2023年一级计量师专业实务全程强化

一、考试目的及学习建议考察应考人员运用测量误差理论、测量不拟定度评估与表达的方法以及计量的有关规定，解决测量数据、评估测量不拟定度、从事计量实务并解决工作中相应问题的能力。１、本册共分两章，重点从两个侧面分析了“测量数据解决”和“计量专业实务”的基本理论知识和专业实务；２、以原理和方法为主，掌握方法的针对性和计算的过程，以及结论的分析；３、以书本的知识为主，用一定的时间复习书；４、掌握和练习书后的习题，分析参考答案。考试合格标准一、二级注册计量师（考试时间2023年6月15、16日）科目试卷满分合格标准计量法律法规及综合知识12072测量数据解决与计量专业实务12072计量专业案例分析12072计量法律法规及综合知识12072计量实务与案例分析12072二、教材知识结构及重点例题二、教材知识结构及重点例题第三章重点：实验标准偏差的估计方法、异常值的判别和剔除、计量器具误差的表达与评估、鉴定计量器具合格或不合格的判据，测量不拟定度的评估与表达等。内容：实验标准偏差的估计方法：能根据不同情况选择相应的标准偏差估计方法（贝赛尔公式法适合测量次数较多的情况、测量数据的概论分布为正态分布时一般最大残差法和极差法，极差法更适应测量次数较少的情况。）第四章重点：检定、校准和检测的意义及实行，各环节相关的规范和规定等。二、教材知识结构及重点例题例题1.对某被测件进行了4次测量,测量数据为：0.02g,0.05g,0.04g,0.06g。请用极差法估算实验标准偏差。计算环节：（1）计算极差r＝xmax－xmin；（2）根据观测次数查极差法c值表；（3）计算实验标准偏差。【重点】异常值判别和剔除：掌握三种异常值判别准则和相应的合用情况。测量次数充足大的前提下用拉依达准则，3<n<50时，格拉布斯准则效果较好，合用于单个异常值，有多于一个异常值时狄克逊准则较好。二、教材知识结构及重点例题例题2.使用格拉布斯准则检查以下n=6个反复观测值中是否存在异常值：0.82，0.78，0.80，0.91，0.79，0.76。格拉布斯准则计算公式：计算环节：（1）计算算术平均值;（2）计算实验标准偏差；（3）找出残差最大的观测值（可疑值）；（4）根据公式进行判别。【重点】检定期鉴定计量器具合格与否的判据：鉴定仪器的示值误差是否在最大允许误差范围内。掌握：示值误差符合性评估的基本规定评估示值误差的测量不拟定度（u95或k＝2时的u）与被评估测量仪器的最大允许误差的绝对值（mpev）之比小于或等于1/3。u95≤(1/3)*mpev【重点】考虑示值误差评估的测量不拟定度后的符合性鉴定被评估测量仪器不满足条件u95≤(1/3)*mpev时，要考虑示值误差的测量不拟定度对符合性评估的影响。合格判据：不合格判据：待定区：【重点】测量不拟定度的评估与表达掌握：标准不拟定度分量的a类和b类评估方法，评估不拟定度的一般环节。三、授课思绪以大纲和参考教材为重要依据，重点讲述考试中的重点和难点以及考试中的注意事项。（一）结合考试大纲分析讲解教材知识点（二）结合真题查找考点重点并仔细分析（三）提供真题模拟题帮助学员查缺补漏（四）考前分析答题技巧帮助考生提分四、答题技巧答题卡填涂要规范；学员若对某题考察内容非常熟悉，可直接从备选项中选出答案。若对考察内容不是特别熟悉，可采用排除法，排除错误选项后，剩下的即为对的选项。四、答题技巧对于多项选择题(1)消元法：多选题都是两个或两个以上答案是对的的，其干扰项(错误项)最多为两个，因此，碰到此题运用消元法是最普遍的。先将自己认为不是对的的选项消除掉，余下的则为选项。四、答题技巧对于多项选择题(2)分析法：将四个选择项所有置于试题中，纵横比较，逐个分析，去误求正，去伪存真，获得抱负的答案。(3)语感法：在答题中因找不到充足的根据拟定对的选项时，可以将试题默读几遍，自己感觉读起来不别扭，语言流畅、顺口，即可拟定为答案。四、答题技巧(4)类比法：四个选项中有一个选项不属于同一范畴，那么，余下的三项则为选择项。如有两个选项不能归类时，则根据优选法选出其中一组选项作为自己的选择项。(5)推测法：运用上下文推测词义。有些试题要从句子中的结构及语法知识推测入手，配合自己平时积累的常识来判断其义，推测出逻辑的条件和结论，以期将对的的选项准确地选出。第三章测量数据解决重点：1）测量误差的解决；2）测量不拟定度的评估与表达以及测量结果的报告。难点：1）减小系统误差的方法；2）实验标准偏差的计算；3）异常值的判别和剔除；4）测量反复性和测量复现性的评估；5）计量器具计量特性的评估；6)记录技术的应用，评估测量不拟定度的环节和方法;7)数据的有效位数和修约规定。第一节测量误差的解决知识点：误差的一般分类1.系统误差（可定误差）系统误差的特性反复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。可以用对照实验、空白实验、校正仪器等办法加以校正。2.随机误差（不可定误差）产生因素与系统误差不同，它是由于某些偶尔的因素所引起的。例如：测定期环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。随机误差的特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律）；但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（记录学正态分布），可用记录学方法来解决3．一般规律结识系统误差——可检定和校正随即误差——可控制只有校正了系统误差和控制了偶尔误差，测定结果才可靠。知识点二：系统误差的发现和减小系统误差的方法系统误差也许由仪器误差、装置误差、人为误差、外界误差及方法误差引起，因此要发现系统误差是哪种误差引起的不太容易，而要完全消除系统误差则是更加困难的。（一）系统误差的发现(1)在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值。(2)在测量条件改变时，例如随时间、温度、频率等条件改变时，测量结果按某一拟定的规律变化，也许是线性地或非线性地增长或减小，就可以发现测量结果中存在可变的系统误差。(二)减小系统误差的方法要完全消除系统误差比较困难，但减少系统误差则是也许的。减少系统误差的首选方法是用标准件校准仪器，作出校正曲线；最佳是请计量部门或仪器制造厂家校准仪器；另一方面是实验时对的地使用仪器，如调准仪器的零点、选择适当的量程、对的地进行操作等。通常，消除或减小系统误差有以下几种方法：1.采用修正的方法对系统误差的已知部分，用对测量结果进行修正的方法来减小系统误差。例如：测量结果为300c，用计量标准测得的结果是30.10c，则已知系统误差的估计值为-0.10c，也就是修正值为+0.10c；依据：已修正测量结果=未修正测量结果+修正值已修正测量结果为=300c+0.10c=30.10c。2.在实验过程中尽也许减少或消除一切产生系统误差的因素例如：在实验或检测仪器使用时，假如应当对中的未能对中，应当调整到水平、垂直或平行抱负状态的未能调好，都会带来测量的系统误差，操作者应仔细调整，以便减小误差。又如在对模拟式仪表读数时，由于测量人员每个人的习惯不同会导致读数误差，采用了数字显示仪器后就消除了人为读数误差。3.选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中的误差符号相反。实验和测量中常用的几种方法：(1)恒定系统误差消除法①异号法改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种条件下的测量结果中的误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。【案例】带有螺杆式读数装置的测量仪存在空行程，即螺旋旋转时，刻度变化而量杆不动，引起测量的系统误差。为消除这一系统误差，可从两个方向对线。第一次顺时针旋转对准刻度读数为d，设不含系统误差的值为a，空行程引起的恒定系统误差为ε，则d=a+ε；第二次逆时针旋转对准刻度读数为d′，此时空行程引起的恒定系统误差为-e，即d′=a一e。于是取平均值就可以得到消除了系统误差的测量结果：a=d+d′/2。②互换法将测量中的某些条件适当互换，例如被测物的位置互相互换，设法使两次测量中的误差源对测结果的作用相反，从而抵消了系统误差。例如：用等臂天平称重，第一次在右边秤盘中放置被测物x，在左边秤盘中放置砝码p，使天平平衡，这时被测物的质量为x=pll/l2，当两臂相等(ll=l2)时x=p；假如两臂存在微小的差异(ll≠l2)，而仍以x=p为测量结果，就会使测量结果中存在系统误差。为了抵消这一系统误差，可以将被测物与砝码互换位置，此时天平不会平衡，改变砝码质量到p′时天平平衡，则这时被测物的质量为x=p′l2/l1。所以可以用位置互换前后的两次测得值的几何平均值得到消除了系统误差的测量结果x=（pp′）1/2③替代法保持测量条件不变，用某一已知量值的标准器替代被测件再作测量，使指示仪器的指示不变或指零，这时被测量等于已知的标准量，达成消除系统误差的目的。【案例1】用精密电桥测量某个电阻器时，先将被测电阻器接入电桥的一臂，使电桥平衡；然后用一个标准电阻箱代替被测电阻器接入，调节电阻箱的电阻，使电桥再次平衡。则此时标准电阻箱的电阻值就是被测电阻器的电阻值。可以消除电桥其他三个臂的不抱负等因素引入的系统误差。【案例2】采用高频替代法校准微波衰减器，其测量原理图如图3-1所示。

图3-1高频替代法校准微波衰减器测量原理图当被校衰减器衰减刻度从al改变到a2时，调节标准衰减器从asl到as2，使接受机指示保持不变，则被校衰减器的衰减变化量al一a2=ax等于标准衰减器的衰减变化量as=as2一asl，，可以使微波信号源和测量接受机在校准中不引入系统误差。(2)可变系统误差消除法合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。①对称测量法消除线性系统误差【案例1】用电压表作指示，测量被检电压源与标准电压源的输出电压之差，由于电压表零位存在线性漂移(如图3-2所示)，会使测量引入可变的系统误差。此时可以采用下列测量环节来消除这种系统误差：顺序测量4次，在t1时刻从电压表上读得标准电压源的电压测量值a，在t2时刻从电压表上读得被检电压源的电压测量值x，在t3时刻从电压表上再读得被检电压源的电压测量值x′，在t4时刻再读得标准电压源的电压测量值况a′。图3-2对称测量法设标准电压源和被检电压源的电压分别为vs和vx，系统误差用ε表达，则t1时：a=vs十ε1，t2时：x=vx十ε2t3时：x＇=vx十ε3t4时：a＇=vs十ε4测量时只要满足t2一t1=t4一t3，当线性漂移条件满足时，则有：ε2—ε1=ε4—ε3于是有：vx—vs=(x+x＇)/2—(a+a＇)/2，由上式得到的被检电压源与标准电压源的输出电压之差测量结果中消除了由于电压表线性漂移引入的系统误差。【案例2】用质量比较仪作指示仪表，用f2级标准砝码替代被校砝码的方法校准标称值为10kg的ml级砝码，为消除由质量比较仪漂移引入的可变系统误差，砝码的替代方案采用按“标准～被校～被校～标准”顺序进行。测量数据如下：第一次加标准砝码时读数为ms1=+0.010g，接着加被校砝码，读数为mx1=+0.020g；再第二次加被校砝码，读数为mx2=0.025g，再第二次加标准砝码，读数为ms2=+0.0l5g。则被校砝码与标准砝码的质量差δm由下式计算得到：δm=(mx1+mx2)/2一(ms1+ms1)/2=(0.045g一0.025g)/2=+0.01g，由此获得被校砝码的修正值为一0.01g。②半周期偶数测量法消除周期性系统误差——这种方法广泛用于测角仪上。周期性系统误差通常可以表达为：ε=asin2πl/t式中：t——误差变化的周期；l——决定周期性系统误差的自变量(如时间、角度等)。由公式可知，由于相隔t/2半周期的两个测量结果中的误差是大小相等符号相反的。——所以凡相隔半周期的一对测量值的均值中不再具有此项系统误差。(三)修正系统误差的方法1.在测量结果上加修正值——修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反。——当测量结果与相应的标准值比较时，测量结果与标准值的差值为测量结果系统误差估计值。δ=—xs式中：δ——测量结果的系统误差估计值；——未修正的测量结果；xs——标准值。注意的是：当对测量仪器的示值进行修正时，δ为仪器的示值误差δ=x—xs式中：x——被评估的仪器的示值或标称值；xs——标准装置给出的标准值。则修正值c为c=－δ已修正的测量结果xc为xc=+c【案例】用电阻标准装置校准一个标称值为1ω的标准电阻时，标准装置的读数为1.0003ω。问：该被校标准电阻的系统误差估计值、修正值、已修正的校准结果分别为多少?【案例分析】系统误差估计值=示值误差=1ω－1.0003ω=－0.0003ω依据修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反，则示值的修正值=+0.0003ω巳修正的校准结果=1ω+0.0003ω=1.0003ω【案例】用电阻标准装置校准一个标称值为1ω的标准电阻时，标准装置的读数为1.0003ω。问：该被校标准电阻的系统误差估计值、修正值、已修正的校准结果分别为多少?【案例分析】系统误差估计值=示值误差=1ω－1.0003ω=－0.0003ω依据修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反，则示值的修正值=+0.0003ω巳修正的校准结果=1ω+0.0003ω=1.0003ω3.画修正曲线当测量结果的修正值随某个影响量的变化而变化，这种影响量例如温度、频率、时间、长度等，那么应当将在影响量取不同值时的修正值画出修正曲线，以便在使用时可以查曲线得到所需的修正值。例如电阻的温度修正曲线的示意图如图3-3所示。实际画图时，通常要采用最小二乘法将各数据点拟合成最佳曲线或直线。

图3-3电阻温度修正曲线4.制定修正值表当测量结果同时随几个影响量的变化而变化时，或者当修正数据非常多且函数关系不清楚等情况下，最方便的方法是将修正值制定成表格，以便在使用时可以查表得到所需的修正值。表格形式举例如表3-1所示。表3-1电阻的频率和温度修正值表ω温度/0c频率/hz203040506010200提醒注意的是：(1)修正值或修正因子的获得，最常用的方法是将测量结果与计量标准的标准值比较得到，也就是通过校准得到。修正曲线往往还需要采用实验方法获得。(2)修正值和修正因子都是有不拟定度的。在获得修正值或修正因子时，需要评估这些值的不拟定度。(3)使用已修正测量结果时，该测量结果的不拟定度中应当考虑由于修正不完善引入的不拟定度分量。知识点三：实验标准偏差的估计方法——随机误差随机误差是指“测量结果与在反复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差”。它是在反复测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量。由于实际工作中不也许测量无穷多次，因此不能得到随机误差的值。随机误差的大小限度反映了测量值的分散性，即测量的反复性。——实验标准偏差反复性是用实验标准偏差表征的。用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表达。实验标准偏差是表征测量值分散性的量。当用多次测量的算术平均值作为测量结果时，测量结果的实验标准偏差是测量值实验标准偏差的倍(n为测量次数)。因此可以说，当反复性较差时可以增长测量次数取算术平均值作为测量结果，来减小测量的随机误差。(一)几种常用的实验标准偏差的估计方法在相同条件下，对同一被测量x作n次反复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法估计。1.贝塞尔公式法——适合于测量次数较多的情况从有限次独立反复测量的一系列测量值代入式（3—6）得到估计的标准偏差（用样本的标准偏差s来衡量分析数据的分散限度）。（3—6）式中（n-1）为自由度，它说明在n次测定中，只有（n—1）个可变偏差，引入（n—1），重要是为了校正以样本平均值代替总体平均值所引起的误差。式中：——n次测量的算术平均值，vi——第i次测量的测得值；vi=xi———残差v=n—1——自由度s(x)——(测量值x的)实验标准偏差。【案例】对某被测件的长度反复测量10次，测量数据如下：10.0006m，10.0004m，10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用实验标准偏差表征测量的反复性，请计算实验标准偏差。【案例分析】n=10，计算环节如下：(1)计算算术平均值：=10m+(0.0006+0.0004+0.0008+0.0002+0.0003+0.0005+0.0005+0.0007+0.0004+0.0006)m/10=10.0005m(2)计算10个残差：+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001(3)计算残差平方和：(4)计算实验标准偏差所以实验标准偏差s(x)=0.00015m=0.0002m(自由度为n－1=9)。2.极差法一般在测量次数较小时采用该法。从有限次独立反复测量的一系列测量值中找出最大值xmax最小值工xmin，得到极差r=xmax—xmin，根据测量次数n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估计的标准偏差。s(x)=(xmax—xmin)/c(3-8)式中：c——极差系数。极差法的c值列于表3-3。表3-3极差法的c值表n23456789101520cn1.131.642.062.332.532.702.852.973.083.473.74【案例】对某被测件进行了4次测量，测量数据为：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。请用极差法估算实验标准偏差。【案例分析】计算环节如下：(1)计算极差：r=xmax－xmin=0.06g－0.02g=0.04g(2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；(3)计算实验标准偏差：s(x)=(xmax—xmin)/c=0.04g/2.06=0.02g。3.较差法——合用于频率稳定度测量或天文观测等领域。从有限次独立反复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下值得到估计的标准偏差：(二)各种估计方法的比较贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不拟定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不拟定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不拟定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。在测量次数较少时常采用极差法。较差法更合用于随机过程的方差分析，如合用于频率稳定度测量或天文观测等领域。知识点四：算术平均值及其实验标准差的计算(一)算术平均值的计算在相同条件下对被测量x进行有限次反复测量，得到一系列测量值x1，x2，x3，，，，，xn，平均值为：(二)算术平均值实验标准差的计算若测量值的实验标准偏差为s(x)，则算术平均值的实验标准偏差为有限次测量的算术平均值的实验标准偏差与成反比。测量次数增长，减小，即算术平均值的分散性减小。增长测量次数，用多次测量的算术平均值作为测量结果，可以减小随机误差，或者说，减小由于各种随机影响引入的不拟定度。但随测量次数的进一步增长，算术平均值的实验标准偏差减小的限度减弱，相反会增长人力、时间和仪器磨损等问题，所以一般取n=3~20。【案例】某计量人员在建立计量标准时，对计量标准进行过反复性评估，对被测件反复测量10次，按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s(x)=0.08v。现在，在相同条件下对同一被测件测量4次，取4次测量的算术平均值作为测量结果的最佳估计值，他认为算术平均值的实验标准偏差为s(x)的1/4，即s(x)=0.08v/4=0.02v。【案例分析】计量人员应搞清楚算术平均值的实验标准偏差与测量值的实验标准偏差有什么关系?依据jjf1059——1999《测量不拟定度评估与表达》和国家计量技术法规统一宣贯教材《测量不拟定度理解、评估与应用》，案例中的计算是错误的。按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s（x）=0.08v是测量值的实验标准偏差，它表白测量值的分散性。多次测量取平均可以减小分散性，算术平均值的实验标准偏差是测量值的实验标准偏差的。所以算术平均值的实验标准偏差应当为：知识点：异常值的判别和剔除(一)什么是异常值异常值又称离群值，指在对一个被测量反复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合记录规律的个别值，他们也许属于来自不同的总体，或属于意外的、偶尔的测量错误。也称为存在着“粗大误差”。例如：震动、冲击、电源变化、电磁干扰等意外的条件变化，人为的读数或记录错误，仪器内部的偶发故障等，也许是导致异常值的因素。假如一系列测量值中混有异常值，必然会歪曲测量的结果。这时若能将该值剔除不用，即可使结果更符合客观情况。在有些情况下，一组对的测得值的分散性，本来是客观地反映了实际测量的随机波动特性，但若人为地去掉了一些偏离较远但不属于异常值的数据，由此得到的所谓分散性很小，事实上是虚假的。由于，以后在相同条件下再次测量时原有正常的分散性还会显现出来。所以必须对的地判别和剔除异常值。在测量过程中，记错、读错、仪器忽然跳动、忽然震动等异常情况引起的已知因素的异常值，应当随时发现，随时剔除，这就是物理判别法。有时，仅仅是怀疑某个值，对于不能拟定哪个是异常值时，可采用记录判别法进行判别。【案例】检定员在检定一台计量器具时，发现记录的数据中某个数较大，她就把它作为异常值剔除了，并再补做一个数据。【案例分析】案例中的那位检定员的做法是不对的。在测量过程中除了当时已知因素的明显错误或突发事件导致的数据异常可以随时剔除外，假如仅仅是看不顺眼或怀疑某个值，不能拟定是否是异常值的，不能随意剔除，必须用记录判别法(如格拉布斯法等)判别，鉴定为异常值的才干剔除。(三)三种判别准则的比较(1)当ｎ＞50的情况下，3σ准则较简便；3＜n＜50的情况下，格拉布斯准则效果较好，合用于单个异常值；有多于一个异常值时狄克逊准则较好。(2)实际工作中，有较高规定的情况下，可选用多种准则同时进行，若结论相同，可以放心。当结论出现矛盾，则应慎重，此时通常需选a=0.01。当出现既也许是异常值，又也许不是异常值的情况时，一般以不是异常值解决较好。【案例】反复观测某电阻器之值共n=10次，其10个结果，从小到大排为：10.0003ω，10.0004ω，10.0004ω，l0.0005ω，10.0005ω，10.0005ω，l0.0006ω，l0.0006ω，l0.0007ω，10.0012ω。请用狄克逊准则判别异常值，并用格拉布斯准则判别以作比较。①用狄克逊准则判别测量次数n=10，选显著性水平a=0.05，则查表3-5得临界值d(0.05，10)=0.530。由于是属于n=8~10的情况，所以记录量计算如下：知识点：测量反复性和测量复现性的评估(一)测量反复性的评估1.计量标准的反复性评估计量标准的反复性是依据jjfl00l一1998((通用计量术语及定义)中测量仪器的反复性定义的，计量标准的反复性是指在相同测量条件下，反复测量同一被测量时，计量标准提供相近示值的能力。这些测量条件涉及：相同的测量程序；相同的观测者；在相同的条件下使用相同的计量标准；在相同地点；在短时间内反复测量。计量标准的反复性是计量标准的能力，为了能评估出计量标准的能力，在平定计量标准的反复性时应尽也许选择实物量具、标准物质或具有良好反复性的测量仪器作为被测件，以减小测件自身不反复对评估结果的影响。计量标准反复性评估的方法见国家计量技术规范jjfl033---2023《计量标准考核规范》。2.测量结果的反复性评估依据jjfl00l一1998((通用计量术语及定义》，测量结果的反复性是指在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。测量结果的反复性是测量结果的不拟定度的一个分量，它是获得测量结果时，各种随机影响因素的综合反映，其中涉及了所用的计量标准、配套仪器、环境条件等因素以及实际被测量的随机变化。由于被测对象也会对测量结果的分散性有影响，特别是当被测对象是非实物量具的测量仪器时。因此，测量结果的分散性通常比计量标准自身所引入的分散性稍大。知识点：计量器具误差的表达与评估(一)最大允许误差的表达形式计量器具又称测量仪器。测量仪器的最大允许误差是由给定测量仪器的规程或规范所允许的示值误差的极限值。它是生产厂规定的测量仪器的技术指标，又称允许误差极限或允许误差限。最大允许误差有上限和下限，通常为对称限，表达时要加“±”号。最大允许误差可以用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表达。1.用绝对误差表达的最大允许误差例如，标称值为1ω的标准电阻，说明书指出其最大允许误差为±0.0lω，即示值误差的上限为+0.01ω，示值误差的下限为－0.01ω，表白该电阻器的阻值允许在0.99ω～1.01ω范围内。2.用相对误差表达的最大允许误差相对误差表达的最大允许误差是其绝对误差与相应示值之比的百分数。例如：测量范围为lmv～10v的电压表，其允许误差限为±1%。这种情况下，在测量范围内每个示值的绝对允许误差限是不同的。如1v时，为±1%×1v=±0.01v，而10v时，为±1%×10v=±0.1v。最大允许误差用相对误差形式表达，有助于在整个测量范围内的技术指标用一个误差限来表达。3.用引用误差表达的最大允许误差引用误差表达的最大允许误差是绝对误差与特定值之比的百分数。特定值又称引用值，通常用仪器测量范围的上限值(俗称满刻度值)或量程作为特定值。例如：一台电流表的技术指标为±3%×fs，这就是用引用误差表达的最大允许误差，fs为满刻度值的英文缩写。又如一台0～150v的电压表，说明书说明其引用误差限为±2%，说明该电压表的任意示值的允许误差限均为±2%×150v=±3v。用引用误差表达最大允许误差时，仪器在不同示值上的用绝对误差表达的最大允许误差相同，因此越使用到测量范围的上限时相对误差越小。绝对误差＝引用误差×特定值（满刻度值）绝对误差＝相对误差×示值4.组合形式表达的最大允许误差组合形式表达的最大允许误差是用绝对误差、相对误差、引用误差几种形式组合起来表达的仪器技术指标。例如：一台脉冲产生器的脉宽的技术指标为±(p×10%+0.025μs)，就是相对误差与绝对误差的组合；又如：一台数字电压表的技术指标：±(1×10—6×量程十2×10—6×读数)，就是引用误差与相对误差的组合。用这种组合形式表达最大允许误差时，“±”应在括号外，写成±(p×10%±0.025~s)或±r×10%±0.025μs或10%±0.025μs都是错误的。——请注意下述案例题答题的格式和环节【案例】在计量标准研制报告中报告了所购置的配套电压表的技术指标为：该仪器的测量范围为0.1～100v，准确度为0.001%。【案例分析】计量人员应对的表达测量仪器的特性。案例中计量标准研制报告对电压表的技术指标描述存在两个错误：测量范围为0.1～100v，表达不对。测量范围应写成0.1v～100v或(0.1～100)v。准确度为0.001%，描述不对。测量仪器的准确度只是定性的术语，不能用于定量描述。对的的描述应当是：用相对误差表达的电压表的最大允许误差为±0.001%，或写成±1×10-5。值得注意的是最大允许误差有上下两个极限，应当有“±”。(二)计量器具示值误差的评估计量器具的示值误差是指计量器具(即测量仪器)的示值与相应测量标准提供的量值之差。在计量检定期，用高一级计量标准所提供的量值作为约定值，称为标准值；被检仪器的指示值或标称值统称为示值。则示值误差可以用下式表达：示值误差=示值一标准值根据被检仪器的情况不同，示值误差的评估方法有比较法、分部法和组合法几种。(1)比较法。例如：电子计数式转速表的示值误差是由转速表对一定转速输出的标准转速装置多次测量，由转速表达值的平均值与标准转速装置转速的标准值之差得出。又如：三坐标测量机的示值误差是采用双频激光干涉仪对其产生的一定位移进行2次测量，由三坐标测量机的示值减去双频激光干涉仪测量结果的平均值得到。(1)分部法。例如：静重式基准测力计是通过对加荷的各个砝码和吊挂部分质量的测量，分析本地的重力加速度和空气浮力等因素，得出基准测力计的示值误差。又如：邵氏橡胶硬度计的检定，由于尚不存在邵氏橡胶硬度基准计和标准硬度块，所以是通过测量其实验力、压针几何尺寸和伸出量、压入量的测量指示机构等指标，从而评估硬度计示值误差是否处在规定的控制范围内。(2)组合法。例如：用组合法鉴定标准电阻，被检定的一组电阻和已知标准电阻具有同一标称值，将被检定的一组电阻与已知标准电阻进行互相比较，被检定的一组电阻间也互相比等实物量具的检定可以采用组合法。又如：正多面体棱体和多齿分度台的检定，采用的是全合常角法，即运用圆周角准确地等于2π弧度的原理，得出正多面体棱体和多齿分度台的示误差。1.计量器具的绝对误差和相对误差计算(1)绝对误差的计算示值误差可用绝对误差表达，按下式计算式中：δ——用绝对误差表达的示值误差；x——被检仪器的示值；xi——标准值。例如：标称值为100ω的标准电阻器，用高一级电阻计量标准进行校准，由高一级计量标准的提供校准值为100.02ω，则该标准电阻器的示值误差计算如下=100ω－100.02ω=－0.02ω示值误差是有符号有单位的量值，其计量单位与被检仪器示值的单位相同，也许是正值，也能是负值，表白仪器的示值是大于还是小于标准值。当示值误差为正值时，正号可以省略。示值误差为多次测量结果的平均值情况下，示值误差是被检仪器的系统误差的估计值。如需要对示值进行修正，则修正值c由下式计算c=-δ【案例】检查某个标准电阻器的校准证书，该证书上表白标称值为1mω的示值误差为0.001mω，由此给出该电阻的修正值为0.001mω。【案例分析】该证书上给出的修正值是错误的。修正值与误差的估计值大小相等而符相反。该标准电阻的示值误差为0.001mω，所以该标准电阻标称值的修正值为-0.001mω。其标准电阻的校准值为标称值加修正值，即：1mω+(-0.001mω)=0.999mω。(2)相对误差的计算相对误差是测量仪器的示值误差除以相应示值之商。相对误差用符号表达，按下式计算在误差的绝对值较小情况下，示值相对误差也可用下式计算【案例】标称值为100ω的标准电阻器，其绝对误差为－0.02ω，问相对误差如何计算?【案例分析】相对误差计算如下相对误差同样有正号或负号，但由于它是一个相对量，一般没有单位(即量纲为1)，常用百分数表达，有时也用其他形式表达(如mω/ω)。2．计量器具的引用误差的计算引用误差是测量仪器的示值的绝对误差与该仪器的特定值之比。特定值又称引用值(xn)，通常是仪器测量范围的上限值(或称满刻度值)或量程。引用误差δi按下式计算引用误差同样有正号或负号，它也是一个相对量，一般没有单位(即量纲为1)，常用百分数表达，有时也用其他形式表达(如mω/ω)。【案例】由于电流表的准确度等级是按引用误差规定的，例如1级表，表白该表以引用误差表达的最大允许误差为±1%。现有一个0.5级的测量上限为100a的电流表，问在测量50a时用绝对误差和相对误差表达的最大允许误差各有多大?【案例分析】(1)由于已知该电流表是0.5级，表白该表的引用误差为0.5%，测量上限为l00a，根据公式，该表任意示值用绝对误差表达的最大允许误差为：δ=100a×（±0.5%）=±0.5a，所以在50a示值时允许的最大绝对误差是±0.5a(2)在50a示值时允许的最大相对误差是0.5a/50a=±1%。(三)检定期鉴定计量器具合格或不合格的判据1.什么是符合性评估计量器具(测量仪器)的合格评估又称符合性评估，就是评估仪器的示值误差是否在最大允许误差范围内，也就是测量仪器是否符合其技术指标的规定，凡符合规定的判为合格。评估的方法就是将被检计量器具与相应的计量标准进行技术比较，在检定的量值点上得到被检计量器具的示值误差，再将示值误差与被检仪器的最大允许误差相比较拟定被检仪器是否合格。2.测量仪器示值误差符合性评估的基本规定按照jjfl094一2023《测量仪器特性评估》的规定，对测量仪器特性进行符合性评估时，若评估示值误差的不拟定度满足下面规定：评估示值误差的测量不拟定度(u95或k=2时的u)与被评估测量仪器的最大允许误差的绝对值(mpev)之比小于或等于1：3，即满足u95≤1/3mpev时，示值误差评估的测量不拟定度对符合性评估的影响可忽略不计(也就是合格评估误判概率很小)，此时合格判据为判为合格不合格判据为判为不合格(3-28)式中：——被检仪器示值误差的绝对值；mpev——被检仪器示值的最大允许误差的绝对值。对于型式评价和仲裁鉴定，必要时u95与mpev之比也可取小于或等于1：5。【案例1】用一台多功能源标准装置，对数字电压表测量范围0~20v电压值进行裣定，测量结果是被校数字电压表的示值误差为+0.0007v，需评估该数字电压表的10v点是否合格。【案例分析】经分析得知，涉及多功能源标准装置提供的直流电压的不拟定度及被检数字电压表反复性等因素引入的不拟定度分量在内，示值误差的扩展不拟定度u95=0.25mv。根据规定，被检数字电压表的最大允许误差为±(0.0035%×读数+0.0025%×量程)，所以在0～20v测量范围内，10v示值的最大允许误差为±0.00085v，满足u95≤(1/3)mpev的规定。且被检数字电压表的示值误差的绝对值(0.0007v)小于其最大允许误差的绝对值（0.00085v），所以被检数字电压表检定结论为合格。提醒注意的是：依据检定规程对计量器具进行检定期，由于规程对检定方法、计量标准、环境条件等已做出明确规定，在检定规程编写时，已经对执行规程时示值误差评估的测量不拟定度进行了评估，并满足检定系统表量值传递的规定，检定期，只要被检计量器具处在正常状态，规程规定的各个检定点的示值误差不超过某准确度等级的最大允许误差的规定期，就可判为该计量器具符合该准确度等级的规定，不需要考虑示值误差评估的测量不拟定度对符合性评估的影响。【案例2】依据检定规程检定1级材料实验机，材料实验机的最大允许误差为±1.0%，某一检定点的示值误差为－0.9%，可以直接鉴定该点的示值误差合格，而不必考虑示值误差评估的不拟定度u95rel=0.3%的影响。3.考虑示值误差评估的测量不拟定度后的符合性评估依据计量检定规程以外的技术规范对测量仪器示值误差进行评估，并且需要对示值误差是否符合最大允许误差做出符合性鉴定期，必须对评估得到的示值误差进行测量不拟定度评估，当示值误差的测量不拟定度(u95或是k=2时的u)与被评估测量仪器的最大允许误差的绝对值(mpev)之比不满足小于或等于1：3的规定期，必须要考虑示值误差的测量不拟定度对符合性评估的影响。(1)合格判据当被评估的测量仪器的示值误差δ的绝对值小于或等于其最大允许误差的绝对值mpev与示值误差的扩展不拟定度u95之差时可判为合格，即≤mpev-u95判为合格(2)不合格判据当被评估的测量仪器的示值误差δ的绝对值大于或等于其最大允许误差的绝对值mpev与示值误差的扩展不拟定度u95之和时可判不合格，即判为不合格【案例】用高频电压标准装置检定一台最大允许误差为±2.0%的高频电压表，测量结果得到被检高频电压表在lv时的示值误差为0.030v，需评估该电压表1v点的示值误差是否合格。【案例分析】示值误差评估的扩展不拟定度u95rel=0.9%，由于最大允许误差为±2%，u95rel/mpev不满足1/3的规定，故在合格评估中要考虑测量不拟定度的影响。由于被检高频电压表在1v时的示值误差为0.030v，所以=0.030v。示值误差评估的扩展不拟定度为u95rel=0.9%×lv=0.009v，最大允许误差绝对值mpev=2%×lv=0.02v，mpev+u95=0.009v+0.02v=0.029v，因此，该高频电压表的1v点的示值误差可判为不合格。(3)待定区当被评估的测量仪器的示值误差既不符合合格判据又不符合不合格判据时，为处在待定区。这时不能下合格或不合格的结论，即当测量仪器示值误差的评估处在不能做出符合性鉴定期，可以通过采用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增长测量次数和改善测量方法等措施，以减少示值误差评估的测量不拟定度u95后再进行合格评估。对于只具有不对称或单侧允许误差限的被评估测量仪器，仍可按照上述原则进行符合性评估。知识点：计量器具其他一些计量特性的评估（一）准确度等级测量仪器的准确度等级应根据检定规程的规定进行评估。有以下几种情况：1.以最大允许误差评估准确度等级依据有关规程或技术规范，当测量仪器的示值误差不超过某一档次的最大允许误差规定，且其他相关特性也符合规定的规定期，则判该测量仪器在该准确度级别合格。使用这种仪器时，可直接用其示值。不需要加修正值。例如：弹簧式精密压力表，用引用误差的最大允许误差表达的准确度等级分为0.05级，0.1级，0.16级，0.25级，0.4级，0.6级等。0.05级表白用引用误差表达的最大允许误差0.05%。2.实际值的测量不拟定度评估准确度等级依据计量检定规程对测量仪器进行检定，得出测量仪器示值的实际值，测量仪器实际值的扩展不拟定度满足某一档次的规定，且其他相关特性也符合规定的规定期，则判该测量仪器在该准确度等别合格。这表白测量仪器实际值的扩展不拟定度不超过某个给定的极限。用这种方法评估的仪器在使用时，必须加修正值，或使用校准曲线给出的值。例如：1等量块所相应的扩展不拟定度可在检定规程或校准规范中查到。3.测量仪器多个准确度等级的评估当被评估的测量仪器包含两个或两个以上的测量范围，并相应不同的准确度等级时，应分别评估各个测量范围的准确度等级。对多参数的测量仪器，应分别评估各测量参数的准确度等级。(二)分辨力对测量仪器分辨力的评估，可以通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的最小示值来拟定。(1)带数字显示装置的测量仪器的分辨力为：最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。例如：数字电压表最低位数字显示变化一个字的示值差为1μv，则分辨力为1μv。(2)用标尺读数装置(涉及带有光学机构的读数装置)的测量仪器的分辨力为：标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。例如：线纹尺的最小分度为1mm，则分辨力为0.5mm。(三)灵敏度对被评估测量一起，在规定的某激励值上通过一个小的激励变化δx，得到相应的响应变化δy，，则比值s=δy/δx，即为该激励值时的灵敏度。对线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。（四）鉴别力对被评估测量仪器，在一定的激励和输出相应下，通过缓慢单方向地逐步改变激励输入，观测其输出响应。使测量仪器产生恰能察觉有响应变化时的激励变化，就是该测量仪器的鉴别力。例如：检定活塞压力真空计时，当标准压力计和被检活塞压力真空计在上限压力下平衡后，在被检活塞压力真空计上加放的刚能破坏活塞平衡的最小砝码的质量值即为该被检活塞压力真空计的鉴别力。（五)稳定性这是对测量仪器保持其计量特性恒定能力的评估。通常可用以下几种方法来评估：(1)方法一：通过测量标准观测被评估测量仪器计量特性的变化，当变化达成某规定值时，其变化量与所通过的时间间隔之比即为被评估测量仪器的稳定性。例如：用测量标准观测某标准物质的量值，当其变化达成规定的±1.0%时所通过的时间间隔为3个月，则该标准物质质量值的稳定性为±1.0%/3个月。(2)方法二：通过测量标准定期观测被评估测量仪器计量特性随时间的变化，用所记录的被评估测量仪器计量特性在观测期间的变化幅度除以其变化所通过的时间间隔，即为被评估测量仪器的稳定性。例如：观测动态力传感器电荷灵敏度的年变化情况，按以下公式计算其静态年稳定性式中：sb——传感器电荷灵敏度年稳定性；sq1——上年检定得到的传感器电荷灵敏度；sq2——本年检定得到的传感器电荷灵敏度。例如：信号发生器按规定期间预热后，在10min内连续观测输出幅度的变化。n个观测值中最大值与最小值之差除以输出幅度的平均值得到幅度的相对变化量，再除以时间间隔10min即得到该信号发生器的幅度稳定性。如某信号发生器的输出幅度稳定性为1x10—4/min。(1)方法三：频率源的频率稳定性用阿伦方差的正平方根值评估，称频率稳定度。频率稳定度按下式计算式中：σy(τ)——用阿伦方差的正平方根值表达的频率稳定度；p——取样时间；m——取样个数减1；yi(τ)一一第i次取样时，在取样时间p内频率相对偏差的平均值。(2)当稳定性不是对时间而言时，应根据检定规程、技术规范或仪器说明书等有关技术文献规定的方法评估。（六）漂移根据技术规范规定，用测量标准在一定期间内观测被评估测量仪器计量特性随时间的慢变化，记录前后的变化值或画出观测值随时间变化的漂移曲线。例如：热导式氢分析仪，规定分别用标准气体将示值调到量程的5%和85%，经24h后，记下前后读数，5%点的示值变化称为零点漂移，85%点的示值变化减去5%点的示值变化，称为量程漂移。当测量仪器计量特性随时间呈线性变化时，漂移曲线为直线，该直线的斜率即漂移率。在测得随时间变化的一系列观测值后，可以用最小二乘法拟合得到最佳直线，并根据直线的斜率计算出漂移率。(七)响应特性在拟定条件下，激励与相应响应之间的关系称为测量仪器的响应特性。评估方法是：在拟定条件下，对被评估测量仪器的测量范围内不同测量点输入信号，并测量输出信号。当输入信号和输出信号不随时间变化时，记下被评估测量仪器的不同激励输入时的输出值，列成表格、画出曲线或得出输入输出量的函数关系式，即为测量仪器静态测量情况下的响应特性。例如：将热电偶的测温端插人可控温度的温箱中，并将热电偶的输出端接到数字电压表上，改变温箱的温度，观测不同温度时热电偶输出电压的变化，输出电压随温度变化的曲线即为该热电偶的温度响应特性。例如：改变信号发生器的频率，同时测量信号发生器响应于各频率的输出电平，输出电平随频率的变化曲线即为信号发生器输出的频率响应特性。第二节测量不拟定度的评估与表达1.重点测量不拟定度的评估与表达。2、本节内容记录技术的应用，评估测量不拟定度的环节和方法;3、考纲规定根据测量不拟定度评估与表达方法，分析测量不拟定度的来源，评估测量结果的a类和b类标准不拟定度分量，解决不拟定度分量间的相关性，计算合成标准不拟定度，拟定测量结果的扩展不拟定度。知识点：记录技术应用（一）概率分布概率分布(p)是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数。概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表达“概率分布曲线”测量值x落在区间[a，b]内的概率p可用式(3－32)计算(3－32)式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。由此可见，概率p是概率分布曲线下在区间[a，b]内所包含的面积，又称包含概率或置信水平。当p=0.9，表白测量值有90%的也许性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%。在(－∞~+∞)区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为1；当p=1(即概率为1)表白测量值以100%的也许性落在该区间内，也就是可以相信测量值必然在此区间内。(二)概率分布的数学盼望、方差和标准偏差1.盼望——μ盼望又称(概率分布或随机变量的)均值(mean)或盼望值，有时又称数学盼望。常用符号μ表达，也可用e(x)表达被测量x的盼望。离散随机变量的盼望为连续随机变量的盼望为式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。盼望是在无穷多次测量的条件下定义的，通俗地说：无穷多次测量的平均值。盼望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以盼望是决定概率分布曲线位置的量。对于单峰、对称的概率分布来说，盼望值在分布曲线峰顶相应的横坐标处。由于事实上不也许进行无穷多次测量，因此测量中盼望值是可望而不可得的。2．方差——σ2（随机变量或概率分布的）方差用符号σ2表达测量值与盼望值之差是随机误差，用δ表达，δi=xi－μ，方差就是随机误差平方的盼望值。测量值x的方差还可写成v(x)，是随机变量x的每一个也许值对其盼望e(x)的偏差的平方的盼望，也就是测量的随机误差平方的盼望已知测量值的概率密度函数时，方差可表达为当盼望值为零时方差可表达成方差说明了随机误差的大小和测量值的分散限度。但由于方差是平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。3．标准偏差——σ（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号σ表达，又可称标准差。标准偏差是表白测量值分散性的参数，σ小表白测量值比较集中，σ大表白测量值比较分散。4．用盼望与标准偏差表征概率分布盼望和方差是表征概率分布的两个特性参数。由于方差不便使用，通常用盼望和标准偏差来表征一个概率分布。——μ影响概率分布曲线的位置；对于单峰、对称的概率分布来说，盼望值在分布曲线峰顶相应的横坐标处。——σ影响概率分布曲线的形状，表白测量值的分散性。（σ小表白测量值比较集中，σ大表白测量值比较分散。）盼望与标准偏差都是以无穷多次测量的抱负情况定义的，无法由测量得到μ和σ2，因此都是概念性的术语。(三)有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差1.算术平均值算术平均值x是有限次测量时概率分布的盼望μ的估计值。由大数定理证明，若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于1的概率接近于其盼望值μ，所以算术平均值是其盼望的最佳估计值。因此，通常用算术平均值作为被测量的最佳估计值，即作为测量结果。在相同条件下对被测量x进行有限次n的反复测量，得到一系列测量值xl，x2，…，xn，其算术平均值为算术平均值是有限次测量的平均值，它是由样本构成的记录量，它也是有概率分布的。2.实验标准偏差用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表达。实验标准偏差s是有限次测量时标准偏差σ的估计值。最常用的估计方法是贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量x作以次反复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差按式(3－41)估计式中：－－－－－－－n次测量的算术平均值；vi=xi———残差(是测量值与算术平均值之差)；v=n—1——自由度；s(x)——(测量值x的)实验标准偏差。在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表白估计值的可信度越高。[(n—1)越大，1/n—1值越小，则其s(x)值也越小](四)正态分布正态分布又称高斯分布，其概率密度函数p(x)为1.正态分布的特性正态分布曲线：正态分布图，具有如下特性：①单峰：概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；②对称分布：正态分布以x=－μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的；③当x∞时，概率分布曲线以x轴为渐近线；④概率分布曲线在离均值等距离(即x=μ±σ)处两边各有一个拐点；⑤分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；⑥μ为位置参数，σ为形状参数。由于μ，σ能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号x~n(μ,σ)表达正态分布。当μ=0,σ=1时表达为x~n(0，1)，称为标准正态分布。2.正态分布的概率计算测量值x落在[a,b]区间内的概率为式中，u=（x－μ）/σ。，称为标准正态分布函数，见表3－7。表3－6标准正态分布函数表(摘录)z1.02.02.583.0φ(z)0.841340.977250.995060.99865令δ=x－μ，若设，由于u=（x－μ）/σ，即：u=δ/σ=±3，u1=z2=3，按公式计算同样，由此可见，区间[－2σ，2σ]在概率分布曲线下包含的面积约占概率分布总面积的95%左右。也就是：当k=2时，置信概率为95.45%。用同样的方法可以计算得到正态分布时测量值落在[u－kσ,u+kσ]置信区间内的置信概率，如表3－7所列。置信概率与k值有关，在概率论中k被称为置信因子。表3－7正态分布时置信度概率与k值的关系置信概率0.50.68270.90.950.95450.990.9973置信因子0.67511.6451.9622.5763（五）常用的非正态分布1.均匀分布均匀分布为等概率分布，又称矩形分布，如图3—8所示，均匀分布的概率密度函数为均匀分布的标准偏差为a+和a－分别为均匀分布的置信区间的上限和下限。当对称分布时，可用a表达矩形分布的区间半宽度，即a=(a+,－a－)/2，则均匀分布的标准偏差为2．三角分布三角分布呈三角形，如图3—9所示。三角分布的概率密度函数为三角分布的概率密度函数为当－a≤x＜0，p(x)=（a+x）/a2当0≤x≤a，p(x)=（a－x）/a2三角分布的标准偏差为（3—46）a为置信区间的半宽度。3．梯形分布梯形分布的形状为梯形，如图3—10所示。梯形分布的概率密度函数设梯形的上底半宽度为βa，下底半宽度为a，0<β<1，则梯形分布的标准偏差为4.反正弦分布反正弦分布如图3－11所示。反正弦分布的概率密度函数为a为概率分布置信区间的半宽度；反正弦分布的标准偏差为5.几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系上述几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系列于表3－8中。表3－8几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系6.t分布t分布又称学生分布，是两个独立随机变量之商的分布。假如随机变量x是盼望值为μ的正态分布，设其算术平均值与其盼望之差与算术平均值的实验标准偏差之比为新的随机变量t。该随机变量服从t分布。t分布的概率密度函数为t分布是盼望值为零的概率分布。v为自由度，当n∞时，t分布趋近于正态分布。由随机变量t的定义可见：以概率p落在μ±ts()区间内。(六)相关性和相关系数1.相关性相关性是描述两个或多个随机变量间的互相依赖关系的特性。假如两个随机变量x和y，其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说这两个量是相关的。例如：y=xl士x2中，x2=bxl，则x2随xl变化而变化，说明量x2与量xl是相关的。2.协方差协方差是两个随机变量互相依赖性的度量。两个随机变量x和y，各自的误差之积的盼望称为x和y的协方差，用符号cov(x，y)或v(x，y)表达定义的协方差是在无限多次测量条件下的抱负概念，根据有限次测量数据得到协方差的估计值。协方差的估计值用s(x，y)表达式中：3.相关系数相关系数也是两个随机变量之间互相依赖性的度量，它等于两个随机变量间的协方差除以它们各自的方差乘积的正平方根，用p(x，y)表达。定义的相关系数也是在无限多次测量条件下的抱负概念。根据有限次测量数据，得到相关系数估计值。相关系数的估计值用r(x，y)表达，用式(3－51)求得(3-51)式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。4.相关系数与协方差的关系(1)相关系数是一个纯数字，相关系数的值在－1到+1之间，它表达两个量的相关限度，通常比协方差更直观。相关系数为零，表达两个量不相关；相关系数为+1，表白x与y正全相关(正强相关)，即随着x增大y也增大；相关系数为－1，表白x与y负全相关(负强相关)，即随着x增大y变小。(2)协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x，y)的关系式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。知识点：gum法评估不拟定度的一般环节测量不拟定度的评估方法应依据jjfl059,该规范现在分为两部分:jjf1059.1－2023。《测量不拟定度评估与表达》，又称为gum评估方法或gum法。jjf1059.２－2023《用蒙特卡洛法评估不拟定度》假如相关国际组织已经制订了某种计量标准所涉及领域的测量不拟定度评估指南，则在这些指南的合用范围内时，测量不拟定度评估也可以依据这些指南进行。gum法评估测量不拟定度的环节：(1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简朴描述；(2)列出所有影响测量不拟定度的影响量(即输入量xi)，并给出用以评估测量不拟定度的数学模型；(3)评估各输入量的标准不拟定度u(xi)，并通过灵敏系数ci进而给出与各输入量相应的不拟定度分量(4)计算合成标准不拟定度uc(y)，计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；(5)列出不拟定度分量的汇总表，表中应给出每一个不拟定度分量的具体信息；(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所规定的置信水平p拟定包含因子kp；(7)在无法拟定被测量y的概率分布时，或该测量领域有规定期，也可以直接取包含因子k=2；(8)由合成标准不拟定度uc(y)和包含因子k或kr的乘积，分别得到扩展不拟定度u或up；(9)给出测量不拟定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不拟定度的足够信息。运用这些信息，至少应当使用户能从所给的扩展不拟定度进而评估其测量结果的合成标准不拟定度。不拟定度评估的流程如图3－13。知识点：测量不拟定度的评估方法(一)分析测量不拟定度的来源不拟定度来源的分析取决于对测量方法、测量设备、测量条件及对被测量的具体了解和结识，必须具体问题具体分析。所以，测量人员必须熟悉业务、钻研专业技术，进一步研究有哪些也许的因素会影响测量结果，根据实际测量情况分析对测量结果有明显影响的不拟定度来源。通常测量不拟定度来源从以下方面考虑：1.被测量的定义不完整例如：定义被测量是一根标称值为lm长的钢棒的长度，规定测准到1μm量级。此时被测钢棒受温度和压力的影响已经比较明显，而这些条件没有在定义中说明，使不同温度、不同压力下可以得出不同的测量结果，由于定义细节的不完整对测量结果会引入不拟定度。2.复现被测量的测量方法不抱负例如：在微波测量中“衰减”量是在匹配条件下定义的，但实际测量系统不也许抱负匹配，因此要考虑失配引入的测量不拟定度。又如：无线电信号的失真度定义是在纯电阻负载上信号的所有谐波电压的有效值与基波电压有效值之比的百分数。但失真度测量仪是采用基波克制法，先用电压表测出基波克制后的所有谐波电压，再测出未克制基波的信号总电压，由它们之比得到的失真度。由于这种方法未能测出基波电压，因此测得的失真度值与定义的失真度不一致，由这种失真度测量仪测得的失真度存在着由于复现被测量的测量方法不抱负引入的不拟定度。3.取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量例如：被测量定义为聚四氟乙烯在给定频率时的介电常数。由于测量方法和测量设备的限制，只能取聚四氟乙烯介质材料板的一部分做成样块，然后对样块进行测量。假如选用的材料板有杂质，测量所取用的样块恰好是杂质较多的地方，则样本就不能完全代表所定义的被测材料聚四氟乙烯。在介电常数测量结果中要考虑样本代表性不够引入的不拟定度。4.对测量过程受环境影响的结识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善例如：以测量木棒长度为例，假如事实上湿度对木棒的测量有明显影响，但测量时由于结识局限性而没有采用措施，在评估测量结果的不拟定度时，应把湿度的影响引起的不拟定度考虑进去。又如：在水银温度计的校准中，被校温度计与标准温度计都放在同一个恒温槽中，恒温槽内的温度由一台温度控制器控制，在实际工作过程中，控制器不也许将恒温槽的温度稳定在一个恒定值上，槽的温度会在一个小的温度范围内变化，因此要考虑这种温控不完善引入的不拟定度。5.对模拟式仪器的读数存在人为偏移模拟式仪器在读取其示值时一般要在最小分度内估读，由于观测者的位置或个人习惯的不同等因素也许对同一状态的指示会有不同的读数，这种差异引入不拟定度。6.测量仪器的计量性能的局限性通常情况下，测量仪器的不准(最大允许误差)是影响测量结果的最重要的不拟定度来源。例如：用天平测量物体的重量时，测量结果的不拟定度必须涉及所用天平和砝码引入的不确测量仪器的其他计量特性如仪器的分辨力、灵敏度、鉴别力(阈)、分辨力、死区及稳定性等的影响也应根据情况加以考虑。例如：对于较小差别的两个输入信号，由于测量仪器的分辨力不够，使仪器的示值差为零，这个零值就存在着分辨力不够引入的测量不拟定度。又如：用频谱分析仪测量信号的相位噪声时，当被测量小到低于相位噪声测试仪的噪声门限(鉴别力阈)时，就测不出来了，此时要考虑噪声门限引入的不拟定度。7.测量标准或标准物质提供的量值的不准确计量校准中被校仪器是用与测量标准比较的方法实现校准的。对于给出的校准值来说，测量标准(涉及标准物质)的不拟定度是其重要的不拟定度来源。8.引用的数据或其他参量值的不准确例如测量黄铜棒的长度时，为考虑长度随温度的变化，要用到黄铜的线膨胀系数a，查数据手册可以得到所需的a值。该值的不拟定度是测量结果不拟定度的一个来源。9.测量方法和测量程序的近似和假设例如：被测量表达式的近似限度；自动测试程序的迭代限度；电测量中由于测量系统不完善引起的绝缘漏电、热电势、引线电阻等，均会引起不拟定度。10.在相同条件下被测量在反复观测中的变化在实际工作中，通常多次测量可以得到一系列不完全相同的数据，测量值具有一定的分散性，这是由诸多的随机因素影响导致的，这种随机变化常用测量反复性表征，也就是反复性是测量结果的不拟定度来源之一。除此之外，假如已经对测量结果进行了修正，给出的是已修正测量结果，则还要考虑修正值不完善引入的测量不拟定度。通常，在分析测量结果的不拟定度来源时，可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑，应尽也许做到不漏掉、不反复。特别应考虑对测量结果影响较大的不拟定度来源。(二)建立测量的数学模型1.测量的数学模型测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、引用的量以及影响量等有关量之间的数学函数关系。当被测量y由n个其他量xl，x2，…，xn的函数关系拟定期，被测量的数学模型为y=f(xl，x2，…，xn)(3—54)被测量的测量结果称输出量，输出量y的估计值y是由各输入量xi的估计值xi按数学模型拟定的函数关系f计算得到y=f(xl，x2，…，xn)(3—55)例如：用测量电压v和电流i得到电路中的电阻r，则被测量r的数学模型可根据欧姆定律写出r=v/i式中：r为输出量，v和i是输入量。数学模型中输入量可以是：(1)当前直接测量的量；(2)由以前测量获得的量；(3)由手册或其他资料得来的量；(4)对被测量有明显影响的量。例如：测量模型r=r0[l+a(t一t0)]中，温度t是当前直接测量的影响量；t0是规定的常量(如规定t0=200c；r是在t。时的电阻值，它可以是以前测得的，也可以是由测量标准校准给出的校准值(校准证书上给出)；温度系数a是从手册查到的。当被测量y由直接测量得到，且写不出各影响量与测量结果的函数关系时，被测量的测量模型为y=x1—x2或y=x例如：用温度计测量一杯水的温度，测量结果y就是温度计(测量器具)的示值x。又如：用卡尺测量工件的尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。通常用多次反复测量的算术平均值作为被测量的测量结果。2.关于测量模型的说明(1)测量模型可以用已知的物理公式得到，也可以用实验方法拟定，甚至只用数值方程给出。(2)测量模型不是惟一的，对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量程序，就会有不同的测量模型。(3)测量模型不一定是完善的，它与人们对规律的结识限度有关。为了能在测量模型中充足反映实际的影响量，尽也许采用长期积累的数据建立经验模型。(4)有时被测量y的输入量xl，x2，…，xn自身又取决于其他量，他们各自与其他量间有函数关系，还也许包含对系统影响修正的修正值或修正因子，导致十分复杂的函数关系。这时候，测量模型也许是一系列关系式。(5)假如数据表白测量模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时，应在模型中增长输入量，直至测量结果满足测量准确度的规定。例如：假如发现电阻的损耗功率与大气压力有关，最佳在数学模型的输入量中增长压力量。(三)标准不拟定度分量的评估l.标准不拟定度分量的a类评估方法对被测量x，在同一条件下进行n次独立反复观测，观测值为xi(i=1，2，…，n)，得到算术平均值及实验标准偏差s(x)。为测量结果(被测量的最佳估计值)，算术平均值的实验标准偏差就是测量结果的a类标准不拟定度u(x)注意：公式中的n为获得平均值时的测量次数。(1)基本的标准不拟定度a类评估流程(见图3－14)[案例]对一等活塞压力计的活塞有效面积检定中，在各种压力下，测得10次活塞有效面积与标准活塞面积之比l(由l的测量结果乘标准活塞面积就得到被检活塞的有效面积)如下：0.250670，0.250673，0.250670，0.250671，0.250675，0.250671，0.250675，0.250670，0.250673，0，250670问：l的测量结果及其a类标准不拟定度。【案例分析】由于n=10，l的测量结果为，计箅如下由贝塞尔公式求单次测量值的实验标准差由测量反复性导致的测量结果l的a类标准不拟定度为(2)测量过程的a类标准不拟定度评估对一个测量过程，假如采用核查标准核查的方法使测量过程处在记录控制状态，则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差sp。若每次核查时测量次数n相同(即自由度相同)，每次核查时的样本标准偏差为si，共核查k次，则合并样本标准偏差sp为此时sp的自由度v=(n－1)m。则在此测量过程中，测量结果的a类标准不拟定度为n′为获得测量结果时的测量次数;sp为合并样本标准偏差sp【案例】对某测量过程进行过2次核查，均在受控状态。第一次核查时，测4次，n=4，得到测量值：0.250mm，0.236mm，0.213m