杭州中考数学历年压轴题集锦(2014-2021)

杭州中考数学历年压轴题集锦(2014-2021)杭州中考压轴题集锦以下是2021年浙江省杭州市中考数学试卷的数学题目。10.已知函数$y_1$和$y_2$均以$x$为自变量，当$x=m$时，函数值分别为$M_1$和$M_2$。若存在实数$m$，使得$M_1+M_2=0$，则称函数$y_1$和$y_2$具有性质$P$。以下函数$y_1$和$y_2$具有性质$P$的是：A.$y_1=x^2+2x$，$y_2=-x-1$B.$y_1=x^2+2x$，$y_2=-x+1$C.$y_1=-x$，$y_2=-x-1$D.$y_1=-x$，$y_2=-x+1$16.如图是一张矩形纸片$ABCD$，点$M$是对角线$AC$的中点，点$E$在$BC$边上，把$\triangleDCE$沿直线$DE$折叠，使点$C$落在对角线$AC$上的点$F$处，连接$DF$，$EF$。若$MF=AB$，则$\angleDAF=45^\circ$。22.在直角坐标系中，设函数$y=ax^2+bx+1$（$a$，$b$是常数，$a\neq0$）。（1）若该函数的图象经过$(1,0)$和$(2,1)$两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组$a$，$b$的值，使函数$y=ax^2+bx+1$的图象与$x$轴有两个不同的交点，并说明理由；（3）已知$a=b=1$，当$x=p$，$q$（$p$，$q$是实数，$p\neqq$）时，该函数对应的函数值分别为$P$，$Q$。若$p+q=2$，求证：$P+Q>6$。23.如图，锐角三角形$ABC$内接于$\odotO$，$\angleBAC$的平分线$AG$交$\odotO$于点$G$，交$BC$边于点$F$，连接$BG$。（1）求证：$\triangleABG\sim\triangleAFC$。（2）已知$AB=a$，$AC=AF=b$，求线段$FG$的长（用含$a$，$b$的代数式表示）。（3）已知点$E$在线段$AF$上（不与点$A$，点$F$重合），点$D$在线段$AE$上（不与点$A$，点$E$重合），$\angleABD=\angleCBE$，求证：$BG^2=GE\cdotGD$。2019年浙江省杭州市中考数学试卷9.如图，一块矩形木板$ABCD$斜靠在墙边（$OC\perpOB$，点$A$，$B$，$C$，$D$，$O$在同一平面内），已知$AB=a$，$AD=b$，$\angleBCO=x$，则点$A$到$OC$的距离等于$\boxed{\text{D}}$。10.在平面直角坐标系中，已知$a\neqb$，设函数$y=(x+a)(x+b)$的图象与$x$轴有$M$个交点，函数$y=(ax+1)(bx+1)$的图象与$x$轴有$N$个交点，则$\boxed{\text{A}}$。16．折叠矩形纸片ABCD，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点。已知∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，求矩形ABCD的面积。22．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）。（1）甲求得当x＝0时，y＝x1x2；当x＝1时，y＝（1﹣x1）（1﹣x2）；乙求得当x＝1时，y＝x1x2。乙求得的结果不正确，因为当x＝1时，y＝0而不是x1x2。（2）二次函数的对称轴为x＝（x1＋x2）÷2，最小值为y＝﹣（（x1﹣x2）÷2）2＋（x1＋x2）÷2。（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当x1＜x2＜1时，证明：mn＜0。23．已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA。（1）若∠BAC＝60°，①因为∠ABC是圆心角，所以∠BOC＝2∠BAC＝120°。又因为OD垂直于BC，所以OD是BOC的中线，即OD＝OA。②设△ABC的面积为S，根据正弦定理，AB＝2Rsin∠BAC，BC＝2Rsin∠ACB，AC＝2Rsin∠ABC，其中R为圆O的半径。因为∠BAC＝60°，所以sin∠BAC＝√3÷2。所以S＝（1÷2）AB×BC×sin∠BAC＝2R2sin∠BACsin∠ACBsin∠ABC＝3√3R2÷4。因为OA＝R，所以OE＝Rsin∠BAC＝√3R÷2。所以S1＝（1÷2）AD×OE＝√3R2÷8。同理，S2＝√3R2÷8。所以S1＝S2＝√3R2÷8＝3√3÷32。（2）因为OE＝OD，所以∠OED＝∠ODE。又因为∠BAC＜90°，所以∠OED＋∠OCD＝90°。所以∠OCD＝∠ODE。因为∠ABC＜∠ACB，所以∠OED＜∠OCD。所以∠OED＝m，∠OCD＝n。根据正弦定理，sin∠OED＝√（1﹣sin2∠BAC）÷2，sin∠OCD＝√（1﹣sin2∠ACB）÷2。所以sinm＝√3÷2sin∠BAC，sinn＝√3÷2sin∠ACB。所以m﹣n＝2（∠BAC﹣∠ACB）＝2（∠BOC﹣180°）＝2（﹣∠BAC）＝﹣120°。所以m﹣n＋2＝﹣120°＋2＝﹣118°。9．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是丙。因为当函数的最小值为3时，x可以取任意实数，所以甲、乙、丁的结论都是正确的。22．（12分）（1）当a>0时，二次函数图象与x轴的交点有两个；当a<0时，二次函数图象与x轴的交点没有或有一个，具体取决于函数的顶点位置。（2）设该二次函数为y=ax^2+bx-(a+b)，代入三个点的坐标可以得到三个方程：a-b=5-a+b=3a+b=2解得a=2，b=0，代入原函数即为y=2x^2-2。（3）设点P在函数图象上，则有m=a(2)^2+b(2)-(a+b)=4a+2b。又因为a+b<0，所以4a+2b<0，即a>-2。结合a≠0，可得a<-2或a>2。又因为m>n，所以代入Q点的坐标可得2a-b>n-1，即a>(n-b+1)/2。将此式代入a的范围中，可得2a-b+1>n，即a>(n+b-1)/2。结合a的范围，可得(n+b-1)/2<-2或(n+b-1)/2>2，即n+b<-5或n+b>5。代入P点的坐标可得4a+2b=m>-2，结合a的范围，可得a>-1。综上所述，得到a>-1，-5<n+b<5，且(n-b+1)/2<a<(n+b-1)/2。23．已知△ABC内接于△O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE△BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与△O交于点G，设△GAB=ɑ，△ACB=β，△EAG+△EBA=γ。（1）根据数据，可以发现ɑ+β=180°，因为△ABC内接于△O，所以∠AOG=90°，又因为AE是AC的延长线，所以∠EAG=180°-ɑ-β，同理，∠EBA=180°-ɑ-β，所以γ=2(180°-ɑ-β)，化简可得γ=360°-2ɑ-2β。所以β关于ɑ的函数表达式为β=180°-ɑ，γ关于ɑ的函数表达式为γ=360°-2ɑ-2(180°-ɑ)=2ɑ-360°。（2）根据已知条件，可得∠EAB=∠EBA=20°，∠EAG=ɑ-20°，∠EGB=180°-ɑ-20°=β-20°。因为AE是AC的延长线，所以∠AEC=180°-β，又∠EAB=20°，所以∠BAC=160°-β。因为AD=DC，所以∠ACD=∠ADC=1/2∠A=80°-1/2β，又因为∠AOC=2∠BAC=320°-2β，所以∠OCD=120°-1/2β。因为AE是AC的延长线，所以∠FEC=∠AEC=180°-β，又因为∠FEA=∠OEC=90°，所以∠FEC+∠FEA+∠OEC=360°，所以∠FEA=90°-1/2β。因为∠FAB+∠FEB=180°，所以∠FAB=160°-β，又因为∠BAC=160°-β，所以∠FAC=β。因为∠FAC+∠FCA+∠ACD=180°，所以∠FCA=1/2β，又因为∠FCB=∠FCA+∠ACD=80°-1/2β，所以∠ECB=∠FCB-∠FCE=60°-1/2β。因为△EBC是等腰三角形，所以∠BEC=∠ECB=60°-1/2β，又因为∠BAC=160°-β，所以∠BEC=80°+1/2β。因为∠BEG=∠AEG=1/2∠BAC=80°-1/2β，所以∠GEB=∠GAE=ɑ-80°+1/2β，又因为∠EGB=β-20°，所以∠EGF=∠EGB-∠FGB=β-20°-ɑ。因为∠FGE+∠FEB+∠BEC=360°，所以∠FGE=300°-β+ɑ，又因为∠FEG=∠FEB+∠BEC=80°+1/2β，所以∠GEF=220°-1/2β-ɑ。因为△EAG和△EBA的面积之和为γ，所以S△EAG+S△EBA=γ，化简可得S△EAG=S△EBA=1/2γ=ɑ-180°，所以S△ABE=2S△EAB=2S△EAG=2(ɑ-180°)。因为S△ABE=4S△ABC，所以4S△ABC=2(ɑ-180°)，化简可得S△ABC=1/2(360°-5ɑ)，所以S△ABC=90°-5/2ɑ。因为S△ABC=rAB/2，所以rAB=2S△ABC/AB=2(90°-5/2ɑ)/(2sinɑ)=45°-5/4sinɑ。所以△O半径的长为rO=rAB/2=22.5°-5/8sinɑ。9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则m2+2mn+n2=0。10．根据运算定义，可得a@b=4ab，所以a@b=0时，ab=0，即a=0或b=0，所以结论1成立。对于结论2，可将a@（b+c）拆开，得到a@（b+c）=4a(b+c)，又因为a@b=4ab，a@c=4ac，所以a@b+a@c=4a(b+c)，所以结论2成立。对于结论3，可将a@b=a2+5b2拆开，得到4ab=a2+5b2，即5b2-a2=4ab，所以b(5b-a)=4ab，因为ab≠0，所以5b-a=4a，即5b=5a，即b=a，所以不存在满足a@b=a2+5b2的实数a，b，所以结论3不成立。对于结论4，设矩形长为a，宽为b，则周长为2a+2b，所以b=(2a+2b-2b)/2=2a-b，即2b=2a，即a=b，所以结论4成立。16．已知关于x的方程|m-2x|+|2m-x|=y的解满足n＜m＜3，若y＞1，则m的取值范围是2＜m≤3。23．在线段AB的同侧作射线AM和BN，若△MAB与△NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P。当射线AM，BN交于点C；且△ACB=60°时，有以下两个结论：△APB=120°；△AF+BE=AB。证明：因为AC=BC，所以∠ABC=∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA。因为∠MAB=∠NBA，所以△MAB∽△NBA，所以MA/NA=AB/NB，即MA/AB=NA/NB，所以ME/AB=NF/BC，即ME=AB×NF/BC，NF=BC×ME/AB。因为∠FAB+∠FEB=180°，所以BF是△ABE的角平分线，所以AE/EB=AB/BE，即AE/AB=EB/BE+1，所以AE/AB=1+AE/BE，即AE/AB=1+ME/EB，即AE/AB=1+AB×NF/BC/EB，即AE/AB=1+NF/EC，即AE/AB=1+NF/(AB-AE)，即NF=(AB-AE)×AE/AB。因为∠APB=2∠MAB=120°，所以结论1成立。因为AF+BE=AB，所以AF=AB-BE，所以AF/AB=1-BE/AB，即AF/AB=1-BF/AF，即AF2=AB×BF，所以AF/AB=BF/AF，即AF2=BF2，所以AF=BF，所以结论2成立。10.已知AD∥BC，AB⊥AD，点E和点F分别在射线AD和射线BC上。若点E关于AC对称于点B，点E关于BD对称于点F，AC与BD相交于点G，则（）A.1+tan∠ADBB.2BC=5CFC.4cos∠AGBD.∠AEB+22°=∠DEF15.设抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C（2，k）三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为。16.点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H。若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）。22.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称。设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x。(1)用含x的代数式分别表示