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∫x∫lnx1 xydt xdt y 1 1lnxylnxlny对数函数y=lnx的反函数为指数函数xey，习惯上记为yex.指数函数有加法公式ex+y=ex⋅ey.这里的底数e这样定义，它使得∫1 e∫1对数函数y=lnx导数可以直接求出来，即y′=1x（利用变上限积分求导法则。指数函数y=ex的导数可以间接求出来，即利用它的反函数导数，然后倒过来即可，由此可知(ex)′=ex.这比直接利用导数定义要便捷一些。借助于欧拉公式eix=cosx+isinx，我们实际上可以由指数函数来研究三定积分运算∫看做是导数的逆运算，即按:=⎛d ∫.只是后来人们发现了牛顿-莱布尼茨公式，发现连续函数的变上积分∫表示一族函数而不是一个，即∫f(x)dx=F(x)不要漏掉任意常数Cn∑f(ξi)(xi−xi−1当max{xi−xi−1→0无法控制f(ξi).的想法是分y轴（即控制f(ξi)，大致想法如下：设m≤f(x)M，然后分割函数的值域[m,Mm=l0<l1<L<ln=

Ek={x∈[a,b]:lk≤f(x)Lebesgue测度记为m(Ek.∑lkm(Ek→∫f(x)∫EDI=∫∫Df(x的，而函数的定义要求对每一个x，有惟一的数值f(x与之对应。所以分xf(x的表现不那么糟糕。但是，如果分y轴，那么根据函数定义，同一个数值y，可能有一堆x与之对应，此时已经不存在函数关系x=g(y了。这一解释说明，站在函数积分的角度看，分x轴与分y轴并不对等。细想想确实如此，对于形态好的函数，分x轴与分y轴效果一样，对于一些比较BT的函数，需要分y轴了（同时要借助L测度理论。需要强调的是：本人的看法是，Lebesgue积分的真正价值不是使得R不可积函数变得可积了，L积分的真正价值是：大大放宽了积分与极限∫u ∫0∫u z∫0

=arcsin定义了正弦函数zsinu.这其实是椭圆积分中k0对应的退化情

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