陕西省西安市第六十八中学高三数学文模拟试卷含解析

陕西省西安市第六十八中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=u（x）、y=v（x）都是定义在R上的连续函数，若max{a，b}表示a，b中较大的数，则对于下列命题：（1）如果y=u（x）、y=v（x）都是奇函数，则f（x）=max{u（x），v（x）}是奇函数；（2）如果y=u（x）、y=v（x）都是偶函数，则f（x）=max{u（x），v（x）}是偶函数；（3）如果y=u（x）、y=v（x）都是增函数，则f（x）=max{u（x），v（x）}是增函数；（4）如果y=u（x）、y=v（x）都是减函数，则f（x）=max{u（x），v（x）}是减函数；其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数和偶函数图象的对称性即可判断（1）（2）命题的真假，而根据增函数和减函数的定义即可判断命题（3）（4）的真假，从而找出正确选项．【解答】解：根据奇函数图象关于原点对称，对于任意的一个x值，最大的数只有一个，不成对出现；∴（1）中的f（x）不是奇函数；偶函数图象关于y轴对称，对于任意的一个x值，最大的数有两个，关于y轴对称；∴（2）中的f（x）是偶函数；对于u（x），v（x）都是增函数时，任意的x1＜x2，则：u（x1）＜u（x2），v（x1）＜v（x2）；不妨设u（x1）＜v（x1）；∴f（x1）=v（x1）；1）若f（x2）=v（x2），则f（x1）＜f（x2），得出f（x）为增函数；2）若f（x2）=u（x2），则u（x2）＞v（x2）＞v（x1）＞u（x1）；∴f（x1）＜f（x2），同样得出f（x）为增函数；同理可得出u（x），v（x）都是减函数时，f（x）为减函数；∴（2）（3）（4）为真命题．故选C．【点评】考查奇函数和偶函数的定义，及奇函数、偶函数图象的对称性，以及函数单调性的定义及判断．2.已知集合，则A∩B=（

）A.(－∞,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.(－1,1)参考答案：B【分析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】由题得所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（a∈R）有四个相异的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣1，） B．（1，+∞） C．（，2） D．（，+∞）参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=，函数的导数f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时函数取得极小值f（1）=e，当x＜0时，f（x）=﹣，函数的导数f′（x）=﹣=﹣，此时f′（x）＞0恒成立，此时函数为增函数，作出函数f（x）的图象如图：设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根，当t=e时，t=f（x）有2个根当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根，当t≤0时，t=f（x）有0个根，则f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，等价为t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2个相异的实数根，其中0＜t＜e，t＞e，设h（t）=t2﹣2at+a﹣1，则，即，即，即a＞，即实数a的取值范围是（，+∞），故选：D4.已知在中，，，是线段上的点，则到的距离的乘积的最大值为（

）

A.12

B.8

C.

D.36参考答案：考点：解三角形；二次函数的实际应用.5.函数在下面的哪个区间上是增函数

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为2

B.函数在区间［0，］上是增函数C.函数的图象关于直线＝0对称

D.函数是奇函数参考答案：D略7.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法有

（A）10种（B）20种（C）36种（D）52种参考答案：答案：A解析：由题意可分为两类①1号盒子放1个2号盒子放3个的放法有种②1号盒子放2个2号盒子放2个的放法有种由①②可得共有10种放法。【高考考点】分步分类计数原理简单的组合【易错点】：分类不正确【备考提示】：读懂题意正确分类是解决此类题的关键8.定义两种运算：，，则是（

）函数． （

） A．奇函数

B．偶函数

C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数参考答案：A略9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25参考答案：A略10.在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点（0，-5）距离最大的点的坐标是（

）.

(A)

(5，1)

(B)（4，1）

(C)（＋2，-3）

(D)（3，-2）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，若，则

．参考答案：12.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．参考答案：13.在极坐标系中，点到直线的距离是______________。参考答案：略14.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意确定函数的解析式为f（x）=，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1可得x≤0，由2x﹣1＞x﹣1可得x＞0．∴根据题意得f（x）=．即f（x）=，画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．再根据函数的极大值为f（）=，可得m的取值范围是（0，），故答案为（0，）．15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________参考答案：16.

函数y＝＋2单调递减区间为________．参考答案：17.若曲线在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于

参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R），g（x）=2f（x）+x2，h（x）=lnx﹣cx2﹣bx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，g（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2）．①证明：；②若x1，x2恰为h（x）的零点，求的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）①求出函数的导数，令（0＜t＜1），得，从而证出结论；②根据，，两式相减得，令（），，根据函数的单调性求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得，即当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得，即当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m≤0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．（2）①g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1令（0＜t＜1），由，得，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得，且，故，解得或t≥2，∴，即．②∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴，，两式相减得，∵，∴=，令（），，则，y=G（t）在上是减函数，∴，即的最小值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．19.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则?=（﹣1，0，1）?（0，，0）=0，?=（﹣1，0，1）?（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD?平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20.已知函数.(1)若，当时，求的取值范围；(2)若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；(3)对于(2)中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)原不等式可化为所以，得(2)因为是奇函数，所以，得①当时，此时，，所以②当时，，此时，，所以综上，在上的反函数为(3)由题意，当时，，在上是增函数，当，，在上也是增函数，所以在上是增函数，设，则由，得所以在上是减函数，由的解析式知

设①当时，，因为，所以，即；②当时，，满足题意；③当时，，因为，所以，即综上，实数的取值范围为21.(12分)

一台仪器每启动一次都随即地出现一个5位的二进制数，在A的各位数字中，出现0的概率为，出现的概率为，例如：，其中，记，当启动仪器一次时：（1）求的概率；（2）求时，有且仅有两个1连排在一起的概率。参考答案：解析：（1）除外，其余各位数是1的有两个，

……….1分

所以

………………