4.比较静态分析

4比较静态分析研究当任何外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡值将如何变化。P=£±£

b+d

ad—bcQ=—b+d(Q=a—bP一•市场模型0—。*dp»s为求解a、b、c、d中任一参数的无穷小变化如何影响P值，可通过把P的表达式对每一个参数求偏导数得到。aP=1=aP>0aP=—aab+dac'ab(b+d)2ad=aP<0作业：求出Q（均衡状态）的比较静态导数二．国民收入模型'Y=C+1+GCko—+a(Y—T),(C>0,0<a<1)nY=00T=T+tY,(T>0,0<a<1)00C-a.T+1+G——00001—a—a.taY1>0,政府支出乘数aG1—a—a.t0dYat0aY石=a<0,非所得税乘数1—a—a•ta(C—aT*I*G)0ooo-(1—a—a・t)2(1—a—a*t)2<0,所得稅率乘数zz=f(x,y)g(x,y)=c三．最优化的比较静态分析Max(Min)对于s.t.可构造拉格朗日函数：Z=f(x,y)+X(c—g(x,y))由一阶条件可得：-g*=矿=X且c-g(x，y)=0xy可解得：九=九(c),x=x(c),y=y(c)代入可得：Z=/(x,y)+齐(c—g(x,y))

dZ-=九dc入是参数c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。作业：已知x商品价格为4，y商品价格为6,总收入为130,效用函数为U=（x+2）（y+1）。求（1）写出拉格朗日函数；（2）求最优购买水平；（3）满足极大值二节条件吗；（4）把最优x,y,入对Px,Py,B（总收入）进行比较静态分析。4.2对数函数及指数函数在经济中的应用一．指数函数和对数函数y=Qxa>0,and,a丰1或y=exy=10y=10gxa>0,and,a丰1或y=lnxa．非线性函数的对数变换q=aKaL卩nlnq=Ina+alnK+卩lnLMax例1：s.t.u=xaypPx+Py=Bxy通过变换可构造拉格朗日函数如下：L=alnx+plny+X(B一Px一Py)xy按拉格朗日法求解极值三．连续复利lim(1+l)nnsntrntrt对于s=p(1+丫》若连续复利可写作s=limp(1+—)=penrtns由指数函数转化为自然指数函数指数函数可用来度量离散的增长率；自然指数函数用来度量连续的增长率,两者可以互换imtS=P（1+一），和，S=pert,nr=mln（i+；）m例：本金100元,10%年利率,半年复利一次,两年后的终值。解：这里m=2,i=10%，所以r=mln（1+：）=2ln1-05=2x0.04879=0.09758=s=100e0-09758x2=100e。」9516=121.55时间最优问题：现值100元的玻璃以下面公式增值V=100e，在以（a）r=0.08（b）r=0.12连续复利的情况下，保持多久才会使现值最大。（1）贴现公式P=S/e=se，所以上述玻璃的现值为：P=Vert=100ej取对数lnp=lmoo+彳—rt把上述表达式对t求导并令导数等于零：4（lnP）=丄dP=11-2—0.08=0dtPdt2由此可解t=0・16-2=39.06作业：为投机买入的土地以V=1000e3t增值，在贴现率为0.09复利情况下，持有多久土地价值最大。增长率dy-dty一个函数y=f（t）的增长率定义为：g=^=-yy例：农产品价格以每年4%上涨，产量以2%增加，求来自农业部门收益的增长率R=PQ，lnR=lnP+lnQg=R=d（lnR）=d（lnp+lnQ）=d（1m）+d（1m）=4%+2%=6%Rdtdtdtdt就业机会E每年以4%的速度增加，人口以2.5%的速度增长，求人均就业机会的增长率。一企业输入量以10%增长，输入成本以3%增长，总输入成本的增长率是多少？一般函数的比较静态分析当模型含有以一般形式表示的函数时，由于难以得到显示解，偏微分技术已难以适应。因此必须使用像全微分、全导数，以及隐函数定理、隐函数法则等新的方法。我们首先用市场模型，然后再运用国民收入模型来介绍这些方法。市场模型考察一个单一商品市场，其中需求量Qd不仅是价格P，而且是外生确定的收入Y0的函数，但供给量Q则仅是价格的函数。如果这些函数并未以具体形式给出，则我们可以将这Q=QQds——=d（p,Y）@d/ap<0,3D/aY>0）d00Q=S（p）（dS/dp>0）s假设函数D和S均拥有连续偏导数，或者换句话说，均具有平滑的曲线；而且，为了保证其经济意义，我们对这些导数的符号施加明确的限制。尽管供给函数可以是线性的，也可以是非线性的，但限制条件dS/dP>0,规定了供给函数是单调递增函数。类似地，对需求函数的两个偏导致符号的限制可以表明它是价格的减函数、收入的增函数。这些限制可以把我们的分析限定在我们希望遇到的“正常”情况。在描绘通常的二维需求曲线时，收入水平被假定为固定不变。当收入变化时。由于会导

致需求曲线移动而破坏给定的均衡。类似地，在(8.27)中，Y0可通过需求函数导致非均衡变化。这里，Y0是唯一的外生变量或参数，所以此模型的比较静态分析就只关注Y0的变化如何影响模型的均衡状念。市场的均衡状态由均衡条件Qd=Qs所确定。通过替代和重排，均衡条件可以表示成：D(P，Y0)-S(P)=0尽管不能解此方程求出均衡价格P,但我们仍假设确实存在静态均衡一一否则即便提出比较静态分折问题都没有意义。根据我们处理具体函数模型的经验，我们可以预期P是外生变量Y0的函数:00现在我们借助于隐函数定理，对这种预期提供严格的依据。因为(8.28)的形式是F(P,Y0)=O，满足隐函数定理的条件将会保证在满足(8.28)的某一点的邻域内，即在均衡(初始或旧的)解的邻城内，每一个Y0值都得到一个唯一的P值。在此情况下，我们实际上可以写出隐函数P=P(Y)，并讨论其导数dP/dY――我们知道它是存在的，它正是我们所要00求的比较静态导数。现在我们来检验那些条件。首先，函数F(P，Y0)确实具有连续导数，因为根据假设，函数和的两个部分D(P，Y0)和S(P)均具有连续导数；其次•函数F对P的侗导数，即FP=8D/dP-dS/dP为负，因此无论在何处计算均不等于零。因此，可应用隐函数定理，且(8.29)确实成立。基于同样的定理，均衡条件(8.28)在均衡解的某一邻域内可视作恒等式。这样，我们可以把均衡等式写成：D(P,Y)-S(P)三00dF/dYdD/dY=—0=—0>0

ddF/dYdD/dY=—0=—0>0

dF/dPdD/dP—dS/dP数的结果是[忒j数的结果是0在此结果中，表达式dD/dP是导数dD/dP在初始均衡点P=P处计算的值。对dS/dP也可以作类似的解释。事实上，dD/dY0也必须在均衡点计算。由于需求函数和供给函数中符号的设定，dP/dY恒为正，因此我们的定量结论是：收入水平的提高(下降)0将会导致均衡价格的提高(下降)。如果供给函数和需求函数在初始均衡的导数值为已知，则[8.31)当然也会给出定量的结论。上述讨论涉及到y0变化对P的影响。那么，能否发现y0变化对均衡数量Q(=Q=Q)ds的影响呢?答案是肯定的。因为在均衡状态，我们有Q=S(P)，又因为P=P(Y)，我们0可应用链式法则得到导数dQdSdPdS=-()>0(因为=>0)dYdPdYdP00因此，在此模型中，均衡数量也与Y0正相关。而且，如果各导数在均衡时的取值已知,

(832)也会给出定量的结论。(8．32)和(8．32)包括了市场模型中所有的比较静态分析的内容，这些结果并不出人意料。事实上，它们只不过传递了这样一个命题：需求曲线向上移动将会导致更高的均衡价格和更大的均衡数量。好像只用简单的图解分析就可以得到同样的命题，这似乎有道理，但人们不应忽略我们这里所用的分析方法具有更普遍的一般性。再重复一遍：图形分析就其本质而言仅局限于—组具体的曲线(即一组特定函数的几何表示)，因此严格地说，其结论也仅与这组曲线相联系，仅适应于这组曲线。与此形成鲜明对照的是，(8．27)式虽然简单，却包含了斜率为负的需求曲线和斜率为正的供给曲线所有可能组合的全部集合，这样它也就更为一般化。此外，这里采用的分析方法还可处理图形分析方法难以解决的远为复杂的问题。模型(8．27)的分析是以一个单一方程即(830)为基础完成的。由于一个方程只能包含一个内生变量，所以包含了P则意味着排除了Q。因而我们不得不首先求出(dP/dYO)，然后在下一步再导出(dQ/dYO)。现在我们来介绍如何同时研究P和Q。因为有两个内生变量，相应地我们要建立由两个方程组成的方程组。首先，令(827)中的Q=Qd=Qs,并重排，我们iJ将市场模型表示成F1(P，Q；Y0)=D(P,Y0)-Q=0F2(P，Q；YO)=S(P)-Q=O此式与(8.20)的形式一致，其中n=2,m=l。再一次检验隐函数定理的条件是有意义的。首先，因需求与供给函数均假定有连续偏导数，所以函数F1与F2必定也具有连续偏导数。其次，内生变量雅可比行列式(包含P和Q的雅可比行列式)确实不为零，不管在哪一点计算其值。因为：aFaF1aFidD—-1dPdQ-dPaF2aF2—dS1—1dPdQdP=dS卫>odPdP因此，如果均衡解存在(我们必须作这样的假定才能使我们对比较静态学的讨论有意义)，根据隐函数定理我们可以写出隐函数：P二P(Y)andQ=QY)00尽管我们不能解出P和Q。我们知道，这些函数具有连续导数，而且在均衡状态的某一邻域内，(8.33)是一对恒等式，所以我们也可以写成D(P,Y0)-Q三0S(P)-Q三0由此,(dP/dY)和dQ/dY可同时得到。00微分dP,dQ和dY是这两个导数的组成部分。为得到这些微分表达式，我们对(836)0中的每个恒等式依次进行微分，重排后得到关于dP和dY的线性方程组0

dDdDdY0因为变量dP和dQ为一次幕，所有在初始均衡状态时计算其值的系数导数均代表常数,外生变量的任意非零变化dY0也代表常数，所以，此方程组是线性方程组。以dY0通除各项。并将两个微分的商视为导数，我们得到矩阵方程。「3D「dP—3P-1dY—03D-3Y3S-1dQ00_3PdY0由克莱姆法则，并利用(834)，我们得到解为：6D矿-13DdP00-13Y—ndY0JJr3D3D3P-3Y3S03S3DdQ3P03P町J其中需求与供给函数(包括那些在雅可比行列式中的供求函数)的所有导数均在初始均衡处计算其值。读者可以验证，刚才所得到的结果与前面通过单一方程方法所得到的结果(831)和(8．32)是一致的。上面所介绍的单一方程法和联立方程组法均具有一个共同的特点：我们都对均衡恒等式两边取全微分，然后令其相等。然而，不取全微分，仍可能对特定的外生变量或参数取全导数，并令其结果相等。例如，在单一方程法中，均衡恒等式为D(P,Y0)-S(P)三0[由(8.30)]其中)[由(829)]0在均衡恒等式两边对Y0取全导数(这不仅考虑到了Y0变化的直接影响，而且也考虑到3DdP3D3SdP3P•(dY)+aT-3P-(dY)=0000

了间接影响)，因而得到方程(Y对D的Y对D的Y对S的

000

间接影响)直接影响)间接影响)将此式解出(dP/dY)，其结果与前边是一致的。0对Y0微分时，我们必须考虑到Y0通过P对D的间接影响，以及Y0的直接影响(曲线箭头)。另一方面，在将函数S对Y0微分时，则只需考虑通过P对S的间接影响。所以经重新整理后，两个恒等式对Y0微分的结果是下面两个方程QD/dP、/d©、6D乔-(dY)-(dY)一丁_°_°0dS(dP)(迈)0丽(dY)-(dY)=000当然，它们与通过全微分法得到的方程是一致的，而且由它们可再次导出(8．37)中的比较静态导数。国民收入模型现在将刚才介绍的方法应用于以一般函数表示的国民收入模型。为增加一些变化，这次我们在模型中减去政府支出和税收，而加上对外贸易。另外，我们还把货币市场与商品市场置于一起。更具体地，假定商品市场的特征由以下四个函数规定：1.投资支出I是利息率i的减函数：I=I(i)(I'V0)其中I'=dI/di，是投资函数的导数。2•储蓄S是国民收入Y以及利息率i的增函数，边际储蓄倾向为正分数：S=S(Y,i)(0VSY<1;Si>0)其中S=as/ay(边际储蓄倾向)和S=as/di均为偏导数。Yi3•进口支出M是国民收入的函数,边际进口倾向也是正分数：M=M(Y)(OVM'Vl)4•出口水平X由外生因素决定：X=X0在货币市场中，我们有如下两个函数：5•货币需求量Md是国民收入的增函数(交易需求)，但是利息率的减函数(投机需求)：Md=L(Y,i)(LY>0；Li<0)这之里所以使用函数符号L,是因为货币需求函数习惯上被称作流动偏好函数.Md代表货币需求，应注意避免与表示进口的符号M相混淆。6•货币供给作为一个货币政策问题，由外生因素确定：M=Mnss0注意，I、S、M和X同Y一样，均是流量概念，是在一定时间内度量的；而Md和Ms则是存量概念，它们表示在某一特定时点存在的量。但无论是存量还是流量，上述函数均被假定具有连续导数。此模型要达到均衡需要同时满足商品市场均衡条件(注入=漏出，或者I+X=S+M)以及货币市场的均衡条件(货币需求=货币供给，或Md=Ms)。在上述一般函数的基础上，均衡状态可通过下述两个条件来表示I(i)+X0=S(Y，i)+M(Y)L(Y，i)=Ms0

由于符号I、s、M和L可视为函数符号，实际上我们只有两个内生变量收入Y和利率i,以及两个外生变量，出口X0（由外国决定）和Ms0（由货币当局决定）。因此（838）可以（820）形式表示，其中n=m=2：Fl（Y，i；X0，Ms0）=I（i）+X0-s（Y，i）-M（Y）=0F2（Y，i；X0，Ms0）=L（Y，i）-Ms0=0此方程组满足隐函数定理的条件，因为（l）Fi和F2具有连续导数（根据假设，所有函数的导数连续）；（2）在初始均衡处（假设它存在）和其它地方，内生变量的雅可比行列式不为零：ddaFidiaF2/diI'ddaFidiaF2/diLi=-L•(S+M')-L(I-S)>oiYYi因此，尽管我们不能明确解出Y和i，但可以写出隐函数Y=Y(X,M)andi二i(X,M)0s00s0进而，我们把（8．38'）看作均衡点某一邻域的一对恒等式，所以我们可以写出-I（i）+X-S（Y,i）-M（Y）三0L（Y,i）-M三0s0由这些均衡恒等式，可以得到四个比较静态导数，两个与X0有关，另两个与Ms0相关。但这里我们只推导出前两个导数，后两个留给读者作练习。因此，在对（841）的每个恒等式取全微分以后，今dMs0=0,从而使dx0成为唯一的不均衡因子。其次，以dx0通除，并把两个微分的商视为偏导数（因为另外一个外生变量Ms0保持不变），得到矩阵方程：-1YL由克莱姆法则并运用（839），YL由克莱姆法则并运用（839），得到解dYdiadYdiaX-S-M'-1LY0JILp>0i-Li>0J、0其中等号右边所有的导数（包括那些出现在雅可比行列式中的导数）都在初始均衡，即y=Y，i=i处计算其值。当这些导数的具体值为已知时，（8.43）产生关于出口变化的影响的定量结论。但当这些值为未知时，只能得到定性结论：在此模型中y和i持随出口增加而增加。像在市场模型中一样.如果不使用全微分法，我们还有一个选择是将（8.4t）中的均衡恒

-S嵌>胚烽卜000i冷卜00因为另一个外生变量Ms0保持不变等式对所研究的特定的外生变量，即X0取全导数。当然，我们在取全导数时必须记住隐式解(840)。如在(8.41)和(840)中给出的那样,X0影响模型不同部分的各种方式通过通道图8.8概括出来。特别应注意的是，对-S嵌>胚烽卜000i冷卜00因为另一个外生变量Ms0保持不变边表达式的偏全导数。然而，作为隐函数这两个方程左侧表示对应的两个均衡恒等式中左(840)的导数，比较静态导数(°爲X)和/0(耳咕X)仅仅是简单的偏导数。作适当的压缩，这两个方程可以压缩成8.42)。所以，全/0边表达式的偏全导数。然而，作为隐函数微分法与全导数法得到一致的结果。读者应注意到，I。%X实质上是出口乘数。因为出口引致的均衡收入的增加，通过进口函数M=M(Y)使进口也增加；我们可再应用链式法则求得(辅助〕比较静态导数：I6MLM'1苏L-ML〔応J-M〔眄丁因为M，>o,所以上述导数符号为正。用完全类似的步骤也可求出其他辅助比较静态导致，例如⑶/3xo)，(8；/8x。)等。步骤总结在分析一般函数市场模型和国民收入模型时，不可能得到内生变量显式解的值。相反我们依靠隐函数定理写出下面的隐函数：P-P(Y)i-iY)00我们下一步求出诸如(dP/dY)和⑹/。X)等的比较静态导数，然后基于根据隐函00数定理得知的事实解释函数P和i具有连续导数的意义。为便于应用这个定理，我们使以(8.16)或(8.20)形式写出模型的均衡条件成为标准的作法，然后检验：(1)函数F是否具有连续导数；(2)Fy的值或者内生变量雅可比行列式(取决于具体情况)在模型初始均衡处是否为非零。然而，只要模型中的单个函数具有连续导数——在一般函数模型中经常采用此假设是很自然的——上述第一个条件便自动得到满足。因此，实际上只需检验Fy的值或者内生变量雅可比行列式的值。如果在均衡处不为零，则我们便可以立刻求出比较静态导数。要达到此目的，隐函数法则是有用的。在单一方程情况下，仅需令内生变量等于均衡条件下的均衡值，即令P-P，然后应用(8.19)中所述的法则于所得到的均衡恒等式。对于联立方程组的情况，我们也必须首先令所有内生变量分别等于均衡状态时的均衡值；然后我们再对所得到的均衡恒等式应用（824）所述的隐函数法则，或者按下面介绍的几个步骤进行：1.对每个均衡恒等式依次取全微分。2•选择一个且仅选择一个外生变量，比如X0作为唯一的非均衡因子，并令所有其它外生变量的微分等于零。然后以dx0除以每个恒等式中余下各项，并将两个微分的商视为比较静态导数——若模型包含两个或两个以上的外生变量，应视作一个偏导数。3•解所得到的方程组，求出比较静态导数，并解释其经济意义。在这一步，如果使用克莱姆法则，则可以利用这一事实：即前面在检验J条件时，我们已经计算出现在要解的方程组的系数矩阵行列式的值。4•若有其它非均衡因子（其它外生变量），其分析可重复步骤2和步骤3。尽管在新的方程组中会出现一组不同的比较静态导数，系数矩阵却会同以前一样，所以可再次运用已知的J值。如果给定的模型具有m个外生变量，要求得所有的比较静态导数，则需应用上述步骤m次。经济应用本章开头，我们以多产品厂商为例描述了具有多于一个选择变量的一般最优化问题。现在我们就准备处理这些问题及与其性质类似的问题。多产品厂商问题例1我们首先假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商。因完全竞争条件下两商品的价格必然是外生的，所以它们可分别以P10与P20表示。据此，厂商的收益函数为：R=P1OQ1十P20Q2其中Qi表示单位时间内i产品的产出水平。假设厂商成本函数为C二2Q2+QQ+2Q21122注意ac/aQ=4Q+Q（第一个产品的边际成本）不仅是qi的函数，而且是Q2112的函数。类似地，第二个产品的边际成本也部分依赖于第一个产品的产出水平。因此，按照假定的成本函数，这两个商品在生产上看来存在技术的相关性。现在可将此假定厂商的利润函数写成八R-C二PQ+PQ-2Q2-QQ-2Q21012021122它是两个选择变量Q1、Q2及两个价格参数的函数。我们的任务是求出使n最大化的产出水平Q1与Q2的组合。为此，我们先求出利润函数的一阶偏导数兀（三需）=P-4Q-QaQ10121兀（三务）=P-Q-4QaQ20122令二者等于零，为满足最大化的必要条件，我们得到联立方程4Q1+Q2=P10Q1+4Q2=P20产生唯一解Q二1产生唯一解Q二14P-Pio20and154P-P201015因此，若P10=2,P20=18,我们有Q二2,Q二4，这意味着单位时间的最大利润为12为确认此值的确是最大利润，我们来检验二阶条件。对一阶偏导数得到的二阶偏导数给我们如下海塞行列式122122因丨H1丨=-4<0,|H2|=15>0,海塞矩阵(或d2z)为负定，此解确实使利润最大化。事实上，主子式的符号与其在何处计值无关，所以在本例中，d2z处处为负定。因此，判断条件，目标函数必定为严格凹函数，上面所求得的最大利润实际上是唯一的绝对极大值。例2现在我们把例1移植到垄断市场环境中。由于这一新的市场结构假设，收益函数必须修正以反映这样的事实：两产品价格将随其产出水平(这里假设产出水平与销售水平一致，不考虑存货积累。)的变化而变化。当然，价格随产出水平变化的确切方式还有待于从对厂商两种产品的需求函数中求出。假设对垄断厂商产品的需求函数如下：Q1=40-2P1+P2Q2=15+P1-P2这两个方程揭示出，这两种商品在消费中存在着某种联系。具体地说，它们是替代品因为—种商品价格的提高将提高对另一商品的需求。正如上式给出的那样，它表明需求星Q1和Q2是价格的函数，但就我们现在的目的而言，将价格Pl和P2表示成Q1和Q2的函数，即两个产品的平均收益函数要更方便—些。因为需求函数可以重写为：2P1+P2=Q1-40P1-P2=Q2-15将Q1、Q2视为参数，我们可应用克莱姆法则解P1和P2如下：P1=55-Q1-Q2P2=70-Q1-2Q2因为P1三AR1,P2三AR2，所以这两个函数构成了所求的平均收益函数。因而，厂商的总收益函数可以写成R=P1Q1十P2Q2=(55-Q1-Q2)Ql+(70-Q1-2Q2)Q2=55Q1+70Q2-2Q1Q2-Q12-2Q22若我们再假设总成本函数为C=Q12+Q1Q2+Q22则利润函数将为n=R-C=55Q1+70Q2-3Q1Q2-2Q12-3Q22这是一个有两个选择变量的目标函数。一旦求出利润最大化的产出水平Q和Q，最

优价格水平P和P便可由轻松求出。12目际函数产生如下两个一阶和二阶偏导数：n1=55-3Q2-4Qln2=7O-3Q1-6Q2nll=-4n11=n11=-3n22=-6为满足n最大化的一阶条件，我们必须有n1=n2=0,即4Q1+3Q2=553Q1+6Q2=70单位时间的产出水平为（Q,Q）=（&7弓123分别将此结果代入（11．30'）和（1131），我们求得P=39丄,P=46?,兀=488丄（单位时间）13233-4-3自于海塞矩阵为/，我们有-3-6IHl|=-4<0,|H2|=15>0所以n值确定表示最大利润。这里，主子式的符号同样与其在何处计值无关。因此，海塞矩阵处处为负定，意味着目标函数为严格凹函数，且具有唯一的绝对极大值。厂商的投入决策除了产出水平Qi外，厂商的选择变量还可以是投入水平。例5我们假设存在如下环境：（1）一个假定的厂商运用投入a和b生产单一产品Q。⑵投入的Pa和Pb不能为该厂商所控制，该厂商也不能控制其产出的价格P，所以我们将其分别表示成Pa0,Pb0,P0o（3）生产过程要tO年（tO为正常数）完成，所以在将销售收益与现在发生的投入成本进行比较之前，需将其完全贴现至现值。在连续基础上，假定贴现率为r0o根据假设1，我们可以写出一般生产函数Q=Q（a，b），其边际物质产品为Qa，Qb。由假设2．可将总成本函数表示成C=aPa。十bPb0将总收益函数表示成R=P0Q（a，b）为写出利润函数，我们必须将收益与一个常数er0t0相乘以将收益折现，为避免上标与下标混淆.我们将ert0写成ert。因此，利润函数为n=P0Q（a，b）e-rt-aPa0-bPb0其中仅有a和b为选择变量。为使利润最大化，必须先求出一阶导数：PP-t-令两者均为零，这意味着PQert=P和PQert=P0aa00bb0因为P0Qa(产品价格乘投入a的边际产品)表示投入a的边际产品价值(VMPa),所以第一个方程仅表示VMP的现值应等于投入a的给定价格。第二个方程表示同样的先决条件应用a于投入b。注意，要满足(1135)，边际物质产品Qa和Qb必须均为正，因为P0,Pa0,Pb0，以及e-rt均为正值。按照等产量曲线,它具有非常重要的解释；等产量曲线定义为能获得同样产出水平的投入组合的轨迹。当在ab平面上绘出时，等产量曲线一般与图中出现的曲线类似。由于每一等产量曲线代表一个固定产出水平，在任意等产量曲线上，我们必然有dQ=Qada十Qbdb=0这意味看等产量曲线的斜率可以表达成dbQ(MPP)da一Qa—MPPa)b因此，要使Qa和Qb均为正，必须把厂商的投入选择限定在等产量曲线斜率为负的弧段内。在图中，经营的相关领域是由两条所谓的“脊线”所确定的阴影区域。在阴影区域外，等产量曲线的斜率为正，一种投入的边际产品必定为负。例如，由投入组合M移到N,表明投入b保持不变时增加投入a,使我们达到较低的等产量线(一个较小的产出)，因此，Qa必定为负。类似地，M'移至N'表明Qb为负。注意，当我们将注意力集中于阴影区域时,每一等产量线可以视为形式为b=©(a)的函数，因为对于每一个可接受的a值，等产量曲线确定了一个唯一的b值。二阶条件由n的一阶偏导数决定，而n的二阶偏导数可以从(11.34)求得。记住，作为导数，Qa和Qb本身是变量a和b的函数，我们可以求得naa,nab=nba和nbb，整理，列成海塞矩阵:兀aa兀abbabb兀aa兀