版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第九章定积分复习§1定积分概念§2牛顿-莱布尼茨公式§3可积条件§4定积分性质§5(一)微积分学基本定理§5(二)定积分计算1/33§1定积分概念一、问题提出二、定积分定义2/33就随之而确定;可用来反应[a,b]被分割细密程度.具有同一细度
分割T一旦给出,因此分割T却有没有限多种.
二、定积分定义定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点,依次为它们把[a,b]提成n个小区间△i=[xi-1,xi],i=1,2,…,n.这些分点或这些闭子区间组成对[a,b]一种分割,记为小区间△xi长度为△xi=xi-xi-1,并记称为分割T模.注由于另外,不过,3/33对于[a,b]一种分割又与所选用点集任取点有关.定义2
设f是定义在[a,b]上一种函数.i=1,2,…,n,并作和式称此和式为函数f在[a,b]上一种积分和,也称黎曼和.注显然,积分和既与分割T有关,4/33
J是一种确定实数.使得对[a,b]任何分割T,,只要以及在其上任意选用点集,总存在某一正数若对任给正数数J称为f在[a,b]上定积分或黎曼积分,a,b分别称为这个定积分下限和上限.定义3设f是定义在[a,b]一种函数,,就有则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积;记作(3)其中,f称为被积函数,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间,5/33与
差异
是全体原函数是函数
是一种和式极限是一种确定常数
注:6/33定积分几何意义.当f(x)≥0,定积分几何意义就是曲线y=f(x)直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形面积bAoxyay=f(x)S注67/33当函数f(x)
0,x
[a,b]时
定积分就是位于x轴下方曲边梯形面积相反数.即oxyaby=f(x)S8/33几何意义:9/33通过求积分和极限来计算定积分一般是很困难.§2牛顿-莱布尼茨公式
从上节例题和习题看到,下面牛顿——菜布尼茨公式不但为定积分计算提供了一种有效办法,并且在理论上把定积分与不定积分联系起来.10/33定理9.1(牛顿—莱布尼茨公式)函数f在[a,b]上满足条件:(i)f在[a,b]上连续,(ii)f在[a,b]上有原函数F,则(1)f在[a,b]上可积;11/33本定理条件中对F假设便是多出了.(更一般情形参见本节习题第3题.)在(a,b)内可导,
注1
在应用牛顿一菜布尼茨公式时,F(x)可由积分法求得.注2定理条件可合适削弱,例如:1)对F要求可削弱为:在[a,b]上连续,且这不影响定理证明.2)对f要求可削弱为:在[a,b]上可积(不一定连续).
这时(2)式仍成立,且由f在[a,b]上可积,(2)式右边当时极限就是而左边恒为一常数.注3至§5证得连续函数必有原函数之后,12/33要鉴别一种函数是否可积,则f在[a,b]上肯定有界.§3可积条件从定理9.1及其后注中看到,必须研究可积条件.一可积必要条件定理9.2若函数f在[a,b]上可积,有界函数却不一定可积.注
这个定理指出,任何可积函数一定是有界;13/33而不包括定积分值.下面即将给出可积准则只与被积函数本身有关,但由于积分和复杂性和那个常数不易预知,直接考查积分和是否能无限接近某一常数,二可积充要条件要判断一种函数是否可积,当然能够根据定义,因此这是极困难.14/33由f在[a,b]上有界,表达对应于分法T积分和,(或称达布上和与达布下和,统称达布和).任给作和设为对[a,b]任一分割.它在每个上存在上、下确界:有关达布和性质详细讨论补述于§6.分别称为f有关分割T上和与下和
显然有用积分和是数集(多值).且15/33函数f在[a,b]上可积充要条件是:这里从略(完整证明补述于§6).可积充要条件定理9.3
(可积准则)
任给总存在对应一种分割T,使得(2)本定理证明依赖上和与下和性质详尽讨论,16/33有必要时也记为设称为f在△i上振幅,由于因此可积准则又可改述如下:定理函数f在[a,b]上可积充要条件是:任给总存在对应某一分割T,使得17/33则图9-7中包围曲线y=f(x)一系列小矩形面积之和能够达成任意小,几何意义是:只要分割充足地细;反之亦然.就有
注1下列两种说法等价(见习题)(1)任给总存在在对应某一分割T,使得
(2)
任给对任意分割T,只要注2不等式(2)或若f在[a,b]上可积,18/33我们证明下面某些类型函数是可积(即可积充足条件).三可积函数类根据可积充要条件,定理9.4若f为[a,b]上连续函数,则f在[a,b]上可积.若f是区间[a,b]上只有有限个间断点有界函数,定理9.5则f在[a,b]上可积.则f在[a,b]上可积.定理9.6若f是[a,b]上单调函数,单调函数虽然有没有限多种间断点,仍不失其可积性.
注
19/33§4定积分性质一、定积分基本性质本节将讨论定积分性质,包括定积分线性性质、乘积可积性、有关积分区间可加性、积分不等性、绝对可积性与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新工具.二、积分中值定理20/33一、定积分基本性质性质1
若f在[a,b]上可积,k为常数,则kf在[a,b]上也可积,且(1)性质2
可积,且
合起来即为
注1性质1与性质2是定积分线性性质,其中、为常数.(线性性质)
21/33性质3若f﹑g都在[a,b]上可积,则f·g在[a,b]上也可积.(乘积可积性)
注在一般情形下f在[a,c]与[c,b]上都可积,此时又有等式
性质4
f在[a,b]上可积充要条件是:任给,
(3)(区间可加性)22/33大小次序都能成立.例如,当a<b<c时,只要f在时才故意义,而当a=b或a>b时本来是没故意义.但为了利用上方便,对它作如下要求:有了这个要求之后,等式(3)对于a、b、c任何[a,c]上可积,则有按定积分定义,记号只有当a<b要求1当a=b时,令要求2当a>b时,令23/33则性质5设f为[a,b]上可积函数.若(4)推论(积分不等式性)若f与g为[a,b]上两个可积函数,且,则有(5)性质6若f在[a,b]上可积,则在[a,b]上也可积,且(6)(绝对可积性)
24/33二、积分中值定理定理9.7(积分第一中值定理)则最少存在一点,使得(7)若f在[a,b]上连续,定理9.8(推广积分第一中值定理)若f与g都在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则最少存在一点ξ∈[a,b],使得(当g(x)=1时,即为定理9.7.)(8)25/33§5微积分学基本定理.定积分计算(续)
一、变限积分与原函数存在性
本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数原函数存在性.在此基础上又可导出定积分换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式积分型余项二、换元积分法与分部积分法26/33当函数可积性问题告一段落,并对定积分性质有了足够结识之后,§5(一)微积分学基本定理接着要来处理一种此前数次提到过问题——在定积分形式下证明连续函数肯定存在原函数.一、变限积分与原函数存在性设f在[a,b]上可积,根据定积分性质4,对任何x∈(a,b),
f在[a,x]上也可积.于是,由(1)定义了一种以积分上限x为自变量函数,称为变上限定积分.27/33(例如)以免与积分上、下限x相混同.与ψ统称为变限积分.类似地,又可定义变下限定积分:(2)注在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x形式变限积分
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年北京市房山区中考二模化学试卷
- 车辆买卖合同样式版
- 人教部编版六年级语文下册1古诗三首《十五夜望月》(教学设计)
- 应急演练总结1000字经典9篇
- 劳务用工合同
- 幼儿创意课教案8篇
- 员工劳动合同样式完整版
- 江苏省苏州市吴江区2024年中考数学四模试卷含解析
- 公司清洁综合服务承包合同
- 有关大一新生军训心得体会【5篇】
- 融资租赁租金计算表V2.0
- 充电桩采购安装投标方案
- MOOC 国际商务-暨南大学 中国大学慕课答案
- “互联网+”背景下社交电商的商业模式研究-以拼多多为例
- 2023图解商用密码应用安全性评估
- 血液肿瘤行业分析
- 文旅剧本杀项目策划方案
- 冷却系统计算表
- 高中英语外研版(2019)选择性必修第一册各单元主题语境与单元目标
- 创新创业-教学实施报告
- 月度工作计划:供应链管理个人月工作计划
评论
0/150
提交评论