弹性力学课件

附录

目录附录1张量基础附录2复变函数数学基础附录3变分法概要第1页§i1张量1张量特性笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标识法特殊张量附录1张量基础第2页张量——简化缩写记号体现物理量集合显著长处——基本方程以及其数学推导简洁张量特性——整体与描述坐标系无关

分量需要通过合适坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义§i1张量1第3页三维Descartes坐标系中，一种具有3个与坐标有关独立变量集合，一般能够用一种下标表达。位移分量u，v，w缩写记为ui（i=1,2,3）表达为u1,u2,u39个独立变量集合，两个下标来表达sij和eij——9个应力分量或应变分量sij,k

——27个独立变量集适用三个下标表达i——下标§i1张量2第4页求和定约张量体现式某一项内一种下标出现两次，则对此下标从1到3求和。哑标：出现两次下标——求和后消失自由标：非反复下标自由标个数表达张量体现式代表方程数§i1张量3第5页偏导数下标识法缩写张量对坐标xi偏导数体现式逗号商定

逗号背面紧跟一种下标i时，表达某物理量对xi求偏导数。利用偏导数下标识法，偏导数均可缩写为§i1张量4第6页张量偏导数集合仍然是张量证明：

ui，j假如作坐标变换

由此可证，ui,j服从二阶张量变换规律

由于因此§i1张量5第7页特殊张量符号

克罗内克尔（KroneckerDelta）记号d

ij显然克罗内克尔记号是二阶张量运算规律§i1张量6第8页置换符号eijk

偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻数字而得到排列奇排列§i1张量8第9页二阶对称张量反对称张量任意一种二阶张量，总是能够分解为一种对称张量和一种分对称张量之和。张量对称和反对称性质，能够推广到二阶以上高阶张量。§i1张量9第10页附录2复变函数数学基础复变函数定义解析函数保角变换柯西积分第11页复变函数定义复数——两个实数x，y确定数z=x+iy虚数单位

实部虚部模幅角

复变函数基础§i2复变函数1第12页函数f（z）在某区域Σ上每一点导数存在，称为区域Σ上解析函数。

解析函数

w=u（x，y）+iv（x，y）柯西－黎曼条件解析函数解析函数实部和虚部都是调和函数§i2复变函数2——复变函数可导性第13页保角变换§i2复变函数3通过函数w=f（z）将平面点集合g转换为另一种平面（w平面）点集合G。变换——映射解析函数w=f（z）在点zo所实现变换点zo处所有线素皆按同一百分比伸长任意两个曲线之间交角保持不变第14页柯西积分公式z为C外任一点，则f（t）在区域S内到处解析，C为S内任一闭曲线，它内部完全属于S，z为包括在C内任一点，则§i2复变函数4第15页如f（t）在区域S外，包括无穷远点到处解析，C为S内任一闭曲线，它内部完全属于S，z为包括在C内任一点，§i2复变函数5第16页附录3变分法概要泛函与泛函极值欧拉方程自然边界条件泛函运算第17页泛函和泛函极值泛函——其值倚赖于其他一种或者几个函数——函数函数变分法——泛函极值泛函极值条件dJ=0d2J≥0，则∆J＞0，泛函J[y]为极小值；d2J≤0，则∆J＜0，泛函J[y]为极大值。

§i3变分法1第18页泛函极值必要条件—欧拉方程变分dy和dy’不是独立无关，因此

在x=x1和x=x2时，dJ=0

§i3变分法2第19页欧拉方程仅仅是泛函极值存在必要条件确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分d2J大于0还是不大于0。由于e在区间（x1，x2）是x任意函数，因此上式成立必要条件为积分函数在区间（x1，x2）内为零。

§i3变分法3第20页自然边界条件如自变函数在边界数值不能确定，则对于可变边界问题，首先