【解析】2023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（提高版）

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2023年浙教版数学九年级上册3.4圆心角同步测试（提高版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．（2023·济南模拟）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．B．若，则

C．D．

3．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（）

A．B．C．D．

4．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（）

A．30°B．25°C．20°D．10°

5．（2023九上·息县月考）如图，在⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（）

A．AC＝BCB．CD＝CE

C．∠ACD＝∠BCED．CD⊥OA

6．（2023九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）

A．B．C．2.4D．

7．（2023九上·拱墅期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，.已知，，则弦的弦心距等于

A．B．C．4D．3

8．（2023·恩施模拟）如图，是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为（）

A．1B．C．D．

9．（2023·海南模拟）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）

A．51°B．56°C．68°D．78°

10．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（）

A．B．C．D．

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2022九上·北仑期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为．

12．（2023九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为．

13．（2023九上·鹿城期中）如图，

为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为

14．（2023九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为.

15．（2023·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为．

16．（2023九上·北京月考）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：

①，

②，

③四边形MCDN是正方形，

④MN＝AB，

所有正确结论的序号是．

三、作图题

17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.

四、解答题（共8题，共66分）

18．（2023九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．

19．（2023九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

20．（2022九上·舟山月考）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．

（1）若，求的度数；

（2）若，，求的半径长；

21．（2022九上·莲都期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小.

22．（2022九上·大安期中）如图，在中，B、C是的三等分点，弦相交于点E．

（1）求证：；

（2）连接，若，求的度数．

23．（2022九上·北京市期中）如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，若，求的长．

24．（2023九上·寿光期中）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．

（1）求证：AC＝CD；

（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．

25．（2023九上·上城期中）如图，，是的两条弦，点分别在，上，且，是的中点.

求证：

（1）.

（2）过作于点.当，时，求的半径.

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形

【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；

②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；

③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；

⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.

所以不正确的有①②③④⑤，共5个.

故答案为：D.

【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.

2．【答案】D

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：由作法得：，，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

作半径，如图，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，

∴，

∵，

∴，

∴选项符合题意；

故答案为：．

【分析】利用圆周角、弧和弦的关系逐项判断即可。

3．【答案】C

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，

由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，

，

，

是的中点，

，

，

连接OD'，过点O作OE⊥CD'，

则OE垂直平分CD'，

∴CD'.

故答案为：C.

【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.

4．【答案】C

【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴．

∴的度数20°．

故答案为：C．

【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。

5．【答案】D

【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：在⊙O中，，

，故A选项正确；

在△AOC与△BOC中，

，

，

，

D、E分别是半径OA，OB的中点，

，

在△ACD与△BCE中，

，

，

，，故B、C选项正确；

∵CA和CO不一定相等，

∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.

故答案为：D.

【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.

6．【答案】A

【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，

则∠CBD＝90°，

∵∠A＝90°+∠ABC，

∴∠A＝∠ABD，

∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，

∴CD∥AB，

∴∠BCD＝∠ABC，

∴＝，

∴BD＝AC＝10.

∴OM＝BN，

在Rt△CBD中，CD＝＝26，

∵S△BCD＝×BN×CD＝×BC×BD，

∴BN＝＝＝，

∴OM＝.

即点O到AB的距离为.

故答案为：A.

【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.

7．【答案】D

【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作于，作直径，连接，如图，

，

而，

，

，

，

，

，

而，

为的中位线，

.

故答案为：D.

【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，由邻补角的性质结合已知条件可得∠DAE=∠BAF，则，DE=BF=6，由等腰三角形的性质可得CH=BH，推出AH为△CBF的中位线，据此求解.

8．【答案】B

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接BD，AD.

根据已知得B是A关于OC的对称点，

∴BD就是AP＋PD的最小值，

∵，弧AC的度数是90°的弧，

∴的度数是60°，即：∠B＝30°，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

而AB=2，

∴BD=.

故AP＋PD的最小值是.

故答案为：B.

【分析】连接BD，AD，根据已知得B是A关于OC的对称点，则BD为AP＋PD的最小值，易得∠B＝30°，∠ADB＝90°，据此可求得BD的值，进而得到AP＋PD的最小值.

9．【答案】A

【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】如图，在⊙O中，

∵，

∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，

∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，

∵OA=OE，

∴∠AEO=∠A=.

故答案为：A.

【分析】根据定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弧相等，可得出∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，即可得出∠AOE=78°，OA=OE，在等腰三角形AEO中，即可求出∠AEO=∠A的度数.

10．【答案】B

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC，点是的中点，则，故A正确

B：点E时弧AD的中点

OM是三角形ABD的中位线

故B错误

C：连接AD交OE，点是的中点，所以

因为，所以

故C正确

D：点D是弧AC的中点

故D正确

故答案为B

【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边

B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系

C：同旁内角互补，两直线平行

D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。

11．【答案】90°或270°

【知识点】勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：由题意可知：半径r＝1，弦长为，

根据勾股定理的逆定理可知：，

∴的弦与半径围成的三角形是直角三角形，

∵长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，

∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．

故答案为：90°或者270°．

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形，再结合一条弦所对的弧有优弧与劣弧，即可得出答案.

12．【答案】

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．

∵OC⊥AB，OA=OB，

∴PA=PB，∠COB=90°，

∵，

∴∠DOB=×90°=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠ABD=60°

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin∠ABD=2，

∵PB+PD=PA+PD≥AD，

∴PD+PB≥2，

∴PD+PB的最小值为2，

故答案为：2．

【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。

13．【答案】

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OF.

∵DE⊥AB，

∴DE=EF，，

∵点D是弧AC的中点，

∴，

∴，

∴AC=DF=12，

∴EF=DF=6，设OA=OF=x，

在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，

解得x=.

故答案为：.

【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.

14．【答案】

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵AD＝CD，

∴，

∴OD⊥AC，

∴AE＝CE＝AC＝5，

设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，

在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝

∴OE＝﹣4＝，

∵OB＝OA，AE＝CE，

∴OE为△ABC的中位线，

∴BC＝2OE＝.

故答案为：.

【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.

15．【答案】

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】连结AO.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCO=90°.

∵∠POM=45°，

∴∠CDO=45°，

∴CD=CO，

∴BO=BC+CO=BC+CD，

∴BO=2AB.

∵MN=10，

∴AO=5.

在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，

∴AB=.

【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。

16．【答案】①②④

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接OM、ON，如图，

∵MC⊥AB、ND⊥AB，

∴∠OCM＝∠ODN＝90°，

∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，

∴OC＝OD＝OM＝ON，

∴∠OMC＝∠OND＝30°，

∴∠COM＝∠DON＝60°，

∴∠MON＝60°，

∴，所以②符合题意；

∴△OMN为等边三角形，

∴MN＝CD，∠OMN＝60°

∴MN∥CD，

∴四边形CDNM为矩形，

∴MC＝ND，所以①符合题意；③不符合题意；

∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，

∴④符合题意．

故答案为：①②④

【分析】连接OM、ON，如图，易得OC＝OD＝OM＝ON，利用含30度的直角三角形三边关系得出∠OMC＝∠OND＝30°，得出MC＝ND，可对①进行判断；再计算出∠COM＝∠DON＝60°，则∠MON＝60°，根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形CDNM为矩形，对③进行判断；由四边形CDNM为矩形，得出MN＝CD，则MN＝CD＝OA+OB＝AB，对④进行判断。

17．【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，

则，

∴.

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线

【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.

18．【答案】解：分别连接OA、OC，

∵＝，

∴AB＝CD，

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，

∴AE＝CF，

又∵OA＝OC，

∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），

∴OE＝OF．

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。

19．【答案】解：∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，

∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，

∴BC＝＝8（cm），

又CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴，

∴AD＝BD，

又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，

∴AD2＋BD2＝102，

∴AD＝BD＝＝5（cm）.

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】先求出BC＝＝8（cm），再求出AD＝BD，最后利用勾股定理计算求解即可。

20．【答案】（1）解：∵，

∴=，

∴．

（2）解：设半径是，

∵，，

∴，

在中，

，

∵，半径是，

∴，

则，

解得，

∴．

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得，利用等弧所对的圆心角相等，可求出∠DOB的度数.

（2）设圆的半径为r，利用垂径定理可求出AE的长，同时可表示出OE的长；再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.

21．【答案】（1）解：连接OA并延长AO交BC于E，

∵AB＝AC，

∴＝，

∵AE过圆心O，

∴AE垂直平分BC，

∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，

∴∠BAC＝2∠BAE，

∵OA＝OB，

∴∠ABD＝∠BAE，

∵AB＝AC，∠ACB＝60°，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∴∠ABD＝BAC＝30°，

∴∠CBD＝30°，

∴OB＝8，

故⊙O的半径为8；

（2）解：设∠ABD＝x，

由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，

∴∠BDC＝3x，

△BCD是等腰三角形，

①若BD＝BC，

则∠C＝∠BDC＝3x，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝3x，

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，

∴3x+3x+2x＝180°，

解得x＝22.5°，

∴∠BCD＝3x＝67.5°，

②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，

∴∠ABC＝∠ACB＝4x，

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，

∴4x+4x+2x＝180°，

∴x＝18°，

∴∠BCD＝4x＝72°，

综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°.

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，由弧弦圆心角的关系及垂径定理可推出∠BAC＝2∠BAE，由OA=OB可得∠ABD＝∠BAE，易得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，从而推出∠ABD＝∠BAC＝30°，即得∠CBD=30°，从而得解；

（2）分两种情况：①若BD＝BC，②若BC＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和及外角和分别解答即可.

22．【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）利用弧的运算可得，再根据弧与弦的关系可得；

（2）先求出，再结合，求出即可。

23．【答案】（1）证明：∵为的直径，，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）解：如图所示，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴．

【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据弧和圆周角的关系可得，再结合，可得；

（2）连接OC，先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得。

24．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，

∴，

∴；

（2）解：由（1）可知OC⊥AD，

∵AD＝8，

∴，

∵OE＝2，

∴，

∴⊙O的半径为．

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC=∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；

（2）根据垂径定理求得AE=4，再利用勾股定理求出OA的长，即可得到⊙O的半径为。

25．【答案】（1）证明：∵为的中点

∴，

∵，

∴

∴，

∴

∴

（2）解：连接OM，

∵，

∴，

∵

根据勾股定理得：

∴半径为

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）由中点的概念可得，根据弦、弧的关系可得，进而推出，据此证明；

（2）连接OM，由垂径定理可得ME=MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.

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2023年浙教版数学九年级上册3.4圆心角同步测试（提高版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】D

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形

【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；

②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；

③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；

⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.

所以不正确的有①②③④⑤，共5个.

故答案为：D.

【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.

2．（2023·济南模拟）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．B．若，则

C．D．

【答案】D

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：由作法得：，，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

作半径，如图，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴选项的结论不符合题意；

∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，

∴，

∵，

∴，

∴选项符合题意；

故答案为：．

【分析】利用圆周角、弧和弦的关系逐项判断即可。

3．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，

由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，

，

，

是的中点，

，

，

连接OD'，过点O作OE⊥CD'，

则OE垂直平分CD'，

∴CD'.

故答案为：C.

【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.

4．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（）

A．30°B．25°C．20°D．10°

【答案】C

【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴．

∴的度数20°．

故答案为：C．

【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。

5．（2023九上·息县月考）如图，在⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（）

A．AC＝BCB．CD＝CE

C．∠ACD＝∠BCED．CD⊥OA

【答案】D

【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：在⊙O中，，

，故A选项正确；

在△AOC与△BOC中，

，

，

，

D、E分别是半径OA，OB的中点，

，

在△ACD与△BCE中，

，

，

，，故B、C选项正确；

∵CA和CO不一定相等，

∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.

故答案为：D.

【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.

6．（2023九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）

A．B．C．2.4D．

【答案】A

【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，

则∠CBD＝90°，

∵∠A＝90°+∠ABC，

∴∠A＝∠ABD，

∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，

∴CD∥AB，

∴∠BCD＝∠ABC，

∴＝，

∴BD＝AC＝10.

∴OM＝BN，

在Rt△CBD中，CD＝＝26，

∵S△BCD＝×BN×CD＝×BC×BD，

∴BN＝＝＝，

∴OM＝.

即点O到AB的距离为.

故答案为：A.

【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.

7．（2023九上·拱墅期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，.已知，，则弦的弦心距等于

A．B．C．4D．3

【答案】D

【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作于，作直径，连接，如图，

，

而，

，

，

，

，

，

而，

为的中位线，

.

故答案为：D.

【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，由邻补角的性质结合已知条件可得∠DAE=∠BAF，则，DE=BF=6，由等腰三角形的性质可得CH=BH，推出AH为△CBF的中位线，据此求解.

8．（2023·恩施模拟）如图，是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为（）

A．1B．C．D．

【答案】B

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接BD，AD.

根据已知得B是A关于OC的对称点，

∴BD就是AP＋PD的最小值，

∵，弧AC的度数是90°的弧，

∴的度数是60°，即：∠B＝30°，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

而AB=2，

∴BD=.

故AP＋PD的最小值是.

故答案为：B.

【分析】连接BD，AD，根据已知得B是A关于OC的对称点，则BD为AP＋PD的最小值，易得∠B＝30°，∠ADB＝90°，据此可求得BD的值，进而得到AP＋PD的最小值.

9．（2023·海南模拟）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）

A．51°B．56°C．68°D．78°

【答案】A

【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】如图，在⊙O中，

∵，

∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，

∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，

∵OA=OE，

∴∠AEO=∠A=.

故答案为：A.

【分析】根据定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弧相等，可得出∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，即可得出∠AOE=78°，OA=OE，在等腰三角形AEO中，即可求出∠AEO=∠A的度数.

10．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC，点是的中点，则，故A正确

B：点E时弧AD的中点

OM是三角形ABD的中位线

故B错误

C：连接AD交OE，点是的中点，所以

因为，所以

故C正确

D：点D是弧AC的中点

故D正确

故答案为B

【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边

B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系

C：同旁内角互补，两直线平行

D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2022九上·北仑期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为．

【答案】90°或270°

【知识点】勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：由题意可知：半径r＝1，弦长为，

根据勾股定理的逆定理可知：，

∴的弦与半径围成的三角形是直角三角形，

∵长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，

∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．

故答案为：90°或者270°．

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形，再结合一条弦所对的弧有优弧与劣弧，即可得出答案.

12．（2023九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为．

【答案】

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．

∵OC⊥AB，OA=OB，

∴PA=PB，∠COB=90°，

∵，

∴∠DOB=×90°=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠ABD=60°

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD=ABsin∠ABD=2，

∵PB+PD=PA+PD≥AD，

∴PD+PB≥2，

∴PD+PB的最小值为2，

故答案为：2．

【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。

13．（2023九上·鹿城期中）如图，

为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为

【答案】

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OF.

∵DE⊥AB，

∴DE=EF，，

∵点D是弧AC的中点，

∴，

∴，

∴AC=DF=12，

∴EF=DF=6，设OA=OF=x，

在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，

解得x=.

故答案为：.

【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.

14．（2023九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为.

【答案】

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵AD＝CD，

∴，

∴OD⊥AC，

∴AE＝CE＝AC＝5，

设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，

在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝

∴OE＝﹣4＝，

∵OB＝OA，AE＝CE，

∴OE为△ABC的中位线，

∴BC＝2OE＝.

故答案为：.

【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.

15．（2023·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为．

【答案】

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】连结AO.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCO=90°.

∵∠POM=45°，

∴∠CDO=45°，

∴CD=CO，

∴BO=BC+CO=BC+CD，

∴BO=2AB.

∵MN=10，

∴AO=5.

在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，

∴AB=.

【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。

16．（2023九上·北京月考）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：

①，

②，

③四边形MCDN是正方形，

④MN＝AB，

所有正确结论的序号是．

【答案】①②④

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接OM、ON，如图，

∵MC⊥AB、ND⊥AB，

∴∠OCM＝∠ODN＝90°，

∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，

∴OC＝OD＝OM＝ON，

∴∠OMC＝∠OND＝30°，

∴∠COM＝∠DON＝60°，

∴∠MON＝60°，

∴，所以②符合题意；

∴△OMN为等边三角形，

∴MN＝CD，∠OMN＝60°

∴MN∥CD，

∴四边形CDNM为矩形，

∴MC＝ND，所以①符合题意；③不符合题意；

∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，

∴④符合题意．

故答案为：①②④

【分析】连接OM、ON，如图，易得OC＝OD＝OM＝ON，利用含30度的直角三角形三边关系得出∠OMC＝∠OND＝30°，得出MC＝ND，可对①进行判断；再计算出∠COM＝∠DON＝60°，则∠MON＝60°，根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形CDNM为矩形，对③进行判断；由四边形CDNM为矩形，得出MN＝CD，则MN＝CD＝OA+OB＝AB，对④进行判断。

三、作图题

17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，

则，

∴.

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线

【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.

四、解答题（共8题，共66分）

18．（2023九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．

【答案】解：分别连接OA、OC，

∵＝，

∴AB＝CD，

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，

∴AE＝CF，

又∵OA＝OC，

∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），

∴OE＝OF．

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。

19．（2023九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

【答案】解：∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，

∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，

∴BC＝＝8（cm），

又CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴，

∴AD＝BD，

又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，

∴AD2＋BD2＝102，

∴AD＝BD＝＝5（cm）.

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】先求出BC＝＝8（cm），再求出AD＝BD，最后利用勾股定理计算求解即可。

20．（2022九上·舟山月考）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．

（1）若，求的度数；

（2）若，，求的半径长；

【答案】（1）解：∵，

∴=，

∴．

（2）解：设半径是，

∵，，

∴，

在中，

，

∵，半径是，

∴，

则，

解得，

∴．

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得，利用等弧所对的圆心角相等，可求出∠DOB的度数.

（2）设圆的半径为r，利用垂径定理可求出AE的长，同时可表示出OE的长；再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.

21．（2022九上·莲都期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

（1）若∠ACB＝60°，