广东省湛江市郭屋中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

广东省湛江市郭屋中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点是的重心，若，，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程无解，则实数的取值范围是A．

B．

C． D．参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案解析】D

解析：由f（x）﹣cosx﹣a=0得f（x）﹣cosx=a，设g（x）=f（x）﹣cosx，∵定义在R上的偶函数f（x），∴g（x）也是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，∴g（x）=x3﹣cosx，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）≤g（x）≤g（1），即﹣1≤g（x）≤1，∵偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1），∴f（1﹣x）=f（x+1）=f（x﹣1），即f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，则函数g（x）在R上的值域为[﹣1，1]，若方程f（x）﹣cosx﹣a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）﹣cosx=a无解，则a＜﹣1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．3.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），则|1﹣z|=（）A． B． C．2 D．1参考答案：A【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】代入复数直接利用求模的运算法则求解即可．【解答】解：复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），则|1﹣z|=|1﹣（﹣1﹣i）|=|2+i|==．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．4.已知球O的面上四点A、B、C、D,

则球O的体积等于（

）

A． B．

C．

D．参考答案：C略5.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实常数的取值范围是(

).

A. B.

C.

D.参考答案：答案：B6.设为等比数列的前n项和，且=

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.“sinα=cosα”是“sin2α=1”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C8.函数的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】设，，（λ，μ∈）．可得=（0，λ，2λ），=+μ=（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的计算公式可得=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|=，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设，，（λ，μ∈）．∴=（0，λ，2λ），=+μ=（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）=（1﹣μ，μ，0）．∴=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|===，当且仅当，，即λ=，时取等号．∴线段PQ长度的最小值为．故选：C．10.如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．4π B．12π C．12π D．24π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为直三棱柱，作出直观图，根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置，计算半径．【解答】解：由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C'，作出直观图如图所示：则AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2．∴AC=2．∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O，∴外接球半径r=OA=AC'==．∴外接球的表面积S=4π×=12π．故选B．【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角A，B，C的对边分别为，且，面积，则b=___________.参考答案：【知识点】三角形面积公式;余弦定理.C85

解析：由面积公式，带入已知条件得，再由余弦定理得故答案为：5.【思路点拨】先由面积公式，带入已知条件得，再由余弦定理可解得b.12.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的 .参考答案：413.设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将已知的两个等式分别平方相减即得．【解答】解：由已知得到|+|2=15，|﹣|2=11，即=15，=11，两式相减得到4，所以=1；故答案为：1．【点评】本题考查了平面向量的模的平方与向量的平方相等的运用．属于基础题．14.菱形ABCD边长为6，，将沿对角线BD翻折使得二面角的大小为120°，已知A、B、C、D四点在同一球面上，则球的表面积等于

．参考答案：如图，点，分别为，外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为，，所以，，，∴，，故答案为．15.已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则

.参考答案：试题分析：由圆的极坐标方程为两边同时乘以得：化为直角坐标方程得：，即知圆心M的坐标为；又将点的极坐标为化为直角坐标得，即；所以；故答案为：.考点：极坐标与直角坐标的互化.16.如果执行右面的程序框图，那么输出的

▲

参考答案：答案：255017.已知函数f（x）=lnx，0<a<b<c<1，则，，的大小关系是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米。（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。参考答案：19.（本小题14分）已知函数，（1）求函数的极值点；（2）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（3）设函数，其中，求函数在上的最小值（其中为自然对数的底数）.参考答案：（3）依题意，，，，令，则，所以当，，单调递减；，，单调递增；又，所以①当，即时，的极小值为；②当，即时，的极小值为；③当，即时，的极小值为.故①当时，的最小值为0；②当时，的最小值为；③当时，的最小值为.20.(14分)已知数列中，，，其前项和满足，令

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，求证：

①对于任意正整数，都有．

②对于任意的，均存在，使得时，．参考答案：解析：(Ⅰ)由题意知即

…………3分检验知时，结论也成立故.………………4分(Ⅱ)①由于

………………9分②若，其中，则有，则，故，取（其中表示不超过的最大整数），则当时，.………14分21.如图，如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成角为，且，求点到平面的距离．

参考答案：解：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形， ∴

又平面，平面

平面 （II）设平面的距离为，【法一】：因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，因，则，…………则，因所以……………… 【法二】因平面，故为与平面所成角，所以，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离.又，所以…………… 略22.已知f（x）=ex+acosx（e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在x=0处的切线过点P（1，6），求实数a的值；（2）当x∈[0，]时，f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，可得f（x）在x=0处的切线方程，利用f（x）在x=0处的切线过点P（1，6），求实数a的值；（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），令g（x）=x﹣cosx，，分类讨论由ex≥a（x﹣cosx），得，令，研究h（x）的最值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=ex﹣asinx，∴f'（0）=1．f（0）=1+a，∴f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1+a，∵切线过点P（1，6），∴6=2+a，∴a=4．（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），（*）令g（x）=x﹣cosx，，∴g'（x）=1+sinx＞0，且g（0）=﹣1＜0，，∴存在，使得g（m）=0，当x∈（0，m）时，g（m）＜0；当时，g（m）＞0．①当x=m时，em＞0，g（m）=m﹣cosm=0，此时，对于任意a∈R（*）式恒成立；②当时，g（x）=x﹣cosx＞0，由ex≥a（x﹣