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文档简介

§10.不变子群、商群10.1定义10.2例子10.3等价条件10.4商群第1页10.1定义这一节里要讲到一种主要子群，就是不变子群．

给了一种群，一种子群，那么一种右陪集未必等于左陪集，这一点我们在上一节例２里已经看到．第2页一种不变子群一种左(或右)陪集叫做一种陪集.意味着:吗?反过来呢?在元素间意味着什么?不变子群又称为正规子群注1.注2.注3.注4.定义一种群一种子群叫做一种不变子群,假如对于每一种元来说,都有

第3页10.2例子例１一种任意群子群和总是不变子群，由于对于任意元来说，例２刚好包括群所有有下列性质元，，不论是哪一种元证明:是一种不变子群．第4页证明:

.每一种元能够同每一种元交换，因此，即是不变子群．(1)是子群.由于，因此是非空．这就是说，是一种子群．

，

又这个不变子群叫做中心．第5页例３

一种交换群每一种子群都是不变子群．由于每一种元能够和任意一元交换，，因此对于一种子群来说，

例４

．那么，，是一种不变子群．从这个例子能够总结出一般性结论吗?注5.第6页10.3等价条件目前复习一下群子集乘积:设A，B是群两个非空子集,要求，容易证明:，由于结合律成立,，，…，乘积用符号

来表达．第7页定理１

一种群一种子群是一种不变子群充足并且必要条件是：对于任意一种元都对．证明…………证完注5.能够换成?第8页证明这个条件必要性是显然，是定理１直接成果．我们证明它也是充足．定理２一种群一种子群是一种不变子群充足并且必要条件是：，条件意味着（＊）

由于也是元，在（＊）中以代,…………证完第9页要测验一种子群是不是不变子群，用定理２条件一般比较方便．注6.用定理２条件能够改写成，注7.等价于注8.等价于‥‥‥？？注9.第10页小结:群一种子群,，.下面条件等价:1.2.3.4.注意:不变子群不具有传递性.第11页10.4商群不变子群因此主要，是由于这种子群陪集，对于某种与本来群有密切关系代数运算来说，也作成一种群．我们看一种群一种不变子群所有陪集作成一种集合第12页相对:是一种元素,相对:是一个子集.(2)有不一样表达方式.子集乘积,计算两个陪集和成绩定理３一种不变子群陪集对于上边要求乘法来说作成一种群．第13页证明我们证明群定义条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ能被满足．Ⅰ．显然．Ⅱ．Ⅳ．是单位元,由于Ⅴ有逆元,由于证完第14页定义一种群一种不变子群陪集所作成群叫做一种商群．这个群我们用符号来表达．由于指数就是陪集个数，我们显然有，商群

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