原有表达与统计意义-以《认识百分数》教学为例

原有表达与统计意义——以《认识百分数》教学为例首先是微观层面，能够深度的挖掘数学学科的本质，我们都知道教什么优先于怎么教，学什么优先于怎么学，如果我们对于学科的本质把握不够通透的话，那有的时候我们付出的大量的努力都是在浅表层面，很难给到学生更加深刻的数学理解，进而去发展他们的数学思维与核心素养。中观层面的，我们希望构建学历生长的课堂，我们都知道教是为了不教，而如何实现不久，只有让学生自己生产出更强大的学习能力把这样的话，我们的孩子才有自我学习的意愿，动力和素养。最后，宏观层面，希望能够帮助大家通过梳理把握全景的数学结构，我们都知道数学是一门结构性很强的学科，现在我们也非常强调大概念，大观念这样的一些课堂的教学主张。也希望通过一期又一期的齐华备课室，让老师们能够透过这一粒沙看到整个沙漠，透过这一滴水看到整片的海洋。这一讲，我们给大家带来的课例又是一个非常经典的课例《认识百分数》，我们试图通过这个课例和大家传递出的教学的基本的思考是:原有的表达与统计的意义，一个老师可能会觉得有点蒙圈，什么叫原有的表达与统计的意义呢？这里请允许我和大家稍微走一点剧透，我估计有些老师应该已经有所心理的准备了，在即将颁布的2022版《数学课程标准》当中，百分数这个内容已经从原来的数与代数进入到统计与概率的这个维度里头来，因此未来我们再谈这个百分数的时候，我们不再把它当做一个分数啊，小数啊具有差不多同等地位的一个数的概念来理解，而是更多的把它当做一个统计量来理解，也正是基于这样的一个基本的变化，因此未来我们再来讨论百分数的时候，可能会更加关注他的统计学的意义。那么,进入今天的分享。首先是教材的速览，我们会呈现三个主流的版本的教材，帮助大家捋一捋这几个不同版本的教材当中有什么相通的地方，也有什么差异的地方。当然这里面特别要和大家说明的是，我们目前手头还没有最新版本的教材，所以这个时候我们比较的仍然是原有的三个版本的老教材，也许等新的教材出来以后，老师们可能对于统计的视角看百分数会有更加新的一些认识和理解，那么这一讲我们也算是做一个预热。然后是数学洞察，能够希望帮助大家就百分数这么一个数学概念，这么一个数学的统计量有一个学科层面的深度的把握。最后是教学建议，我们经常把它叫做学习的规划。小学教学教师为了学服务，因此我们很多时候，所谓的教学路径本质上应该把它转换成学习路径，让学生能够给予我们的学习路径更好的去实现对概念的理解，对于百分数这样的一个统计量，它背后所承载的统计学的意义的一个更深的把握和领悟。第一部分——教材速览首先进入教材的速览，我们来看一下这是苏教版教材所呈现的这个样貌，苏教版教材它是从学校篮球参加了三场比赛，来看看这三场比赛的投篮情况，这里面呈现了一个复式统计表，第一场投篮的次数25投中16，第二场，第三场依次给出了数据，然后老师是这么说的，可以怎样比较这三场比赛的投篮情况呢？你看这里面其实就有一些统计和数据分析的意味儿在这里头了。首先不是把它当做直接当做数来呈现，而是呈现了一个统计表，而且还是一个复式统计表。你看，苏教版教材在上一个版本的编写当中，实际上已经有意无意的同这个百分数放到了这样的一个统计学的背景当中，进行一个设计和教学的建议。当然后面怎么去比较，毫无疑问我们就需要对这些数据来进行一个分析，来进行一个判断。首先第一轮的分析，我们发现光比投中次数肯定是不够的，还得要参考投篮的这个总次数，然后通过小萝卜和小番茄的对话和讨论，开始意识到要想去比较3场比赛的投篮的情况，我们仅看投中次数不行，仅看投篮次数也不行，得看看每一场当中投中的次数和投篮次数之间到底具有怎样的一个关系，然后用分数表征出来，进而体会到用分数表达的这样的一个关系不利于展开比较，因此我们是否可以通过通分将分母统一为100，进而引申出了百分数。你看这个苏教版教材，它整体的编排的思路就是基于一个统计的背景，让学生在对一些原始的具体的数据，进行一个基于决策的需要，进行一个数据的比较，进行一个数据的分析，然后最终做出决策和决断，而在决策和决断的时候，我们需要依赖一种新的概念，那就是百分数，也就是一个统计量。平均数早些年也是把它当做一种解决问题去思考的，后来我们发现平均数它是一个统计量，因此我们后来在新改版的课标的教材当中，我们再来处理这个平均数的时候，我们经常会把它置身于一个统计学的背景，然后不断地去分析。这个平均数意味着什么？这个平均数它的波动性，一些大数据对于平均数的一个极值的一个影响等等。包括A班的平均分比B班高，不代表A班的张三同学一定比B班的李四要来的高，因为这里边平均数只代表整体的水平，但不代表其中的某一个个体的水平。你看后来课标版的教材，因为把平均数从原来的解决实际问题重新改到统计学的领域当中来，因此我们的整个教学就发生了翻天覆地的变化，所以我也非常的期待这一轮这个百分数，能够从原来的数与代数领域迁过来以后，看看给我们的教学又会带来怎样的一个调整，然后在此基础之上揭示百分数的概念，百分数又叫做百分比和百分率，给出了百分数的读法和写法等等。我们来看一下人教版，人教版跟苏教版是不太一样的，如果说苏教版更多的是有了那么一点儿统计学的意味儿，另外苏教版走的更多的是看看5%它是怎么一步一步的产生的，从对原始数据的这样的一个比较和分析，然后为了决策一路过来。你看统计学的这个百分数，他之所以产生，实际上是基于我们样的一个需求，苏教版教材的编排能够非常清楚地看到这个平均数是怎么一步一步产生的，因此苏教版教材特别关注的是数学自身的发展逻辑，数学知识是怎么一步一步的产生出来的。但是人教版教材走的是另一种思路，你看上来直接给出了三幅图，对吧？电量只剩了14%，中间的这个标签应该是一个衣服上的吊牌，里边会大量涉及到，比如棉的含量，纤维的含量，还有其他的晴纶的含量等等。第三个是一个汽车的销量，它涉及到的是一个增长量等等，你看他的逻辑是什么？他的逻辑是现实世界当中学生其实是随处都能看到百分数的，对吧？无论是自己所穿的衣服还是自己所喝的牛奶，甚至自己平时每天的一些学习等等，包括期末的考试，你看百分数其实在在孩子们的现实生活当中是广泛存在着的。人教版教材他选择的思路是直接呈现这样的一些百分数，然后引导学生去理解，那这些百分数他要到底表示什么意思，然后发现14%表示的是剩余的电量占总电量的14%，原来百分数表示的是一个量和另一个量之间通过比较以后所形成的率或者比的关系。如果说苏教版走的是数学知识发生发展，最终慢慢自我建构的这么一个过程，而人教版教材他走的是学习的逻辑，他相信学生在生活中是经常见过百分数，而且对百分数是有一些初步感受的，因此他就没有再引导学生去经历百分数是怎么一步步产生发展过来的，而是直接给到百分数，然后引导学生基于原有的一些现实的经验，你想一个孩子看到自己的手机上只剩14%的电量，它多少是能够对这个百分数产生一些感觉的，然后在此基础之上引导学生通过思考辨析，最后发现百分数的意义，你看他走的是一个另外的一条路。那我们再来看看北师大版本教材的这个百分数，它的内容编排更加接近于苏教版的教材，也是基于统计。例题里面说的很清楚，右面是这三名队员近期罚点球情况的统计，给出的也是一个复式统计表。所以说北师版和苏教版它的整个思路是比较接近，里边有意无意当中蕴含了统计学的意味。以上就是对这三个不同版本的教材的一个呈现。第二板块——数学洞察接下来我们进入第二个重要的板块就是数学的洞察。既然百分数已经从原来的数与代数当中的一种数开始转换到一个统计量，统计与概率当中的一个统计量，那么我们对于这个概念的内核应该会有一些新的体会，所以我想从这样的几个维度和大家做一个梳理。第一个溯源，看看我在之前的百分数的教学当中，我们更多的从哪些维度来理解百分数的，首先第一个产生，方便进行比较啊，在刚才的苏教版和北师版教材的这个解读当中啊，我已经把这个意味和大家做了一个呈现。这张图是在若干年前，山东的一位骨干老师代表山东参加全国的课堂教学大赛的时候，当时用的就是这么一个素材，老师有兴趣可以暂停一下，看一看，我觉得味道还是很浓的，他走的路子基本上是跟他们的山东青岛版的教材是非常一致的，那么也跟苏教版和北师版的思路是比较相似的，只不过它里边给出的数据更加的多元，更加的复杂。那么留给学生根本的理解也会更加的深刻，当然这是基于一个大赛，老师对教材中原有素材的一种再加工和深刻的解读。大家看一下这幅图应该不难发现，姚晓明，王小志，易小联，郭小伦，朱小雨和丁小航，六位同学投中的次数和投篮的次数，六个人到底选谁去代表这个班级来参加投篮比赛比较合适呢？那这时候就需要对投中的次数和投篮的次数来进行一个比较分析，当然前三组数据，细心的老师应该已经发现了啊，9:20，二十分之九，11:25，二十五分之十一，23:50，五十分之二十三，这三个分数相对来说比较容易比较，它们的公分母是100。二十分之九，二十五分之十一和五十分之二十三通分还是比较容易的。然后你看一下到了郭小伦，朱晓宇和丁晓航的时候你看他们的分数分母从30到45到47，尤其到47的时候很多老师已经意识到了因为47要试图把它和100再去通分，起步公分母就到4700，那你还有45，还有30，还有其他的一些，因此最终通分以后的达到了42300，这实际上已经让学生体会到，如果这样无休无止的通分显然是不利于我们解决问题的，因此能不能把分母统一简化为100，甚至在不得已的情况下，分子可以用小数来呈现，这样显然就更便于比较了。第二个，百分数的本质它是一种关系，所以我们经常会说百分数又叫百分比或者百分率，它的道理就在这。百分数和分数相比，分数它既可以表示一个量，又可以表示一个率。但是百分数只能表示一个率，因此老师们在教学的过程当中经常会拿出百分数和分数进行比较，看看他们之间有什么联系和区别，再一次引导学生体会到百分数作为一种倍比的关系，它的独特的内涵。这是一位老师的板书。你看，原来百分数，比，倍，份，分数，这些其实本质上反映都是两个量之间的一种关系。第三，抽象的概括。百分数的教学过程当中一般会比方说，奶粉中的蛋白质占奶粉的百分之多少;衣服，会说棉占整件衣服的百分之多少，再比如说酒精，酒精占酒的总量的百分之多少？然后通过大量的素材，最终引导学生去观察比较发现百分数各不相同，有没有什么相似的地方。结果孩子们发现:一都表示两个量之间的关系，第二个都表示的是一个量占另一个量的百分之几这样一个关系，最终抽象概括出百分数的定义，第四，我们的教学到后面的时候通常也会有一个延伸，到了十分数，到了一个千分数，因为我们都知道通分可以便于比较。可以通分，那为什么非得要通成100呢？分母改成10行吗？改成1000行吗？其实都可以。改成10的时候，在一些相对来说比较粗犷一点的数据的情况下，是可以改成十。比如说打折，七折，八折，九折，本质上就是十分之七，十分之八，十分之九……但是在一些精度要求更高的情况下，那我们有的时候需要得到千分数，因为千分数分母的扩大以后，因此他的刻画的精度就会得到更大的这个提升，从百分数的产生，百分数背后蕴含的倍比关系，到百分数的教学过程当中通常的抽象概括，最后的是十分数和千分数的拓展，这些都是百分数教学原有的一些表达，在这算是帮助大家做了一个系统对比梳理和回顾。重建百分数的统计意义到底该如何去重建呢？第一，了解到它在领域的维度已经从数以代数进入到了统计与概率的这个维度。最新版本的《数学课程标准》，建议大家看看百分数到底出现了多少次，以及每一次出现的时候到底是放在数与代数领域的，还是放在统计与概率领域的。如果放在统计概率领域的，他又是怎么去刻画表达百分数的意义价值和它的应用场景。第二个内涵，他从原来的一种数变成了一种统计量，而且这个统计量跟平均数这个统计量还不太一样。平均数有的时候刻画的是它是某种影响，它是一个绝对量，比如说假设投十次球，第一次我投中8个，第二次投中6个，第三投中7个，第四从8个，第五次投中6个，那最后我的平均投中的这个值应该是7，这个7它是一个绝对数量。只不过这个7不是某一次的投中的个数，而是这五次整体投中的这个值，但它终究是一个绝对意义上的一个统计量，但是百分数他就不再是一个绝对意义上的统计量，它是一个相对意义上的统计量。比如说，张老师投篮的命中率是70%啊，这个70%并不代表张老师投了100个中了70个，还有可能只是投了十个中了七个，也有可能是投了20个中了14个，大概可能是投了200个中了140个，它是一种反应投中的个数和投的总个数之间的一个相对关系的统计量，所以这一点希望老师们能够有一个更好的把握。第三点可能也是更加重要的，也就是我们的整个百分数的这个学习的价值将从原来的百分数更加便于比较，迁入到了数据的意识这个维度。我们以往的十大核心词里面，有一个叫数据分析观念，新修订的课程标准里面，我们已经把它从原来的数据分析观念调整成了数据的意识，那为什么从观念调成为意识的。一来是为了和高中还有初中的相关的核心素养的表达保持统一性。在整个的这个高中领域当中，关于数据这块实际上是应该是有数据分析的，数据分析是一种素养，是一种关键能力，然后到了小学不能说数据分析呀，因为小学生的对数据的这种理解，这种把握，它的水平层次显然是和高中生不可同日而语的，可是为了保持统一性，我们在程度上做了一个区分，高中的叫数据分析，到了这个小学就把它叫数据意识。也就是小学生并不需要比较系统的深刻的数据分析观念，我们要的是面对一个话题，能够养成一种倾向的性能意识就是一种倾向性，比如我在琢磨着是不是需要有一些数据来支持我的判断呢？你是需要更多的数据判断就有说服力呀，你看这些就叫数据的意识。怎么在百分数的学习的过程当中能够丰富和发展学生的数据意识，让大家体会到百分数它应用的场景是统计，在统计的过程中怎么能够结合百分数的一个统计量，能够对它背后所隐含的数据有更多的感悟，更多的理解，更透彻的这样一种把握，你看这就从原来单一的方面比较进入到了更加丰富和饱满的数据意识的这个维度。第三，警惕百分数的语言陷阱。百分数在生活当中因为广泛存在，因此我们一不留神就会掉进百分数的坑里，举几个例子:第一个这是真实发生一个故事，是在《统计学的本质》这本书里边所找到的，这个在战争的过程当中有一个部队，这支部队的负责人向总部发出了求救说:我们14%的人员因为工作负担实在是太重，陷入精神恍惚的这个状态，总部一听不得了，14%的这个人员也就是战士都出现了这么严重的情况，那显然需要给出一些人力资源，还有其他的一些弹药的支持和援助？我相信大家看到这个数据是不是也是这种感觉？但是如果我告诉你真相是什么呢？这支小分队，一共七个人，而这七个人当中有一个年轻人，因为可能对战争不是特别适合，因此他表现出了一些精神的保护，你看如果你直接上报说两报告总部，我们这边这是小分队里面有一名这战士出现了这样的一个状况，你觉得总部会给出积极的回应吗？显然不会改成目前的表达，你看我方，我司啊，我部队有14%的人员因工作严重超超出负荷而精神恍惚，你看他感觉是不是完全就不一样了？，所以我们可以说这是百分数的语言的陷阱。这个小分队的这个领导来说，他刚才是应用了这样的一个陷阱啊，发挥出来他的一个智慧，最终求得了援助。我们再来看一下数据，这是我在这教的另外一节课《数说淘宝》的过程当中，曾经用我的一个素材在淘宝里面有两家店，卖的是同样的一个商品，哎，A店的这个商品的好评率是百分之百，B店的同样这款商品它的好评率是97%。我想大家你觉得哪家可能更是我有可能去购买这个物品的一家店呢？或者我更加会倾向于到哪家店去买呢，我相信啊，在座的老师应该是有感觉的，也就是你光看两个百分数，毫无疑问100%要比97.52%要更高，对吧？你要绝大多数，而我是每一件产品都获得了好评的，当然是我这儿的这个好评率会更高啊，可真相真的是如此吗？我们前面说过了，百分数给出的是忽略具体量只去刻画一个量下的这个比的关系，所以从这个角度来说，如果A这个商店它只卖出了两件商品，这两件给出的都是好评，而B商店卖出的是1万件商品，它其中有9752件商品获得了好评，请问你更加愿意相信或者到哪家店铺去采购这些商品呢，我相信每个老师应该会有自己的意见和洞察。我个人一定会选择第二家，因为它的在面对以万件的讲了一个巨大的销量的情况下，仍然有9752位消费者就这个产品出了好评，那么看来这产品的质量真的是非常非常过硬的。而A这家店虽然是百分之百好评，可是只卖出两件，两个人好评，那万一到了第三件是差评呢，你看他一下子掉到66.7%，也就是你只看这两件显然是不够的，那更不要说，我们以小人之心去夺君子之腹，那么以这两个好评啊，都是他们水军打的呢，他们自己想办法去打的呢，对吧？但是你指望水军去打出1万份的这样的一个评价，那这个成本也太大了，也是一个极小概率的这个事情，所以有的时候百分数他给出的只是两个量之间的一种关系，他忽略了这个原始的这个实际的量，因此我们不要轻易的掉进这样的一个百分数的语言的陷阱当中去。我们再来看一下——决策。王刚的点球率成功率排第一，有没有发现这个跟刚才的第二个数据是有点相似的？那如果王刚一共就罚了五次球，他进了4次，那他的确实进球率是80%是非常高的，但是如果另外的几个，他比如说在100个当中，他进了38个。那虽然最后他的百分率可能达不到40%，只有38.5%，39.6%，37.8%，但是从刚才第二条这个信息的分析当中，我能够得出王刚点球率成功率排第一，未必会影响我们的决策，也就是我们未必会因为他排第一就默认王刚一定可以成为胜出的选手，这里显然不完全是这样。专业:老师们只要平时稍微留意一下这样的报纸，新闻，你经常会刷到，比如说新房销售量同比增长了8%，环比增长了8%，那这里面要涉及到什么量呢，就是百分数有的时候他还会存在一个百分数的百分数，换句话来说就是这个百分数的背后的单位一到底是个什么？有的时候还会出现率上添率这么一个概念，因此我们在看待百分数的时候，你需要把它背后隐藏着的这个单位一给找到，单位一如果是个具体量，那他是一回事，如果是一个百分率，那又是另外一回事，所以你看百分数，当它从原来的数与代数领域迁入到了统计与概率这个领域当中来的时候，你看我们的很多的认知都要发生一些变化。第三板块——教学建议最后给出我们的教学建议，第一个创设情境，在统计分析当中感受需要。简单直白的来说，也就是我们得重新回到苏教版北师版，包括青岛版这些教材当中来，因为这样的教学的线索更加容易让孩子们体会到，百分数他原来是源自于在统计的背景当中，对数据的分析过程当中的某种实际的需要，比如说到底选哪个人去参加投篮比赛会比较合适呢？在这种情况下如何去选择？数据应该怎么去收集？收集什么数据？是收集投中的个数，还是只收集投篮的次数，还是这两种数据都要收集，是指收集这一周的数据，还是收集这一个月的数据，还是收集这一个季度的这个数据？你看，要收集数据，这本身就是数据意识的一个重要表现，对吧？用数据来说话，用数据帮助我们进行决策和判断，这就是数据意识的一个重要的内涵，另外采集多大的样本啊？是本周还是本月还是本季度？你看当数据越来越大的时候，那么对应的这个百分数所呈现出来的这个理，他的可信度，它的效度就会越来越高。然后完了以后有了百分数，以后我们又该如何去进行分析呢？我们还要看看它的整个分数变化的发展的趋势等等。所以，如何选择，如何收集数据，收集怎样的数据以及对数据进行怎么样的分析？在这样的一个思辨的场景当中，那么百分数它的意义和价值也有可能会得到一个更好彰显。第二个呈现数据，在分析比较中建构意义。具体比如说姚小明，王小志和易小联他们三个人投篮以及投中数据已经出来了，那现在的问题一定是我们该怎么直观的来表现出刻画出这三个人他们到底谁的水平更高一点的，因为这个时候你去直接运用投中的次数，这样的一个绝对数值是没有任何意义的，你去仅仅分析投篮的次数，这个绝对数值也是没有意义的。那真正有意义的是什么？是投中的次数和投篮的次数，这两个绝对量之间的相对的关系，每一个相对的关系得到的这个分数阙值越大，那么可能这个人的水平就会越高，所以面对这样的一组数据，引导学生去通过对数据的分析，让孩子们体会到啊，光看这个数据不够，光看那个数据也不够，只有将这两个数据放在一起进行比较，借助比和除法的运算得到对应的分数，他才有可能会更有用一些。当然得到分数以后还设计了一个比较的问题，因此我们要进一步去通分，然后进而引出了改分数，你看在对这样的一个数据的比较分析，甄别，筛选运算以后，以及最终的这样的一个加工以后，百分数他就应运而生，它的产生，它的意义，它的价值就在这个过程当中得到了更好突显。在这个常规的设计之后，我呈现了几个补充的思考。第一个，朱小雨他的投篮的命中率只有45.6%，显然在这四个人当中并没有排在第一，可是教练却选择了他，这到底是为什么呢？一开始如果不出示这个朱小雨的数据，让孩子们自己去思考，我估计很多孩子可能会觉得很奇怪，明明他的投中率不是排在第一名，那怎么会选他呢？教练到底会有怎样的一些思考呢？等到孩子们各种假设，各种推理都完成以后。老师出示了最下面的一组数据，我相信很多孩子一定会恍然大悟，哦，原来是这样，因为易小联，姚小明和王小志，虽然他们的这投篮的命中率都不低，尤其是易小联高达46%，但是它只是在50次当中投中了23次，这个整体的样本和数据还是比较小的，而朱小雨虽然他的命中率比易小联略低那么0.4%，对吧？但是它是在750次这个堪称海量的投篮活动当中，最终实现了342次投中的这个优异的成绩，我们可以看出朱小雨的他的整体的稳定性有可能会更高，因为易小联这个成绩实话实说，如果再投一次，万一不中，也许他的投篮的命中率就会迅速的下滑，对吧？因为它的整体的样本数量比较小，那么一次成绩的这个不确定性就有可能会影响整体成绩的这样一个百分数或者百分比，而朱小雨雨他在大量的数据当中，它的这个45.6%已经趋于某种稳定性，就算你第751次没有投中，那么估计最终的百分率仍然会稳定在45.6%的下面一丢丢。大数据以后所得出的百分比，他会具有更强的说服力和更大的稳定性。刚才这一段描述，老师你没发现其实我们在这个数据的大与小，样本的多与少数据的稳定与浮动，在进行各种比较，各种分析，各种刻画，而这不正是数据意识需要我们去实现的一个基本的目标吗？我这儿给大家梳理出这三句话，一、大数据更可靠，精确度更可信，什么意思呢？大家看一下，你看易小莲46%，而到朱小雨是45.6%啊，在我们成年人的世界当中啊，我们都知道当你的百分号前面一旦出现了小数，甚至于两位三位小数的时候，一种推断是数据样本会比较大，另外一个的话就是你的小数保留的位数越多，那么它的精确度就越高，当你要刻画一个人的这个百分比的精确度达到小数点后两位，三位的时候，我们通常都会觉得这个数据的可信度会更高，第三个稳定性更重要，对吧？数值高固然好，但是稳定性更重要，啥意思呢？比如说你投篮，下次你让我去投两次，说不定我那一天运气特别好，两次一中一不中，难不成你们认为我这么一个小白，这么一个菜鸟也会比姚小明，王小志，易小联和朱小雨更强吗？你看他们只有百分之四十几，而我高达50%。显然不是这样的，因为我的数据样本太小，所以它是不够稳定的，只有达到更大的数据，它的稳定性才呈现出来，而稳定性它现在是更加重要。再比一次排名还会这样吗？我相信很多老师都会有感觉，这里设计的其实是感悟随机。这请允许我敲个黑板，即将出来的课程标准，我们当时拿到的是一个讨论稿，在讨论考核标准里面，我们会发现这个百分数和随机这两个词好像经常会放在一起出现，一开始我也是不太明白，因为这里面我也给老师们留下一个任务，留下一个为什么百分数他要跟随机放在一起，当然肯定是跟统计学是有关的，对吧？当然在这个问题当中，其实，随机的味道就出来了，因为如果你再给一次同样姚小明，王小志，易小联各投20，25和50，你确定最终得到的百分数还是原来的45%44%和46%这三个百分数吗？不一定，因为人的投篮它是带有随机性的，你根本不知道每一次你能不能投中，投完这一次以后，你也不确定下一次是否投中，就算你前面连续投中三次，你都没法断定第四次到底是中还是不中，这就是随机性。而百分数它是可以动态的去刻画随机性的。所以结论是，如果再比一次排亿，名未必是这样的。在这个过程中，我们可以感悟随机的现象，能够体会百分数他会随着你的投篮次数的不断的增多，它会有个动态的变化的这个过程，当然我们也知道这个动态的变化，越往后，当总样本数越来越大的时候，那么他整体的投篮的水平，他会渐渐趋于一个稳定的趋势，这个地方跟那个平均数还是有一点点的相似的。思考三，如何选择优秀的代表呢？假设，姚小明，王小志和易小联这时到底该选谁呢？所以这个时候对我们老师和孩子来说，我们应该相信这样的东西一有更长的时间尺度去观察和采集数据，比如说如果姚小明，王小志，易小联，我们只看他一天的数据，这是不够的，不稳定，要很少，如果看一个月的数据还行，但是如果数据所采集的时间越长，那么这个时候每一个百分数所刻画的一个人的相比较的水平就更加有说服力，所以叫更长时间，更大数据，更持续性，这个往往是在帮助我们进行决策的时候是有参照意义的，说到这里再次强调，百分数当它成为一个统计量的时候，它往往成为我们进行决策的时候一个非常重要的一个参照。最后拓展延伸环节，在思辩透析当中深挖本质。第一个在大于小之间思辨。啥意思呢？我们来看两组数据，每年全球0.04%的土地被沙漠侵吞。孩子一看到0.04%都知道这是相当于一万分之四，这是一个非常小的百分数，但是真的是这样吗？极小的百分数，他刻画的却是一个让人感到非常震惊的量，我们测算过，全球0.04%的土地被沙漠倾吞，这个被侵吞的土地的面积约等于张老师所在的这个千万级规模的人口的大都市江苏的省会城市——南京，他的整个的这个占地面积。所以你看，每年如果我们的这个全球的这个气候，全球的生态没有能够更好的去进行一个控制的话，有可能每一年都会有一个接近于南京这样的一个城市的地皮在被沙漠了。这是一个多么可怕的这么一个量。我们再来看另外一个，另外一个是一个非常大的百分数，希望小学女教师的人数是男教师的100%，看起来是不是很大？其实它背后的结论是什么？女教师和男