2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．曲线与曲线一定成立的是（

）A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等3．“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件4．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B．2 C．6 D．85．圆与圆的公切条数为（

）A．2条 B．1条 C．3条 D．4条6．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则（

）A．实轴长为2B．离心率为C．两渐近线夹角的正切值不存在D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则10．已知直线的方程，则（

）A．恒过定点B．存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数C．直线的斜率一定存在D．点到直线的距离最大值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，则（

）A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是B．过的直线与椭圆交于两点，则C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直三、填空题（本大题共3小题）12．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是．13．设集合，，若，则实数．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知定点，动点到定点距离之比为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程．16．已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；(2)若，，求的面积．18．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．19．已知椭圆，左焦点.(1)设直线与椭圆交于，点是椭圆上任意一点，证明：；(2)过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、，（ⅰ）记四边形面积为，求的取值范围；（ⅱ）设的中点为的中点为，直线与直线交于，证明．

参考答案1．【答案】B【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：B.2．【答案】B【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，因为，所以，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，，，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B3．【答案】D【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”“为常数”；反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆．因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．故选：D．4．【答案】C【详解】由方程可知，，即，所以，解得，所以.故选：C5．【答案】A【详解】由是以为圆心，3为半径的圆.，转换为，即该圆是以为圆心，4为半径的圆.所以圆心距，所以所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A6．【答案】D【分析】先求出直线过的定点，要想直线和椭圆总有公共点，只需定点在椭圆上或内部，因为定点为，所以直接跟短半轴b比较即可【详解】由题意，直线恒过定点，要使直线与椭圆总有公共点，则只需点在椭圆上或椭圆内，则．又焦点在轴上，所以，所以．故选：D．7．【答案】B【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.【详解】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：B.8．【答案】B【详解】设，令，则，过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，如果在同一支上，则有，如果在两支上，则有，因为这样的直线有4条，所以，解得，故选：B9．【答案】ABC【详解】由双曲线可得，所以实轴长为，故A对；离心率为，故B对；令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1，所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对；把直线代入双曲线中，消y，得,当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点，当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点，所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错；故选：ABC10．【答案】ABD【详解】A.联立，得，所以点满足方程，即直线恒过定点，故A正确；B.当时，，，当时，，，当，得，故B正确；C.直线的方程，当，时，直线的斜率不存在，故C错误；D.点到直线距离的最大值为点与定点之间的距离，即，故D正确.故选：ABD11．【答案】BD【详解】对于A，椭圆的离心率，若椭圆方程为：，则其离心率也为12，但该方程不是的形式，故A错误；对于B，设过的直线方程为，Ax1,y联立，消去可得，，，，同理，所以，故B正确；对于C，由椭圆的定义可得，所以，当三点不共线时，，共线时，所以有最大值，有最小值，故C错误；对于D，设圆上任意点，当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，代入椭圆方程，所以，整理可得，所以，又，所以，当斜率不存在时，显然垂直，故D正确；故选：BD.12．【答案】【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，则实数的取值范围是，故答案为：13．【答案】或【详解】集合，，且，直线与直线平行，或经过点，即或，故答案为：1或．14．【答案】a【详解】由题知，设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为，由双曲线定义有，得，由圆的切线长定理知，，即，即，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以，故答案为：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设Mx,y，由题意知，得，所以点的轨迹的方程为（2）连接PE，QE，则所以四点共圆，其圆是以为直径的圆，因为，的中点为，，所以为直径的圆的方程为所以所在直线方程为，即16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，可得，所以椭圆方程为（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，设,，,，所以，，两式作差，得，由于是的中点，故，所以，所以，所以，所以中点弦的方程为，所求的直线方程．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）椭圆的焦点为和，所以双曲线C:x2a2−又双曲线过点，所以，由，解得，双曲线的标准方程为（2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，得，所以，则的面积，

18．【答案】(1)(2)为定值，且定值为【详解】（1）设Mx,y，到定直线的距离为则，故，平方后化简可得，故点的轨迹的方程为：（2）由题意，,设直线的方程为，,，,，由，可得，所以，．则，，所以；当直线的斜率不存在时，，此时，综上，为定值．

19．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【详解】