湖北省武汉市鲁巷中学高三数学文期末试题含解析

湖北省武汉市鲁巷中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是等比数列的前项和，如果，，且，则A．B．C．D．参考答案：C2.已知函数y=log2x的反函数是y=f—1(x)，则函数y=f—1(1－x)的图象是

（

）

参考答案：答案：B3.若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D试题分析：由题设可知直线的一个方向向量是,其斜率,即,故,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．4.三棱锥的底面是边长为2的正三角形，顶点在底面的射影为的中点，若该三棱锥的体积为1，则该几何体的外接球的表面积为(

)A. B. C. D.参考答案：D5.在中，若，则=（

）（A） （B）

（C）

（D）参考答案：A6.已知是三个集合，那么“”是“”成立的

（）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：答案：A7.已知a，b是实数，则“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若“a＞2且b＞2”则“a+b＞4且ab＞4”成立，即充分性成立，当a=1，b=5时，满足a+b＞4且ab＞4，但a＞2且b＞2不成立，即必要性不成立，故“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分不必要条件，故选：B8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D． 参考答案：B略9.设集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|﹣2≤x≤6}，则（?RA）∪B=(

) A．R B．[﹣3，6] C．[﹣2，4] D．（﹣3，6]参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出集合A的补集，再根据并集定义求出结果解答： 解：∵A={x|x2﹣x﹣12＞0}，∴（?RA）={x|x2﹣x﹣12≤0}=[﹣3，4]，∵B={x|﹣2≤x≤6}=[﹣2，6]∴（?RA）∪B=[﹣3，6]故选：B点评：本题考查了集合并集和补集的运算，属于基础题10.在△ABC中，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题得以P为的重心，再求出,求出的值得解.【详解】因为所以P为的重心，所以,所以所以因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查三角形的重心的性质，考查三角形的减法法则和数乘向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围为

．参考答案：（或）略12.一个几何体的三视图如图所示(单位),则刻几何体的体积为

．参考答案：考点：三视图的识读和几何体的体积的计算．13.不等式的解集是

▲

．参考答案：略14.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是

．参考答案：15.动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，0），化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故答案为：3．16.设为等差数列的前项和，若，则

．参考答案：略17.给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②是函数的一条对称轴方程；③若，则不等式成立的概率是；④函数上恒为正，则实数a的取值范围是.其中真命题的序号是

.（填上所有真命题的序号）参考答案：②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）数列的前n项和为，等差数列的各项为正实数，其前n项和为成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）若时求数列的前n项和.参考答案：19.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.(1）求证：f(8)＝3

(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.参考答案：（1）由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)又∵f(2)＝1

∴f(8)＝3(2)不等式化为f(x)>f(x－2)+3∵f(8)＝3

∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)∵f(x)是（0，+∞）上的增函数∴解得2<x<20.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数n==15，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：p=1﹣=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，P（ξ=1）=C31，，，故ξ的分布列为：ξ0123P∵，Eξ=3×=1.8．【点评】本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21.已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)若是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明.参考答案：(1),当时，时，；当时，时，；当时，由，得，又，则有如下分类：①当，即时，在上是增函数，所以；②当，即时，在上是增函数，在上是减函数，所以；③当，即时，在上是减函数，所以，综上，函数在上的最大值为.(2),

,,令，所以在上是增函数，又，当时，，故；当时，，故，综上知：.本题主要考查导数、函数的性质，考查了分类讨论思想与函数的构造、逻辑思维能力与计算能力.(1),分、、、、等情况讨论的符号，判断函数的单调性，即可得出结论；(2)由题意化简可得,令，求导并判断函数的单调性，则结论易得.22.已知平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为与曲线C相交于不同的两点M，N．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若，求实