ch随机变量及其分布

#/14一.二种常见旳连续随机变量1.均匀分布a<x<bx电[a,b]称X服从［a，b］上的连续r.va<x<bx电[a,b]称X服从［a，b］上的0,均匀分布，记X〜U(a,b)・0,分布函数:F(x)=Ixf(t)dt—ax一ab一a1,J(x)1b—a2.指数分布九e—九x,常数九>0,X具有概率密度f(x)=10

x>0xv0,称X服从参数为几的指数分布，记1—e—九x,0,作1—e—九x,0,分布函数F(x)=Lf(t)dt=—g背景：X与“寿命”有关•各种动物群体的寿命、一个民族中人的寿命、各种元器件的寿命等.例如，已知某种电子元件的寿命X(年)服从参数为“1,5的指数分布，X〜Exp(1,5),概率密1—e—x5,0,”1一..>0度函数是f(x)=1x-,分布函数F(x)=L1—e—x5,0,0,xv0—g电子元件的寿命在8年以上的概率为：P{X>8}=1—P{Xv8}=1—F(8)=1—［1—e-85］=e-85=0.2019

止态分布1-(x-卩)2X具有概率密度f(x)—洱o•e2门，x&R,其中-〉0和卩为常数，称X服从参数为卩、02的正态分布，记X〜N(卩,o2)・图形y=f(x)的特点：10•曲线关于直线x=卩对称.Vh〉0,有p{R—h<X<h}=p{P<X<卩+h}・12o•当X=卩时，f(X)取最大值f(卩)=〒一•曲线以X轴为水平渐近线.2兀o30•固定°，改变卩时，曲线平移.4o•固定卩，改变°时，°变小，曲线变尖；°变大，曲线变平坦.分布函数F(x)="f⑴dt=莎丿：e「")2(2°2)dt当卩当卩=0,°=1时，称为X服从标准正态分布，记X〜N(0,1)；甲(x)=__1e-x22并记丽，次x)=尹次x)=尹(xeR)—g附表1,(卩284)可查函数值①(x),x-0・①(0)=0.5；当x〉6.0时，①(x)沁1；当x<0时，①(x)=1—①(—x)•(查几个数据)定理2.3.1•若X〜N(卩，°2),贝yY=兰〒匕〜N(0,D.

Jy卜P{X<Qy+卩}证：Y的分布函数Fy(yJy卜P{X<Qy+卩}=1卜y+卩e-(t)2/(2q2)dts=Q-i(t—卩)1Jye-s2/2ds=0(y)t=os+“•:fY(y)t=os+“•:fY(y)=FY(y)(y),y〜n(0,1).F(x)=P{X<x}=P<〔X-H<x-H【“fx—H、〔QQJkQ丿设X〜N(卩,Q2),—①厂a—H、P{a<X<b}=F(b)—F(a)=①]b_『IQ丿例2•例2•设X〜N(1,9),卩二1,Q=3,P{0<X<4}=①—①二①⑴—①(—0.333)二①(1)—[1—①(0.333)]二0.8413+0.6293—1二0.4706f2—1)P{X〉2}=1—P{X<2}=1—①=1—0.6293=0.3707；I3丿’=1—0.5+[1—0.7486]=0.7514〉1}=1—p{XI<1}=1—P{—1<=1—0.5+[1—0.7486]=0.7514I3丿若P{X〉c}=P{X<c}，则2P{X<c}=1,P{X<c}“㈡卜0.5訥0)k3丿=0,例3・假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下.设男子的身高X(cm)服从正态分布，X〜N(170,36)，问车门高度至少应为多少?解：设车门高度为xcm,按要求P{X〉x}<0.01,即P{X〉x}=1—P{X<x}1—①厂x—170、<0.01①[x—170)k6丿9k6丿〉0.99=①(2.326),x〉183.96cm时，能满足碰头机会在1%以下的要求.背景：在自然界和社会现象中的正态变量.r分布(略)2.4随机变量函数的分布

x是随机变量，y=g(X)，连续•则y=g(x丿也是八以•有时需要田x的分布(已知)去厂1“确定Y的分布•例如，已知氧气分子运动速率V的分布，要确定其动能E=2mV2的分布.例2.已知X的概率密度函数为例2.已知X的概率密度函数为f(x)=</■兀20,0<X<兀其他，求Y=sinX的概率密度函数.解：先求y的分布函数fy(y)解：先求y的分布函数fy(y)，再求其概率密度函数f(y)=FY(y)・X取值［0,“］，Y取值［0,1］・分(7,0),[0,1],(1,+8)讨论.(1)当y<0,F(y)=P{Y<y}=P@)=0；⑵当0<y<1,F(y)=P{sinX<y}=P{0<X<arcsiny}+户{兀一arcsiny<X<兀}2x=Iarcsiny0f2x2dx+JKdx=arcsiny兀2冗-arcsiny兀2y⑶当y〉1,F(y)=P{sinX<y}=P(Q)=1.0,厂/、2arcsin0,厂/、2arcsiny

fy(y)=H^-1,2f(y)=F(y)=卜Jl-y2YY*0,o<y<1其他(统计物理学)•离散随机变量函数的分布例1.已知X具有分布律X一10123P%%0%0%0%0求Y=.X的分布律.解：Y=X取值0,1,2,3.Y0123PXo%0%0%o二•连续随机变量函数的分布求Y=X2的概率密度函数.例3.设X具有概率密度函数f(x),(求Y=X2的概率密度函数.解：先求Fy(y)，再求fY(y)=F；(y)・

X取值(一^，十e丿，Y取值［0,+8丿•分(—8,0),LU,十8丿讨论.(1)当y<0,F(y)=P{X2<y}=P©)=0；⑵当y>0,Fy(y)=P{X2<y}=P{—J亍<X<=Jy_f(x)dx=Lyf(x)dx—J—yf(x)dx•—\y00fy(y)=Jyf(x)dx—J-fy(y)=f(y)f(y)=F；(y)=<2.訂1—十[fQ亍)+f(-訂)]f(x)诂e-“f(x)诂e-“得Y=X2的概率密度为特别，若X〜N(0,1),fY(y)=ifX[h(y)]|h(y)|,0,a<y<P其他称Y服从自由度为1的咒2分布，记Y〜％2(1)•定理2.4.1.随机变量X具有概率密度函数fX(x),(xeR)・y=g(x)处处可导，g'(x)〉0X(或gg(x)<0)，即g(x)严格单调.则Y=g(X)也是连续随机变量，概率密度为其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，a=min{g(—8),g(+8)},卩二max{g(—e),g(+e)}.(证略)例4.设X〜N(卩,c2)，试证明线性函数Y=aX十b(a丰0)也服从正态分布.1.-•f(x)=-e—(x—卩)2,；(2c2),xeR证:—：x.莎c•证:y—by=g(x)=ax+b严格单调，x=h(y)=——,1(