二次函数最值及函数值范围问题

二次函数最值及函数值范围问题1.已知二次函数$y=(x+1)^2-4$，当$-2\leqx\leq2$时，则函数$y$的最小值和最大值分别为多少？解析：先求出二次函数的对称轴为直线$x=-1$，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图像解答即可。解：因为$y=(x+1)^2-4$，对称轴为$x=-1$，且$a=1>0$，所以二次函数开口向上。当$x>-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x<-1$时，$y$随$x$的增大而减小。由图像可知，在$-2\leqx\leq2$内，$x=2$时，$y$有最大值$(2+1)^2-4=5$；$x=-1$时，$y$有最小值$(-1+1)^2-4=-4$。因此，答案为$-4$和$5$，选项B。2.已知二次函数$y=-x+4$，当$-2\leqx\leq3$时，函数的最小值是多少？最大值是多少？解析：由二次函数解析式可求得其开口方向、对称轴，再利用增减性可求得答案。解：因为$y=-x+4$，所以抛物线开口向下，对称轴为$y$轴。当$x\leq-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\geq3$时，$y$随$x$的增大而减小。当$-2\leqx\leq3$时，$y$随$x$的增大而增大。因此，当$x=-2$时，$y$有最小值$-5$；当$x=3$时，$y$有最大值$4$。因此，函数的最小值是$-5$，最大值是$4$。3.已知二次函数$y=-(x-h)^2+1$，在自变量$x$的值满足$1\leqx\leq3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最大值为$-5$，则$h$的值为多少？解析：由解析式可知该函数在$x=h$时取得最小值$1$，$x<h$时，$y$随$x$的增大而增大，$x>h$时，$y$随$x$的增大而减小，根据$1\leqx\leq3$时，函数的最大值为$-5$，可分如下两种情况：①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$时，$y$取得最大值$-5$；②若$1\leqx\leq3<h$，当$x=3$时，$y$取得最大值$-5$，分别列出关于$h$的方程求解即可。解：当$x<h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>h$时，$y$随$x$的增大而减小。①如图1，若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$时，$y$取得最大值$-5$，可得：$-(1-h)^2+1=-5$，解得：$h=1-$或$h=1+$；②如图2，若$1\leqx\leq3<h$，当$x=3$时，$y$取得最大值$-5$，可得：$-(3-h)^2+1=-5$，解得：$h=3+$或$h=3-$。③如图3，当$h$在$1\leqx\leq3$内时，$y$最大值是不是$-5$，而是$1$，即此情况下$h$的值不存在。综上，$h$的值为$1-$或$3+$。24.已知二次函数$y=(x-h)^2+2$，在自变量$x$的值满足$1\leqx\leq3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最小值为$6$，则$h$的值为（）A.$-1$或$1$B.$-1$或$5$C.$3$或$1$D.$3$或$5$分析：由解析式可知该函数在$x=h$时取得最小值$2$，$x>h$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x<h$时，$y$随$x$的增大而减小，根据$1\leqx\leq3$时，函数的最小值为$6$。可分如下两种情况：①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$时，$y$取得最小值$6$；②若$1\leqx\leq3<h$，当$x=3$时，$y$取得最小值$6$，分别列出关于$h$的方程求解即可。解：因为$x>h$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x<h$时，$y$随$x$的增大而减小，所以①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$时，$2y$取得最小值$6$，可得：$(1-h)^2+2=6$，解得：$h=-1$或$h=3$（舍）；②若$1\leqx\leq3<h$，当$x=3$时，$y$取得最小值$6$，可得：$(3-h)^2+2=6$，解得：$h=5$或$h=1$（舍）。③当$h$在$1\leqx\leq3$内时，$y$的最小值是$2$，此情况下不符合题意，综上，$h$的值为$-1$或$5$，故选B。25.已知二次函数$y=x^2-6x+8$。（1）将$y=x^2-6x+8$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式；（2）当$0\leqx\leq4$时，$y$的最小值是$\_\_\_$，最大值是$\_\_\_$；（3）当$y<0$时，写出$x$的取值范围。分析：（1）由于二次项系数是$1$，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解；（3）先求出方程$x^2-6x+8=0$的两根，再根据二次函数的性质即可求解。解：（1）$y=x^2-6x+8=(x^2-6x+9)-9+8=(x-3)^2-1$；（2）因为抛物线$y=x^2-6x+8$开口向上，对称轴为$x=3$，所以当$0\leqx\leq4$时，$x=3$，$y$有最小值$-1$，$x=4$，$y$有最大值$8$；（3）因为$y<0$时，$x^2-6x+8<0$，解得$2<x<4$，所以当$y<0$时，$2<x<4$，答案为$-1$，$8$。26.已知二次函数$y=-(x-2)^2+7$，其中$-1\leqx\leq4$，现有下列说法：①当$x=2$时，$y$有最大值$7$；②当$x=2$时，$y$有最小值$7$；③当$x=-1$时，$y$有最小值$-2$；④当$x=4$时，$y$有最大值$3$。其中正确的是（）A.①③B.①④C.②④D.①③④分析：根据函数的解析式画出该二次函数的草图，结合图形可得函数的最值情况。解：由函数图象可知，当$x=2$时，$y$有最大值$7$，故①正确；当$x=-1$时，$y$有最小值$-2$，故③正确；故选A。27.已知二次函数$y=-x^2+2x+3$，当$x\geq2$时，$y$的取值范围是（）A．$y\geq3$B．$y\leq3$C．$y>3$D．$y<3$解析：先求出$x=2$时$y$的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可。解：因为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以顶点坐标为$(1,4)$，对称轴是$x=1$。当$x=1$时，$y$最大$=4$，当$x=2$时，$y=-4+4+3=3$。因为当$x>1$时，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x\geq2$时，$y$的取值范围是$y\leq3$，故选B。28.已知二次函数$y=-x^2+2x+3$，当$x\geq-2$时，$y$的取值范围是（）。解析：根据函数中的解析式，先化为顶点式，从而可以得到当$x\geq-2$时，$y$的取值范围。解：如图。因为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以对称轴是$x=1$。当$x>1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x<1$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x\geq-2$时，$y\leq4$，故答案为：$y\leq4$。29.已知二次函数$y=x^2-4x+2$，关于该函数在$-1\leqx\leq3$的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值$-1$，有最小值$-2$B.有最大值，有最小值$-1$C.有最大值$7$，有最小值$-1$D.有最大值$7$，有最小值$-2$解析：把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答。解：因为$y=x^2-4x+2=(x-2)^2-2$，所以在$-1\leqx\leq3$的取值范围内，当$x=2$时，有最小值$-2$，当$x=-1$时，有最大值为$y=9-2=7$。故选D。10.若二次函数$y=ax^2+4x+a-1$的最小值是$2$，求$a$的值。解析：根据题意：二次函数$y=ax^2+4x+a-1$的最小值是$2$，则判断二次函数的系数$a>0$，再根据公式$y$最小值$=-\frac{b^2}{