北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业17双曲线的简单几何性质

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第二章课时作业17双曲线的简单几何性质(原卷版)

角

一、选择题

1.如图，双曲线C：＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(C)

A.3B.4

C.6D.8

|－|P2F2|＝2×3＝6.

2.已知双曲线C：＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(A)

A.4x±3y＝0

B.3x±4y＝0

C.4x±3y＝0或3x±4y＝0

D.4x±5y＝0或5x±4y＝0

3.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且＝4，则双曲线C的离心率为(D)

A.＋1B.

C.＋1D.

4.若实数k满足0＜k＜9，则曲线＝1与曲线＝1的(D)

A.离心率相等

B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等

D.焦距相等

5.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为8，右顶点(a，0)到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为(A)

A.＝1B.＝1

C.＝1D.＝1

6.双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ⊥l，垂足为Q.当|PF2|＋|PQ|的最小值为3时，F1Q的中点在双曲线C上，则下列选项错误的是(A)

A.C的方程为＝1

B.C的离心率为

C.C的渐近线方程为y＝±x

D.C的方程为x2－y2＝1

7.设A1，A2分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率之积＜2，则双曲线C的离心率的取值范围为(B)

A.(1，)B.(1，)

C.(，＋∞)D.(1，2)选B.

8.(多选题)设F1，F2分别为双曲线：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则(AC)

A.双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0

B.双曲线的离心率为

C.双曲线的渐近线与直线x＝－1围成的三角形面积为

D.若双曲线的实轴长为6，则右焦点F2到渐近线的距离为8

二、填空题

9.设F1，F2是双曲线＝1的左、右焦点，P在双曲线的右支上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝＝16.

10.设F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为16.

11.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x＋6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为16.

三、解答题

12.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0，12).

13.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

(1)实轴在x轴上，实轴长为4，离心率为；

(2)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线.

14.已知P为圆C：(x－)2＋y2＝上一个动点，Q为双曲线－y2＝1渐近线上动点，则线段PQ长度的最小值为(A)

A.B.1

C.2D.

过双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线围成面积为3的正三角形，则双曲线C的实轴长为316.为

16.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上.

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：＝0；

(3)求△F1MF2的面积.

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第二章课时作业17双曲线的简单几何性质(解析版)

一、选择题

1.如图，双曲线C：＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(C)

A.3B.4

C.6D.8

解析：设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.

2.已知双曲线C：＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(A)

A.4x±3y＝0

B.3x±4y＝0

C.4x±3y＝0或3x±4y＝0

D.4x±5y＝0或5x±4y＝0

解析：由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，

∴椭圆的离心率e＝，

∴双曲线的离心率为，

∴，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.

3.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且＝4，则双曲线C的离心率为(D)

A.＋1B.

C.＋1D.

解析：不妨设点A在x轴的上方，由题意得，F1(－c，0)，A(0，c)，设B(x，y)，∵＝4，∴(－c，－c)＝4(－c－x，－y)，

∴x＝－，y＝，代入双曲线方程可得＝1，∴9e4－28e2＋16＝0，∴e＝.故选D.

4.若实数k满足0＜k＜9，则曲线＝1与曲线＝1的(D)

A.离心率相等

B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等

D.焦距相等

解析：∵0＜k＜9，则9－k＞0，25－k＞0，双曲线＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为，双曲线＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.

5.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为8，右顶点(a，0)到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为(A)

A.＝1B.＝1

C.＝1D.＝1

解析：由虚轴长为8，可得b＝4，∵右顶点(a，0)到双曲线C的一条渐近线bx－ay＝0的距离为，∴，解得a＝3，∴双曲线C的方程为＝1，故选A.

6.双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ⊥l，垂足为Q.当|PF2|＋|PQ|的最小值为3时，F1Q的中点在双曲线C上，则下列选项错误的是(A)

A.C的方程为＝1

B.C的离心率为

C.C的渐近线方程为y＝±x

D.C的方程为x2－y2＝1

解析：如图，∵|PF2|－|PF1|＝2a，

∴|PF2|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|＋2a≥|F1Q|＋2a，

∵焦点到渐近线的距离为b，

∴|F1Q|的最小值为b，则b＋2a＝3，

不妨设直线l：y＝x，

∵PQ⊥l，∴PQ：y＝－(x＋c)，联立解得Q，又F1(－c，0)，∴F1Q的中点坐标为，代入双曲线方程，可得＝1，化简得c＝a，又b＋2a＝3，a2＋b2＝c2，解得a＝b＝1，

∴双曲线方程为x2－y2＝1，离心率为，渐近线方程为y＝±x.B，C，D正确，A错误，故选A.

7.设A1，A2分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率之积＜2，则双曲线C的离心率的取值范围为(B)

A.(1，)B.(1，)

C.(，＋∞)D.(1，2)

解析：设M(x，y)，由题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，则，则，又因为点M在双曲线上，所以＝1y2＝b2，代入中可得＜2＝e2－1＜21＜e＜，故选B.

8.(多选题)设F1，F2分别为双曲线：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则(AC)

A.双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0

B.双曲线的离心率为

C.双曲线的渐近线与直线x＝－1围成的三角形面积为

D.若双曲线的实轴长为6，则右焦点F2到渐近线的距离为8

解析：因为|PF2|＝|F1F2|，所以△PF2F1是一个等腰三角形，所以F2在直线PF1上的射影是线段PF1的中点，由勾股定理得|PF1|＝2＝4B.根据双曲线定义有4b－2c＝2a，整理得c＝2b－a，代入c2＝a2＋b2，整理得3b2－4ab＝0，所以，则双曲线的离心率e＝，故B错误；

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，故A正确；

所以渐近线与x＝－1的交点坐标为和，所以它们围成三角形的面积S＝×1×，故C正确；

设双曲线的渐近线y＝±x，右焦点F2(c，0)到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，故当2a＝6时，有2b＝8，b＝4，故D错误.故选AC.

二、填空题

9.设F1，F2是双曲线＝1的左、右焦点，P在双曲线的右支上，且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝＝16.

解析：由题可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝10.

因为|PF1|·|PF2|＝32，

所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以∠F1PF2＝，所以|PF1|·|PF2|＝32×＝16.

10.设F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为.

解析：设|AF2|＝x，则|AF1|＝3x.则2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，因为∠F1AF2＝90°，故(2c)2＝10a2，，故双曲线的离心率为e＝.

11.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x＋6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为.

解析：由题意可得c＝2，则|F1F2|＝2c＝4.因为直线l的斜率是3，则sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.因为点P在以F1F2为直径的圆周上，所以∠F1PF2＝90°，所以|PF1|＝|F1F2|cos∠PF1F2＝，|PF2|＝|F1F2|·sin∠PF1F2＝，则a＝，故双曲线C的离心率为.

三、解答题

12.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0，12).

解：(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1(a＞0，b＞0).由题意知，2b＝12，e＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为＝1或＝1.

(2)∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为＝1.

13.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

(1)实轴在x轴上，实轴长为4，离心率为；

(2)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线.

解：(1)由题可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，焦距为2c，则2a＝4，，

∴a＝2，c＝，得b2＝c2－a2＝7－4＝3，

∴双曲线的标准方程为＝1.

(2)由题可设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，焦距为2c，则c＝6，渐近线方程为y＝±x，

∵－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，

∴，即b2＝2a2，

又∵c2＝a2＋b2，则a2＋2a2＝36，∴a2＝12，b2＝24，

∴双曲线的标准方程为＝1.

14.已知P为圆C：(x－)2＋y2＝上一个动点，Q为双曲线－y2＝1渐近线上动点，则线段PQ长度的最小值为(A)

A.B.1

C.2D.

解析：双曲线－y2＝1的右焦点为圆心C，渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0，线段PQ长度取得最小值等价于线段CQ的长度取得最小值，而线段CQ的长度取得最小值为＝1，线段PQ长度的最小值为1－.故选A.

15.过双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线围成面积为3的正三角形，则双曲线C的实轴长为3.

解析：如图，∵直线AB过双曲线C的右焦点，且△OAB是面积为3的等边三角形，×|OA|2＝3，

∴OA＝OB＝AB＝2，∴c＝2×cos30°＝3，又＝tan30°＝，且c2＝a2＋b2.解得a＝，双曲线C的实轴长为2a＝3.

16.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上.

(1)求双曲