【解析】广东省佛山市禅城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

第第页【解析】广东省佛山市禅城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

广东省佛山市禅城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．据我市气象台预报，2023年7月某日最高气温，最低气温，则当天气温（℃）的变化范围是（）

A．B．C．D．

2．音乐陶冶人的美．我国著名音乐家冼星海说过：“音乐是人生最大的快乐，音乐是生活中的一股清泉”，音符是传达音乐的基本元素．下列音符中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．已知分式（，均为正数），若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A．扩大为原来3倍B．缩小为原来的

C．不变D．缩小为原来的

4．下列各式中，能进行因式分解的是（）

A．B．C．D．

5．如图，在中，，，，则边的长度是（）

A．3B．4C．D．

6．在中，，则的度数是（）

A．B．C．D．

7．如图，直线经过点和点，则关于的不等式的解集是（）

A．B．C．D．

8．（2023八上·牡丹江期末）若（b≠0），则=（）

A．0B．C．0或D．1或2

9．如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（）

A．10B．11C．12D．13

10．体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是米/秒，则所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

11．若分式有意义，则满足的条件是．

12．（2023七下·通州期末）因式分解：．

13．“岭南四大名园”之一的佛山“梁园”里不仅有秀水、奇石、名帖，还有随处可见的古典窗棂（如图①所示），这也是岭南建筑艺术之一、图②是这种窗棂中的部分图案．其中、、、是五边形的4个外角，若，则的度数是．

14．如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是．

15．如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○”的个数为，图②中的“○”的个数为，图③中的“○”的个数为，……以此类推，则的值是．（为正整数）

三、解答题

16．（2022九上·碑林月考）解不等式组：

17．先化简，再求值：，并在1，2，3中选择一个合适的值代入求值．

18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

⑴将向右平移6个单位长度得到，请画出；

⑵画出关于点的中心对称图形．

19．角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等．”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在中，，，是的角平分线．

（1）若，求的长；

（2）判断、、之间的数量关系，并说明理由．

20．阅读塑造精神，阅读滋养情感，阅读增长智慧．在“书香校园”的系列活动中，某校计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元．

（1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？

（2）学校计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2100元，那么最多可购进科技类图书多少本？

21．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：

（1）

（2）四边形是平行四边形．

22．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

（1）请直接用含和的代数式表示，；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．

（2）请依据（1）得到的公式计算：．

（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

23．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．

（1）线段与的数量关系是，位置关系是；

（2）把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）若，，绕点在平面内旋转过程中，请直接写出的面积取得最大值时的长．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】一元一次不等式组的应用

【解析】【解答】解：∵2023年7月某日最高气温32℃，最低气温26℃，

∴当天气温t℃的变化范围为26≤t≤32.

故答案为：D.

【分析】2023年7月某日最高气温32℃，最低气温26℃，包括32℃与26℃，从而列出不等式组即可.

2．【答案】A

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此选项中的音符既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、此选项中的音符是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、此选项中的音符既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、此选项中的音符既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】把一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；把一个平面图形绕着一点旋转180°，旋转后的图形能与旋转前的图形完全重合的几何图形就是中心对称图形，据此一一判断得出答案.

3．【答案】C

【知识点】分式的基本性质

【解析】【解答】解：用3m与3n替换原分式中的m、n得：.

∴若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值不变.

故答案为：C.

【分析】用3m与3n替换原分式中的m、n后，将式子的分子利用提取公因式法分解因式，进而约分化简后与原分式比较可得答案.

4．【答案】D

【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法

【解析】【解答】解：A、×2+y2，两平方项同号，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

B、x2+×-1，在实数范围内不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

C、x-y，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

D、x2-y2，符合平方差公式，能进行因式分解，故本选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】因式分解首选的方法是提取公因式法，也是通用方法，通过观察发现四个选项中的多项式都不能使用提取公因式法分解因式；对于二项式，一般采用平方差公式法分解因式，但能利用此方法分解的二项式必须满足：两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此可判断A、C、D三个选项；对于三项式，常用的方法是完全平方公式法或十字相乘法，能用完全平方公式法分解的三项式满足：有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍；能用十字相乘法分解的三项式，就是将二次项与常数项分别分解为两个因式，交叉相乘后积的和必须等于一次项，据此可判断B选项.

5．【答案】B

【知识点】含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4.

故答案为：B.

【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案.

6．【答案】A

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A∶∠B=1∶2，

∴∠B=2∠A，

∴∠A+2∠A=180°，

∴∠A=60°.

故答案为：A.

【分析】由平行四边形的对边平行的AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，由已知可得∠B=2∠A，从而代入可算出∠A的度数.

7．【答案】A

【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过点（0，3），（2，0），

∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2.

故答案为：A.

【分析】关于x的不等式kx+b＜0的解集，就是求函数y=kx+b的图象在x轴下方部分自变量的取值范围，结合图形可得答案.

8．【答案】C

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴a(a-b)=0，

∴a=0，b=a．

当a=0时，原式=0；

当b=a时，原式=

故答案为：C

【分析】由，利用提公因式可得a(a-b)=0，从而可得a=0或a-b=0，分别代入计算即可.

9．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的中垂线，

∴AD=CD，

∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=11.

故答案为：B.

【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△ABD的周长就是线段AB与BC的和，从而结合已知得出答案.

10．【答案】C

【知识点】列分式方程

【解析】【解答】解：设小明的速度是x米/秒，则小超的速度是1.25x米/秒，

由题意得.

故答案为：C.

【分析】设小明的速度是x米/秒，则小超的速度是1.25x米/秒，根据路程除以速度等于时间分别表示出小超与小明所用的时间，进而根据小超比小明快30秒到达终点列出方程解答即可.

11．【答案】

【知识点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：若分式有意义，则x满足的条件是x≠0.

故答案为：x≠0.

【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案.

12．【答案】(x-2y)2

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】

=x2-2x2y+(2y)2

=(x-2y)2，

故答案为：(x-2y)2.

【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.

13．【答案】100°

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：如图，延长CD，

由图可知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5都是五边形ABCDE的外角，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=260°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，

∴∠5=360°-280°=80°，

∴∠CDE=180°-∠5=100°.

故答案为：100°.

【分析】根据任何凸多边形的外交和都是360°，并结合已知可求出∠5的度数，进而根据邻补角的定义可求出∠CDE的度数.

14．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：由作图过程可知AD=BC，CD=AB，

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【分析】由作图过程可知AD=BC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.

15．【答案】

【知识点】探索图形规律

【解析】【解答】解：由图形可得a1=2×1，a2=3×2，a3=4×3，a4=5×4，……，

∴an=（n+1）n，

∴

.

故答案为：.

【分析】先根据行数乘以列数等于总个数分别表示出a1、a2、a3、a4、a5……的值，然后代入原式，再进行拆分合并，最后通分计算可得答案.

16．【答案】解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得，

∴原不等式组的解集是．

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分可得不等式组的解集.

17．【答案】解：

，

∵，

∴，

∴当时，原式．

【知识点】分式的化简求值

【解析】【分析】先将第二个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后约分化简，进而根据分式的分母不能为0选取出合适的x的值代入化简结果，计算即可.

18．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）如图所示：△A2B2C2就是所求的三角形.

【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转

【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，分别将点A、B、C向右平移6个单位长度得到对应点A1、B1、C1，再连接即可；

（2）利用方格纸的特点，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，再连接即可.

19．【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，

∵，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下：

如图所示，过点D作DE⊥AB于E，

∵，是的角平分线，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

由（1）得，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴．

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=CD=6cm，由等腰直角三角形的性质得∠B=45°，进而可得△BDE是等腰直角三角形，则BE=DE=6cm，然后用勾股定理算出BD，最后根据BC=CD+BD计算即可；

（2）AB=BC+CD，理由如下：过点D作DE⊥AB于E，首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形对应边相等得AC=AE，由（1）可得CD=BE，从而根据线段的和差及等量代换可得结论.

20．【答案】（1）解：设每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为x元，y元，

根据题意，可得，

解得．

答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元；

（2）解：设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60-m)本，

根据题意，可得，

解得，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为52，

∴最多可购进科技类图书52本，

答：最多购进科技类图书52本．

【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为x元，y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元”列出方程组，求解可得答案；

（2）设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60-m)本，根据单价乘以数量等于总价，由购买m本科技类图书的费用+购买（60-m）文学类图书的费用不超过2100元列出不等式，求出该不等式的最大整数解即可得出答案.

21．【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，即，

又∵，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴四边形是平行四边形．

【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由平行线的性质得∠BAG=∠DCH，根据等式的性质，由AH=CG推出AG=CH，从而利用SAS判断出△ABG≌△CDH；

（2）根据全等三角形的性质得BG=DH，∠AGB=∠CHD，由等角的补角相等得∠BGH=∠DHG，由内错角相等两直线平行得BG∥DH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得结论.

22．【答案】（1）；；

（2）解：

；

（3）证明：设两个相邻的奇数为（n为自然数），

则

；

所以任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景

【解析】【解答】解：（1）由图形得：S1=a2-b2，

S2=（a+b）（a-b），

又∵图2由图1外阴影部分排成的一个长方形，

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；

【分析】（1）根据阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积可表示出S1；图2长方形的长为（a+b），宽为（a-b），根据长方形的面积等于长乘以宽可表示出S2；进而根据两个阴影部分的面积相等建立出等式；

（2）在待求式子上乘以（2-1），从左至右依次利用平方差公式计算即可；

（3）设两个相邻的奇数为2n+1与2n-1，表示出两个数的平方差，进而利用平方差公式将式子分解因式后可得两个奇数的平方差等于8n，从而即可得出答案.

23．【答案】（1）；

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵点，分别为，的中点．

∴，

∵点，分别为，的中点．

∴，

∴，

设CD的延长线交AB于O，交BE于H，如图，

∵，，

∴，即，

∴，即，

∴是等腰直角三角形；

（3）解：∵是等腰直角三角形，

∴的面积，

∴当PG最大时，的面积最大，

∵，

∴当CD最大时，的面积最大，

由题意可得，当D点旋转到CA的延长线上时，CD最大，如图，

则在直角三角形中，根据勾股定理可得．

【知识点】旋转的性质；三角形的综合

【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，

∴AB-AE=AC-AD，即CD=BE，

∵点P、G分别是BD、BC的中点，

∴PG=CD，PG∥AC，

∴∠GPD=∠ADB，

∵点F、P分别是DE、BD的中点，

PF=BE，PF∥AB，

∴∠DPF=∠DBA，

∴PG=PF，

∵∠A=90°，

∴∠DPF+∠DPG=∠DBA+∠BDA=90°，

∴PG⊥PF；

故答案为：PG=PF，PG⊥PF；

【分析】（1）根据等式的性质可得CD=BE，由三角形的中位线定理得PG=CD，PG∥AC，PF=BE，PF∥AB，由等量代换可得PG=PF；由平行线的性质得∠GPD=∠ADB，∠DPF=∠DBA，进而根据直角三角形的两锐角互余及等量代换可得∠DPF+∠DPG=∠DBA+∠BDA=90°，最后根据垂直的定义可得结论；

（2）△EPG是等腰直角三角形，理由如下：由同角的余角相等得∠CAD=∠BAE，从而用SAS判断出△ACD≌△ABE，得CD=BE，∠ACD=∠ABE；由三角形的中位线定理得PG=CD，PG∥DC，PF=BE，PF∥BE，由等量代换可得PG=PF；设CD的延长线交AB于O，交BE于H，利用三角形的内角和定理可推出∠BHO=∠BAC=90°，得BE⊥CD，进而根据平行线的性质推出PG⊥PF，从而可得结论；

（3）根据等腰直角三角形的性质得S△FPG=PG2，故当PG最大时，△FPG的面积最大，而PG=CD，故当CD最大时，△FPG的面积最大，由题意可得，当D点旋转到CA的延长线上时，CD最大，在Rt△ABD中，用勾股定理算出BD的长即可.

二一教育在线组卷平台（）自动生成1/1登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

广东省佛山市禅城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．据我市气象台预报，2023年7月某日最高气温，最低气温，则当天气温（℃）的变化范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】一元一次不等式组的应用

【解析】【解答】解：∵2023年7月某日最高气温32℃，最低气温26℃，

∴当天气温t℃的变化范围为26≤t≤32.

故答案为：D.

【分析】2023年7月某日最高气温32℃，最低气温26℃，包括32℃与26℃，从而列出不等式组即可.

2．音乐陶冶人的美．我国著名音乐家冼星海说过：“音乐是人生最大的快乐，音乐是生活中的一股清泉”，音符是传达音乐的基本元素．下列音符中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此选项中的音符既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、此选项中的音符是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、此选项中的音符既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、此选项中的音符既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】把一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；把一个平面图形绕着一点旋转180°，旋转后的图形能与旋转前的图形完全重合的几何图形就是中心对称图形，据此一一判断得出答案.

3．已知分式（，均为正数），若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A．扩大为原来3倍B．缩小为原来的

C．不变D．缩小为原来的

【答案】C

【知识点】分式的基本性质

【解析】【解答】解：用3m与3n替换原分式中的m、n得：.

∴若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值不变.

故答案为：C.

【分析】用3m与3n替换原分式中的m、n后，将式子的分子利用提取公因式法分解因式，进而约分化简后与原分式比较可得答案.

4．下列各式中，能进行因式分解的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法

【解析】【解答】解：A、×2+y2，两平方项同号，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

B、x2+×-1，在实数范围内不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

C、x-y，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；

D、x2-y2，符合平方差公式，能进行因式分解，故本选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】因式分解首选的方法是提取公因式法，也是通用方法，通过观察发现四个选项中的多项式都不能使用提取公因式法分解因式；对于二项式，一般采用平方差公式法分解因式，但能利用此方法分解的二项式必须满足：两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此可判断A、C、D三个选项；对于三项式，常用的方法是完全平方公式法或十字相乘法，能用完全平方公式法分解的三项式满足：有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍；能用十字相乘法分解的三项式，就是将二次项与常数项分别分解为两个因式，交叉相乘后积的和必须等于一次项，据此可判断B选项.

5．如图，在中，，，，则边的长度是（）

A．3B．4C．D．

【答案】B

【知识点】含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4.

故答案为：B.

【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案.

6．在中，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A∶∠B=1∶2，

∴∠B=2∠A，

∴∠A+2∠A=180°，

∴∠A=60°.

故答案为：A.

【分析】由平行四边形的对边平行的AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，由已知可得∠B=2∠A，从而代入可算出∠A的度数.

7．如图，直线经过点和点，则关于的不等式的解集是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过点（0，3），（2，0），

∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2.

故答案为：A.

【分析】关于x的不等式kx+b＜0的解集，就是求函数y=kx+b的图象在x轴下方部分自变量的取值范围，结合图形可得答案.

8．（2023八上·牡丹江期末）若（b≠0），则=（）

A．0B．C．0或D．1或2

【答案】C

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴a(a-b)=0，

∴a=0，b=a．

当a=0时，原式=0；

当b=a时，原式=

故答案为：C

【分析】由，利用提公因式可得a(a-b)=0，从而可得a=0或a-b=0，分别代入计算即可.

9．如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（）

A．10B．11C．12D．13

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的中垂线，

∴AD=CD，

∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=11.

故答案为：B.

【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△ABD的周长就是线段AB与BC的和，从而结合已知得出答案.

10．体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点．若设小明的速度是米/秒，则所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】列分式方程

【解析】【解答】解：设小明的速度是x米/秒，则小超的速度是1.25x米/秒，

由题意得.

故答案为：C.

【分析】设小明的速度是x米/秒，则小超的速度是1.25x米/秒，根据路程除以速度等于时间分别表示出小超与小明所用的时间，进而根据小超比小明快30秒到达终点列出方程解答即可.

二、填空题

11．若分式有意义，则满足的条件是．

【答案】

【知识点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：若分式有意义，则x满足的条件是x≠0.

故答案为：x≠0.

【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案.

12．（2023七下·通州期末）因式分解：．

【答案】(x-2y)2

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】

=x2-2x2y+(2y)2

=(x-2y)2，

故答案为：(x-2y)2.

【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.

13．“岭南四大名园”之一的佛山“梁园”里不仅有秀水、奇石、名帖，还有随处可见的古典窗棂（如图①所示），这也是岭南建筑艺术之一、图②是这种窗棂中的部分图案．其中、、、是五边形的4个外角，若，则的度数是．

【答案】100°

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：如图，延长CD，

由图可知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5都是五边形ABCDE的外角，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=260°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，

∴∠5=360°-280°=80°，

∴∠CDE=180°-∠5=100°.

故答案为：100°.

【分析】根据任何凸多边形的外交和都是360°，并结合已知可求出∠5的度数，进而根据邻补角的定义可求出∠CDE的度数.

14．如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是．

【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：由作图过程可知AD=BC，CD=AB，

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

【分析】由作图过程可知AD=BC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得结论.

15．如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○”的个数为，图②中的“○”的个数为，图③中的“○”的个数为，……以此类推，则的值是．（为正整数）

【答案】

【知识点】探索图形规律

【解析】【解答】解：由图形可得a1=2×1，a2=3×2，a3=4×3，a4=5×4，……，

∴an=（n+1）n，

∴

.

故答案为：.

【分析】先根据行数乘以列数等于总个数分别表示出a1、a2、a3、a4、a5……的值，然后代入原式，再进行拆分合并，最后通分计算可得答案.

三、解答题

16．（2022九上·碑林月考）解不等式组：

【答案】解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得，

∴原不等式组的解集是．

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分可得不等式组的解集.

17．先化简，再求值：，并在1，2，3中选择一个合适的值代入求值．

【答案】解：

，

∵，

∴，

∴当时，原式．

【知识点】分式的化简求值

【解析】【分析】先将第二个分式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后约分化简，进而根据分式的分母不能为0选取出合适的x的值代入化简结果，计算即可.

18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

⑴将向右平移6个单位长度得到，请画出；

⑵画出关于点的中心对称图形．

【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）如图所示：△A2B2C2就是所求的三角形.

【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转

【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，分别将点A、B、C向右平移6个单位长度得到对应点A1、B1、C1，再连接即可；

（2）利用方格纸的特点，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，再连接即可.

19．角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等．”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在中，，，是的角平分线．

（1）若，求的长；

（2）判断、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，

∵，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

∴；

（2）解：，理由如下：

如图所示，过点D作DE⊥AB于E，

∵，是的角平分线，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

由（1）得，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴．

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=CD=6cm，由等腰直角三角形的性质得∠B=45°，进而可得△BDE是等腰直角三角形，则BE=DE=6cm，然后用勾股定理算出BD，最后根据BC=CD+BD计算即可；

（2）AB=BC+CD，理由如下：过点D作DE⊥AB于E，首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形对应边相等得AC=AE，由（1）可得CD=BE，从而根据线段的和差及等量代换可得结论.

20．阅读塑造精神，阅读滋养情感，阅读增长智慧．在“书香校园”的系列活动中，某校计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元．

（1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？

（2）学校计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2100元，那么最多可购进科技类图书多少本？

【答案】（1）解：设每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为x元，y元，

根据题意，可得，

解得．

答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元；

（2）解：设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60-m)本，

根据题意，可得，

解得，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为52，

∴最多可购进科技类图书52本，

答：最多购进科技类图书52本．

【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为x元，y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元”列出方程组，求解可得答案；

（2）设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60-m)本，根据单价乘以数量等于总价，由购买m本科技类图书的费用+购买（60-m）文学类图书的费用不超过2100元列出不等式，求出该不等式的最大整数解即可得出答案.

21．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：

（1）

（2）四边形是平行四边形．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，即，

又∵，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴四边形是平行四边形．

【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由平行线的性质得∠BAG=∠DCH，根据等式的性质，由AH=CG推出AG=CH，从而利用SAS判断出△ABG≌△CDH；

（2）根据全等三角形的性质得BG=DH，∠AGB=∠CHD，由等角的补角相等得∠BGH=∠DHG，由内错角相等两直线平行得BG∥DH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得结论.

22．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．

（1）请直接用含和的代数式表示，；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．

（2）请依据（1）得到的公式计算：．

（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．

【答案】（1）；；

（