安徽省亳州市蒙城县第四中学高三数学文联考试卷含解析

安徽省亳州市蒙城县第四中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和为，则数列的前2019项和为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得，，可得．利用裂项求和方法即可得出．【详解】设等差数列的公差为，，，，，联立解得：，．．则数列的前2019项和．故选：．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．2.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象的一条对称轴方程是A、B、C、D、参考答案：D平移后所得图象对应的函数为，由

得，于是当时，．3.函数的零点属于区间()A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.若，，且，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：D5.为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为,第二组的频数为150，则被调查的人数应为

（

）A.600

B.400

C.700

D.500参考答案：D6.已知偶函数，当时,．设，，，则(

) 参考答案：D7.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为A．.

B．

C．

D．参考答案：B8.下列命题错误的是

A.命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；B.若命题，则；C.中，是的充要条件；D.若向量满足，则与的夹角为钝角.参考答案：D与的夹角为时，，但与的夹角不是钝角,所以D错9.某电视图夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（

）A．0.48 B．0.4 C．0.32 D．0.24参考答案：D由题得故该选手只闯过前两关的概率为0.24.故答案为：D

10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.D、E是线段AB上满足条件，的点，若，则当角C为钝角时，的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有，，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点坐标为

．

参考答案：略12.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=

；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n= ．参考答案：3;6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．13.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为___________（用“”连接）．参考答案：根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大．乙的数据，分布均可，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲组中的小．丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小．故本题的正确答案为．14.已知函数，实数m，n满足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为______.参考答案：16【分析】利用函数的单调性可得||＝2，或＝2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【详解】由题意得﹣＝，∴n，且,又函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||＝2，或＝2．∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当＝2时，n＝，m，此时，f（x）在区间[m2，n]上最大值为||＝4，不满足条件．综上，n＝e，m．,故答案为．【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到点与到点的距离之比为，已知点，则的最大值为

．参考答案：16.曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝__________.参考答案：试验中所含基本事件个数为36；若方程表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能．又椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)＝.17.设满足约束条件的最大值为12，则的最小值为________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=mx﹣1（m＞0）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）当m=2时，令b=f（a）+g（a）+2，求证：b﹣2a≤1．参考答案：（Ⅰ）求导，由，得.当时，；当时，.

所以，函数在上是增函数，在上是减函数.-------------5分

(Ⅱ)令

则因为，所以，由得当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数.所以，在上的最大值为，解得所以当时恒成立.

-------------10分

（Ⅲ）由题意知，.由（Ⅰ）知，即有不等式.

于是

即

-------------14分19.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x的焦点，且?=0，2+=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，解得c=1．在Rt△F1BQ中，|BF2|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，所以c=1．…（1分）在Rt△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|=2c=2，所以a=2．…（2分）于是椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．，，又k＞0，所以．

…（6分）因为，所以，．…（8分）因为AE⊥MN，所以，即，整理得．…（10分）因为时，，，所以．…（12分）点评： 本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20.(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.

(Ⅰ)求矩阵A；

(Ⅱ)若矩阵B=，求直线先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.

参考答案：(Ⅰ)由已知得，所以…………2分

解得

故A=.

……………………3分(Ⅱ)

BA==，因为矩阵BA所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两点（0，1），（-1，2），……………4分，，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1）

……………6分从而直线在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为.……7分21.(本小题满分12分）已知，数列的前n项和为，点在曲线上，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前n项和为，且满足，，求数列的通项公式；（3）求证：.参考答案：（1）

∴∴，∴数列是等差数列，首项公差d=4∴

∴

∴

……………4分

（2）由，得，∴∴数列是等差数列，首项为，公差为1

∴

当

∴

…………8分

（3）

∴∴

…………12分略22.(本小题满分12分