《概率论与数理统计》习题及答案 第三章_第1页
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••#・解2设Y的分布函数为F(y)，则F(y)=P(Y<y)=PY<y)-P(3X>1—y)-1—P(X<(1—y)3)=1—F{(1—y)3}，X所以f(y)=f((1—y)3)x3(1—y)2Y3(1—y尸28．设X〜U(0,1)，求兀(1+(1—y)6)1)Y=eX的概率密度；—g<y<+s。(2)Y=—2InX的概率密度。X的密度为0<x<1,0<x<1,1)「1,/(x)=<

X10,y=ex在(0,1)上单调增，反函数为h(y)=ln其它.y，所以Y的密度为1<y1<y<e,其他.fY(y)=<y0,(2)y=—2lnx在(0,1)上单调减，反函数为h(y)=e—2，所以Y的密度为一1-y—e2,y>0,f(y)={2Y0,y<0.29.设X〜N(0,1)，求Y=|XI的概率密度。解函数y=|xI在(-8,0)上单调减，反函数为h(y)=—y，11在［0,+8)上单调增，反函数为h(y)=y，(h')yi(h')yiy>)i,2y<0.0,f(h(y(y)=X1Y0,*-/e2,(y)=Y0,))h〔y(+)fIhy1X2y>0,y<0.30.设随机变量X服从参数为2的指数分布，试证Y=1—e-2X在区间(0,1)上服从均匀分布。［证］只须证明Y的分布函数为

0,y<0fy(y)=<y,0<y<i,、1,yn1.[0,y<0F(y)=P(Y<y)=P{1-e-2X<y}=JP{e-2x>1-y},0<y<1,Y1,y>1f0,y<0,|P(-2X>ln(1-y)),0<y<1,1,y>1.f0,1y<0,I<P(X<ln(1-y)-2).I0<y<1,、0,y>1.f0,I-F(ln(1-y)-2),XI0<y<1,1-e-2ln(1-y)1,y<00<y<1y>11,y>1.f0,y<0,=<y,0<y<1,1,y>1.31．设随机变量X的概率密度为2x,0<X<K,f(X)十20,其它•求Y=sinX的概率密度.解1函数ysinx在(0,—]上单调增'反函数为h(y)=arcsiny21在C-,K)上单调减,2反函数为h(y)=K-arcsiny.2Y的概率密度为：f(y)=Y1f(arcsiny)-f2arcsinyn20<y<1,一y21-y2其他.0<y<1,其他.解2设Y的分布函数为F(y)，贝I解2Y>兀一arcsiny)F(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)=P>兀一arcsiny)Y=P(X<arcsiny)+1一P(X<n一arcsiny)=F(arcsiny)+1—F(n—arcsiny)X所以fY(y)f(arcsin11y)-+f(n—fY(y)f(arcsin1—y20<y<1,n\：1一y2其他.32．设随机变量X的分布函数F(x)连续,且严格单调增加，求Y=F(X)的概率密度.解设Y的分布函数为F(y)，则YF(F(y)=P(YY当

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