向量在平面几何中解题的应用课件

向量在平面几何中解题的应用向量在平面几何中解题的应用1一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件:

与共线

（2）向量垂直的充要条件：（3）两向量相等充要条件：且方向相同。一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件:与2二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐标形式证明？二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周3二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：设，则

分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。∴二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边4三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证由此可设如何证？利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、5三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点ABCDEH解：设AD与BE交于H，即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、6三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点HFABCDE分析：如图建立坐标系，设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。再设H(0,m)F(x,y)由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：可得：可得：即而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即AD、BE、CF交于一点三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、7三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设则由此可得即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知△ABC8四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是9四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)解得：e=5即AE=5四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是10四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。OABG·PQ由PO=mOA,QO=nOB可知：O分的比为，O分的比为由此可设由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到mn的关系。-m-n??四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，11四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：OABG·PQ证：如图建立坐标系，设所以重心G的坐标为由PO=mOA,QO=nOB可知：即O分的比为-m，O分的比为-n求得由向量可得：化简得：四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，12例3如图，ABCD中，点E、F分别是AD、

DC边的中点，BE、

BF分别与AC交于R、

T两点，你能发现AR、

RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC例3如图，ABCD中，点E、F分别是AD、D13解：设则由于与共线，故设又因为共线，所以设因为所以ABCDEFRT解：设14线，故AT=RT=TCABCDEFRT线，故AT=RT=TCABCDEFRT15你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建16向量在平面几何中解题的应用ppt课件17向量在平面几何中解题的应用ppt课件18五、巩固练习：1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足求证：AB⊥OCABCO五、巩固练习：1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2：如193：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线l过A、B两点，求点C到l的距离.HOABCxyl分析一：如图，