2022-2023学年宁夏银川重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年宁夏银川重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设{e1,eA.e1+e2和e1−e2 B.3e1−42.已知向量a=(−2,1A.(−1,6) B.(13.已知M(−2,7)，N(10,−2)A.(−14,16) B.(224.海上有相距10海里的A与B两个小岛，从A岛望另外一个C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B与C之间的距离是(

)A.103海里 B.1063海里 C.55.在△ABC中，角A的角平分线交BC于点D，且AB=4，A.13AC+23AB 6.定义：|a×b|=|a|⋅|b|⋅sinθ，其中A.−8 B.8 C.−8或8 7.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAA.43 B.53 C.1588.如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，b2+c2−aA.23

B.26

C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在下列结论中，正确的结论为(

)A.a//b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件

B.a//b且|a|=|b|是a=10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△A.a=3，b=4，A=30° B.a=3，b=4，cosB11.(多选)已知M为△ABC的重心，D为BCA.|MA|=|MB|=|MC12.已知向量a=(1,2),bA.|b|=2

B.(2a+b)//(a+2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(1,3),b=14.已知向量a,b的夹角为150°,|a|15.在△ABC中，已知A=120°,16.平行四边形ABCD中，|AB|=6，|AD|=4，若点四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

设a，b是不共线的两个非零向量．

(1)若OA=2a+b,OB=3a−b,O18.(本小题12.0分)已知AB=(−1,3(1)求实数n的值；

(2)若A19.(本小题12.0分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b+c=−cosAcosC．

20.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点21.(本小题12.0分)

如图所示，在△ABC中，AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD．22.(本小题12.0分)

为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域△ABC近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示(长度已按一定比例尺进行缩小)，你能否运用所学知识解决下面两个问题．

(1)若CD与BD的长度和为12，当∠BDC=120°时，求扩建的区域△B

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：对于A，∵e1+e2和e1−e2不是共线向量，∴可以作为基底，

对于B，∵3e1−4e2=12(6e1−8e2)，∴是共线向量，∴不可以作为基底，

2.【答案】A

【解析】解：因为a=(−2,1),b=(−3.【答案】D

【解析】解：D设P(x,y)，则PN=(10−x,−2−y)，PM=(−2−x4.【答案】D

【解析】解：海上有相距10海里的A与B两个小岛，从A岛望另外一个C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，可知A=60°，B=75°，AB=10海里．

∴∠C=180°−60°−75°=45°5.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，角A的角平分线交BC于点D，且AB=4，AC=2，

所以∠CAD=∠BAD，

所以由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD6.【答案】B

【解析】解：由题意可得2×5cosθ=−6，解得cosθ=−35，再由0≤θ≤π可得

sinθ7.【答案】B

【解析】【分析】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．

根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出AM=AB+12AD,BD=AD−A【解答】解：AC=AB+AD，AM=AB+BM=AB+12AD，BD=

8.【答案】A

【解析】解：在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，

即22=(a2)2+(7)2−27×a2×9.【答案】AC【解析】解：因为a//b且|a|=|b|，所以a=b或a=−b，所以a//b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件，故A正确，B错误；

C，因为a与b方向相同且|a|=|b|，所以a=b，则a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件，故C正确；

D，若a与b方向相反或10.【答案】BC【解析】解：由正弦定理得sinB=bsinAa=4×123=23，

由b>a得B>A，故B为锐角或钝角，A不符合题意；

由cosB=35得sinB=45=bsinAa=4sinA3，

所以sinA11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算法则，重心的性质，属于中档题．

利用重心的性质，再结合平面向量的线性运算法则进行判断即可．【解答】解：A，∵M为△ABC的重心，未必为该三角形的外心，

∴不一定有|MA|=|MB|=|MC|，故A错误，

B，∵M为△ABC的重心，D为BC的中点，∴AM=2MD，

∵MB+MC

12.【答案】AC【解析】解：由已知可得a+b=(m+1,3)，

因为b⋅(a+b)=3，

所以m(m+1)+3=3，

解得m=−1或m=0，

又因为m<0，

所以m=−1，

所以b=(−1,1)，

对于A选项，|b|=(−1)2+12=2，

故A选项正确；

对于B选项，2a+b=(1,5),a+2b=(−1,4)，

由于1×413.【答案】12【解析】解：∵a=(1,3)，b=(3,4)，

∴a−λb=(1−3λ,3−4λ)，b−14.【答案】2【解析】解：因为向量a,b的夹角为150°，|a|=2,|b|=3，

所以(a−2b15.【答案】3

【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

由题意可得A=120°，a=19，c=2，

结合余弦定理，可得19=b2+4−2×b×2×cos120°，即b216.【答案】9

【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

用AB，AD表示出AM【解答】解：∵BM=3MC，DN=2NC，

∴NC=13DC

17.【答案】解：(1)因为AB=OB−OA=(3a−b)−(2a+b)=a−2b，

AC=OC−OB=(a+3b)−(2a+b)=−a+2b【解析】(1)要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可．

(2)18.【答案】解：由题意知AB=(−1,3)，BC=(3,m)，CD=(1,n)，

所以AD=AB+BC+【解析】本题考查了向量平行和垂直的性质运用，关键是明确坐标关系，属于基础题．

(1)由已知得到向量AD，利用向量平行即可求出n；

(2)求出AC，B19.【答案】解：(1)因为a2b+c=−cosAcosC，所以(2b+c)cosA=−acosC，

由正弦定理得(2sinB+sinC)co【解析】(1)先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；

(2)先利用正弦定理找到边b，c20.【答案】解：(1)设AB=a，AC=b，

则AD=AB+BD

=AB+14BC

=AB+14(AC−AB)

=34AB+14AC

=34a+14b，

所以【解析】(1)利用AB和AC表示AD，然后利用平面向量数量积的运算律计算可得；

21.【答案】解：(1)∵AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD，

∴BD=AD−AB=13AC−AB=13b−a，

AE=AB+BE=A【解析】(1)根据平面向量的线性运算法则，求解即可；