中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案

中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案中的夹角的正弦值。解答：（1）由于A1B1与CD平行，所以∠A1BC=∠ABCD=90°，又因为AB=1，BC=2，所以A1B1=√5。在平面A1B1C1D1中，A1B1与A1D1垂直，所以∠A1B1D1=90°，又因为A1B1=√5，A1D1=2√2，所以cos∠A1B1D1=√2/2，因此∠A1B1D1=45°。所以∠A1BC1=∠A1B1D1=45°，所以∠A1BD=90°-45°=45°。（2）由于BC1与CC1D1垂直，所以cos∠BCC1D1=BC1/CC1D1=2/3，所以∠BCC1D1≈48.19°。又因为BC1与BC垂直，所以cos∠ABC1=sin∠BCC1D1=sin48.19°≈0.7431，所以sin∠ABC1≈0.6682。16、（10分）一个正四面体的棱长为a，求其高和侧面积。解答：设正四面体的高为h，则由勾股定理可得：h^2=a^2-(a/2)^2=a^2/4×3所以h=a√3/2。正四面体的侧面是四个全等的正三角形，所以侧面积为4×(a^2√3/4)=a^2√3。所以正四面体的高为a√3/2，侧面积为a^2√3。17、（10分）如图所示，四棱锥ABCDV的底面是边长为a的正方形，V是底面正方形中心，AV=VB=VC=VD=h，求四棱锥的侧面积和体积。解答：首先连接AV、BV、CV、DV，可以得到四个全等的三角形，所以四棱锥的侧面积为4×1/2×a×h=2ah。由勾股定理可得：h^2=(a/2)^2+(h-VG)^2又因为VG=h/2，所以h^2=(a/2)^2+(h/2)^2所以h=√(5/4)a。四棱锥的底面积为a^2，所以体积为1/3×a^2×h=1/3×a^2×√(5/4)a=(√5/12)a^3。17、解：（1）因为PA垂直于平面ABC，所以PA垂直于AC和AB，即PA垂直于BC的平面，即BC垂直于PA，即BC垂直于PC。（证明过程略）（2）连接PC和BP，设BP与平面PAC的交点为Q，则∠BPQ为所求角。因为BP垂直于平面ABC，所以BP垂直于AC和AB，即BP垂直于PA的平面，即PA垂直于BP。又因为PC垂直于BC，所以PC垂直于BP的平面，即BP垂直于PC。所以BP是平面PCQ的法线，所以∠BPQ为BC与平面PAC所成的角。由勾股定理可得PC的长度为√3，AB的长度为√2，BP的长度为2，所以根据余弦定理可得cos∠BPQ=1/√6，所以∠BPQ=30°。在PCB三角形中，根据勾股定理，PC²+BC²=PB²，因此PCB是一个直角三角形，BC垂直于PC。同时，由于BC垂直于AC和PC，因此BC垂直于平面PAC。角BPC是直线BP和平面PAC的夹角。根据三角形PCB中的信息，PC=3，BC=1，因此tan角BPC=BC/PC=1/3，即角BPC的正切值为1/3，角度为约30度。BC/13=1/3，因此BC=13/3。在PCB直角三角形中，根据勾股定理可得PC²+BC²=PB²，因此PCB是一个直角三角形，且BC垂直于PC。同时，由于BC垂直于AC和PC，因此BC垂直于平面PAC。角BPC是直线BP和平面PAC的夹角。根据三角形PCB中的信息，P