黑龙江省伊春市宜春金园中心学校2021年高二数学理测试题含解析

黑龙江省伊春市宜春金园中心学校2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理）给出下列四个命题：（1）

若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；（2）

两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；（3）

两条异面直线中的一条平行于平面a，则另一条必定不平行于平面a；（4）

a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个.其中正确命题的个数是

（

）A.

0个

B.1个

C.2个D.3个参考答案：C2.复数z=-1+2i，则

的虚部为(

)A．1

B．-1C．2

D．-2参考答案：D略3.已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为A．x－y＋1＝0

B．x－y＝0

C．x＋y＋1＝0

D．x＋y＝0参考答案：A4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为A.1个

B.2个 C.3个

D.4个参考答案：A5.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，3，…，840随机编号，则抽取的42个人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11

B．12

C．13

D．14参考答案：B6.下列函数中在R上是增函数的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C7.（文）数列的前项和为，若，则等于

（

）

A．1

B．

C．

D．参考答案：B8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.

B.

C.

D.

参考答案：B略9.过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为M，又直线FM与直线相交于第一象限内一点P，若M为线段FP的中点，则该双曲线的离心率为(

)A.

B．2

C.

D．3参考答案：B因为

10.如图，在棱长为2的正方体中，O是

底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，

那么异面直线OE和所成角的余弦值等于

(A)

(B)．

(C)

(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角所对的边分别是，已知点是边的中点，且，则角_________。参考答案：12.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，用分层抽样方法应从老年人中抽取_________人。参考答案：613.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=．参考答案：0.16【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．14.椭圆为参数)的离心率是()A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【详解】椭圆的标准方程为，所以c=.所以e＝.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)在椭圆中，

15.点满足约束条件，目标函数的最小值是

。参考答案：1816.如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________．参考答案：1117.已知抛物线上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为

.参考答案：易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.参加某高中十佳校园主持人比赛的甲、乙选手得分的茎叶统计图如图所示.(1)比较甲、乙两位选手的平均数；(2)分别计算甲、乙两位选手的方差，并判断成绩更稳定的是哪位.参考答案：(1)；（2）甲的方差为22，乙的方差为62，成绩更稳定的是甲.【分析】（1）由茎叶图分别写出甲、乙的成绩，再分别求出它们的平均数；（2）计算甲、乙方差，比较即可．【详解】（1）乙的成绩为：76,77,80,93,94。记乙的平均数为，则甲的成绩为：78,85,84,81,92记甲的平均数为，则所以；（2）记乙、甲的方差分别为、，则乙的方差为；甲的方差为，由，知，甲的方差为22，乙的方差为62，成绩更稳定的是甲.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数、平均数和方差的应用问题，是基础题．19.（本小题满分14分）.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥P－EFG的体积．参考答案：如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥P－EFG的体积．20.(1)证法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G，H分别为BC，AD的中点，ABCD为正方形，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH.∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，∴PA∥平面EFG.证法二：∵E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，∴EF∥CD，EG∥PB.∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB.∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵PA?平面PAB，∴PA∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD.20.（本题满分12分）在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．（1）求角的大小；（2）若＝，且△ABC的面积为，求的值.参考答案：解：（1）又为三角形内角，所以………………4分（2），由面积公式得：………………6分由余弦定理得：………10分由②变形得………12分略21.已知函数f（x）=x3﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程；（2）求y=f（x）的单调区间．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣x的导数f′（x）=3x2﹣1，则在点M（1，0）处的切线斜率为3﹣1=2，故曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程为y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．（2）令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0，则﹣＜x＜．故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞）；减区间为（﹣，）．22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA1⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC1A1，从而A1C⊥AB，又A1C⊥AC1，由此能证明A1C⊥平面ABC1．法二：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，…（2分）∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

…证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1