入（4-151）式得：（4-152）如图4-18所示，在波速线NM上：由，（由），所以：由，（由），所以：可见M点必然是波速线上的熵极大值点，对沿其它Rayleigh线如AN1，也可证明在K—L间有极大值点。（c）Rayleigh线由质量与动量方程给出，爆轰波的绝热线由能量方程给出，方程组有解或者说Rayleigh线与Hugoniot线相交有两点K、L，相切有一个点M，但C-J理论指出，只有M点是稳定的，现证明如下：设沿R线对V求导：（4-153）因为沿着R线，P与V有确定的关系，故在R线上有：，即：（4-154）将上式代入（4-153）式，有：（4-155）又因为：对S求偏导，有：所以：（4-156）由声速公式：（4-157）由（4-122）式和（4-123）式，知：而沿R线有：所以有：（4-158）将（4-156）式、（4-157）式、（4-158）式代入（4-155）式有：（4-159）对于正常特性的介质，有：，而所以：的符号取决于的符号。类似的证明可知：在K点，所以：即：（4-160）在L点，所以：即：或（4-161）（4-160）式说明，对强爆轰，爆轰波相对波后的质点的速度是亚声速的（与冲击波相似），爆轰波波后膨胀波能够赶上爆轰波，进入化学反应区，削弱反应区对前沿激波阵面的能量补充，从而使爆轰波的传播速度逐渐降低，直至降至C-J爆速。故强爆轰状态是不稳定的。另外，从热力学观点来看，对强爆轰，即熵随比容V的增加而增加。从热力学观点看来，熵增加过程是不稳定过程，故强爆轰是不稳定的。（4-161）式说明，对弱爆轰，爆轰波相对于波后质点的速度是超声速的。此时，反应区中及波后产物中的弹性振动波（声波）皆落后于爆轰波的传播，致使反应区被拉长，反应区能量得不到补充，也无法向前沿激波阵面上传递，爆轰波的强度必须衰减，传播速度下降，所以L点也是不稳定的。实际上，按照C-J理论，弱爆轰是不可能实现的。当活性介质由激波压缩后，状态由突跃变化到N1点，然后开始出现高速化学反应。爆轰产物状态沿波速线变化，先达到K点，对于K点，化学反应已经完成，放出全部化学能。如果继续沿R先过渡到弱爆轰点L，就要放出更多的热量，这显然是不可能的。或者说R线的KL段各点已不在Hu线的覆盖区，KL段与反应区无关。另一方面，沿R线，在K点，在L点，，从K→L必然经过的中间点，而从中间点到L点，熵要随V而减少，从热力学观点来看，L点是不可能达到的（自行传播过程，熵是不可能减少的）。如果，经过更弱的冲击波（波速小于最小的与曲线2相切的R线的速度），则R线与的Hu线不相交，反应无法终止，方程组无解，按C-J理论，爆轰不能稳定存在。所以，唯有C-J点（M点）是稳定爆轰的。综上所述，C-J点是满足爆轰波稳定传播的稳态点，其重要性质有：①C-J点是波速线、爆轰波雨贡纽曲线以及过该点的等熵线的公切点；②C-J点是爆轰波雨贡纽曲线上熵值最小的点；③C-J点是波速线上熵值最大的点。4.7.2ZND模型ZND模型将C-J理论中被处理成间断面的化学反应区推广到有限宽度，也就是化学反应区有一厚度而不是C-J理论的一个几何间断面，从理论上看ZND模型比C-J理论更接近于实际情况；ZND模型的物理构像如图4-19所示：图4-19ZND模型的物理构像ZND模型的基本假设：①流动是一维的；②冲击波是间断面，忽略分子的输运（如热传导、辐射、扩散、粘性等）；③在激波前，化学反应速度为零，冲击波后的化学反应速率为一有限值（非无穷大），反应是不可逆的；④在反应区内，介质质点都处于局部热力学平衡态，但未达到化学平衡（组分在变）。这样，爆轰波可看成是有冲击波和化学发应区构成，而且它们以相同的运动速度在炸药中传播。可以用类似的方法建立爆轰波波后与波前状态参数间的关系，该关系与C-J理论相似，但若假定化学反应区反应速率的某个规律，可对反应区内参数进行理论研究，如：能量方程：（质量与动量守恒方程不变）如果为终态线，有：，（为初态，0<<1的任一条为冻结线）（4-162）（4-163）又=（D－）(－)（4-123式）将（4-163）式代入上式，有：（4-164）（4-123）式变为：D－＝，将其代入（4-163）式，得：（4-165）由C-J条件知：（4-166）对于多方气体：，结合（4-166）式有：（4-167），考虑到（4-165）式，有：（4-168）4.7.3气相爆炸参数计算根据三个守恒方程得到的三个关系式及C-J条件、状态方程就可构成计算爆轰参数的封闭方程组（共5个方程，5个变量：）：若作以下假定：①原始活性气体和爆轰产物均为多方气体，其状态方程为；②爆轰前后气体的绝热指数均是，其等熵方程为；③波前静止，即＝0。则方程组（A）变为：如果已知气体的初始状态以及绝热指数和爆热Q，即可计算爆轰波阵面上参数及爆速。解方程组（B）可得：注：（4-183）式中对于强爆轰波，可忽略，相应地也可忽略，则有：利用简化后的方程组（D），在做一定的变换，可以得到其它的方程式。将方程组（D）中（4-186）式和方程组（D）中（4-188）式以及代入中得到：（4-189）式中Td—混合气体按爆热计算的爆炸温度。由于：所以：（4-190）式中M—爆轰产物的平均相对分子质量。在对应上面有关公式时，可以很方便地计算出混合气体的爆轰参数。对于一些混合气体在爆轰波阵面上的爆轰参数，柔格计算的结果如表4-3所示。表4-3部分爆炸气体混合物的爆轰参数混合气体计算值实测值2H2+O2CH4+2O22C2H2+5O2(2H2+O2)+5O239604080557026001.881.901.841.7917.527.454.414.426302220309016902819225729611700虽然柔格当时在计算时所用气体的热容与温度关系的数据不太精确，但是可以看出计算得到的爆速D值与实测值具有较好的一致性。考虑爆轰产物在爆轰瞬间的离解或不考虑离解时计算得到的爆轰参数如表4-4所示。表4-4含有各种掺合物时爆鸣气体的爆轰参数气体混合物P1/P0V1/V0u1(m·s-1)T1（K）D计算值（m·s-1）D实测值（m·s-1）未考虑离解考虑离解2H2+O2(2H2+O2)+N2(2H2+O2)+3N2(2H2+O2)+5N2(2H2+O2)+O2(2H2+O2)+3O2(2H2+O2)+2H2(2H2+O2)+4H2(2H2+O2)+1.5Ar(2H2+O2)+3Ar18.0517.3715.6314.3917.4015.3017.2515.9717.6017.110.5640.5620.5720.5700.5600.5750.5640.5620.5800.587122510408707971013818146515908907883583336730032685339029703314297634123265327827122194192726302092365037692500221028062378203318502302192536273740211719072819240920551822231919223527353219501800表4-4中的数据说明，混合气体的爆轰速度与掺合物的性质有很大的关系，此外，如果考虑了产物中的离解情况，则计算出的理论爆速更加接近于实测爆速值。例1：以甲烷和空气的混合物进行爆轰参数的有关计算。如果不考虑爆轰产物的离解，其爆轰的反应方程式如下：CH4+2O2+8N2=CO2+2H2O+8N2+901.72kJ根据爆炸产物的平均热容计算