【新课标II卷】2018年全国统一高考数学试题(理)(Word版,含答案解析)

【新课标II卷】2018年全国统一高考数学试题(理)(Word版,含答案解析)2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：1.已知$\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{43}{55}$，则$i$的值为（选项略）2.已知集合$A=\{(x,y)|x+y^2\leq3,x\inZ,y\inZ\}$，则$A$中元素的个数为（选项略）3.函数$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$的图像大致为（选项略）4.已知向量$a,b$满足$|a|=1,a\cdotb=-1$，则$a\cdot(2a-b)$的值为（选项略）5.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$3$，则其渐近线方程为（选项略）6.在$\triangleABC$中，$\cos\angleC=\frac{4}{5},BC=1,AC=5$，则$AB$的值为（选项略）7.为计算$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$，设计了右侧的程序框图，应在空白框中填入$i=i+1$。8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如$30=7+23$。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是$\frac{1}{12}$。9.在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=BC=1,AA_1=3$，则异面直线$AD_1$与$DB_1$所成角的余弦值为$\frac{5}{6}$。10.若$f(x)=\cosx-\sinx$在$[-a,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x)0，f(x)在(0,1)内可导，且f(0)f(1)1，证明：存在(0,1)，使得f’()f()．20．（12分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)0，f(1)1，f(x)在(0,1)内可导，证明：存在(0,1)，使得f’()1．21．（12分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)0，f(1)1，f(x)在(0,1)内可导，证明：存在(0,1)，使得f’()f()1．（二）选考题：共10分。22．（5分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)0，f(1)1，f(x)在(0,1)内可导，证明：存在(0,1)，使得f’()2．23．（5分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)0，f(1)1，f(x)在(0,1)内可导，证明：存在(0,1)，使得f’()2．模型②的拟合优度更高，R2=0.96，说明模型的拟合程度更好；同时，模型②考虑了地区经济发展水平的影响，更加全面和准确。19.(12分)（1）设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+2k.将y=kx+2k代入抛物线方程得4x=(kx+2k)2，化简得(k24)x24kx8k20.因为l与抛物线有两个交点，所以方程有两个实数解，即k24k0.解得k4或k0.因为k0，所以k4.所以l的方程为y=4x+8.（2）设圆的方程为(xa)2y2r2，则圆心坐标为(a,0)，且a满足(xa)24a16.将y=4x+8代入得(xa)216x4a64r2.因为圆与抛物线有唯一一个交点，所以方程组{(xa)216x4a64r2y4x8只有唯一解.将y=4x+8代入第一个方程，得(xa)216x4a6416(x2)，化简得(xa)216x4a160.因为方程有唯一解，所以16a640.解得a4.所以圆的方程为(x3)2y29.20.(12分)（1）设平面ABC的法向量为n，则n与PA，PB，PC都垂直，所以n为棱PA，PB，PC所在平面的法向量.因为ABBC，所以AC垂直于平面ABC，所以n与AC平行.又因为O为AC的中点，所以PO垂直于AC，即PO与n平行.所以PO平面ABC.（2）设PC与平面PAM的交点为D，则PC垂直于PD，所以PD为平面PAM的法向量.又因为二面角MPAC为30，所以PC与PA的夹角为60，即PC与平面PAM的夹角为60.所以sin(PC与平面PAM的夹角))=sin60=√3/2.21.(12分)（1）当a=1时，f(x)=5-|x+1|-|x-2|.当x≤-1时，f(x)=5-(x+1)-(2-x)=4-x≥4.当-1<x<2时，f(x)=5-(x+1)-(x-2)=6-2x≥1.当x≥2时，f(x)=5-(x+1)-(x-2)=2-x≥3.所以不等式f(x)≥的解集为x∈(-∞,-1]∪[2,+∞).（2）当f(x)≤1时，有5-|x+a|-|x-2|≤1.当x≤-a时，有5-(x+a)-(2-x)≤1，即x≥4-a.当-a<x<2时，有5-(x+a)-(x-2)≤1，即x≥3-a/2.当x≥2时，有5-(x+a)-(x-2)≤1，即x≤a/2+3.所以a/2+3≤2或4-a≤2或3-a/2≤2.解得a∈[-2,4/3].（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据并没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上方或下方。这说明利用这些数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。然而，2010年相对于2009年，环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近。这表明从2010年开始，环境基础设施投资额的变化规律呈现线性增长趋势。因此，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ŷ=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势。因此，利用模型②得到的预测值更可靠。（ⅱ）从计算结果可以看出，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低。而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理。这说明利用模型②得到的预测值更可靠。以上给出了两种理由，考生可以选择其中任意一种或其他合理理由来得分。（2）由题意得F(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)（k>0）。设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由y=k(x-1)y=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=2k2+4，即16k+16>0。因此，x1+x2=2k2/(4k2+4)。所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=2k/(4k2+4)=8，解得k=1。因此，直线l的方程为y=x-1。（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5。设所求圆的圆心坐标为(x,y)，则由y=-x+5x=3x=11解得(x-2)2+(y-3)2=16或(x-10)2+(y+6)2=144。（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC且OP=2√2。连接OB，因为AB=BC=2√2且OB⊥AC，OB=AC/2=2，所以△ABC为等腰直角三角形。由OP+OB=PB知PO⊥OB。由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC。如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。已知O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23)，取平面PAC的法向量为OB=(2,0,0)。设M(a,2-a,0)(0<a≤2)，则AM=(a,4-a,0)。设平面PAM的法向量为n=(x,y,z)。由AP·n=0,AM·n得到2y+23z=0,ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4),3a,-a)。所以cosOB,n=3/(2√23)。由已知得|cosOB,n|=3/(2√23)。解得a=3/2。所以n=(-3/2,9/2,-3/2)。又PC=(0,2,-23)，所以cosPC,n=3/(2√34)。所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3/(2√34)。（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x^2+1)e^-x-1≤0。设函数g(x)=(x^2+1)e^-x-1，则g'(x)=-(x^2-2x+1)e^-x=-(x-1)^2e^-x。当x≠1时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减。而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1。（2）设函数h(x)=1-ax^2e^-x。f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点。(i)当a≤1/2时，h(x)>0，h(x)没有零点；(ii)当a>1/2时，h'(x)=ax(x-2)e^-x。当x∈(0,2)时，h'(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h'(x)>0。所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增。故h(2)=1-2ae^-2是h(x)在[0,+∞)的最小值。①若h(2)>0，即a<1/(2e^2)，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=1/(2e^2)，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)<0，即a>1/(2e^2)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，又因为h(x)在(0,2)单调递减，故h(x)在(2,+∞)有一个零点。由(1)知，当x>4a时，e^(-x)>1，所以h(4a)=1-4ae^(-4a)<0，即h(x)在(0,+∞)有两个零点。综上所述，当a>1/(2e^2)时，f(x)在(0,+∞)有两个零点。2a2由题意可得：$$h(x)=\frac{(1-e^{e^{2a}x})}{x}$$令$h(x)=0$，得到：$$1-e^{e^{2a}x}=0$$解得：$$x=\frac{\ln(1)}{e^{2a}}=0$$或者：$$x=\frac{\ln(1)}{e^{2a}}+\frac{\ln(-1)}{e^{2a}}=\frac{(2n+1)\pii}{e^{2a}}$$因为$x$是实数，所以只有$x=0$是有效的解。所以$h(x)$在$(2,4a)$有一个零点，因此$h(x)$在$(0,+\infty)$有两个零点。2e根据题意，$f(x)$在$(0,+\infty)$只有一个零点时，$a=$。因为$f(x)$在$(0,+\infty)$只有一个零点，所以$f(x)$只有一个极小值点。令$f'(x)=0$，得到：$$e^{-x}-ae^{-2x}=0$$解得：$$x=\ln\frac{1}{a}$$因为$f(x)$只有一个极小值点，所以$f''(x)>0$，即：$$e^{-x}-2ae^{-2x}>0$$代入$x=\ln\frac{1}{a}$，得到：$$1-\frac{2}{a}>0$$解得：$$a<2$$所以$a=$。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）曲线$C$的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$。当$\cos\alpha\neq0$时，直线$l$的直角坐标方程为$y=\tan\alpha\cdotx+2-\tan\alpha$；当$\cos\alpha=0$时，直线$l$的直角坐标方程为$x=1$。将$l$的参数方程代入$C$的直角坐标方程，整理得关于$t$的方程：$$(1+3\cos^2\alpha)t^2+4(2\cos\alpha+\sin\alpha)t-8=0\qquad(1)$$因为曲线$C$截直线$l$所得线段的中点$(1,2)$在$C$内，所以$(1)$有两个解，设为$t_1$，$t_2$，则$t_1+t_2=-\frac{4(2\cos\alpha+\sin\alpha)}{1+3\cos^2\alpha}$。又由$(1)$得$t_1+t_2=-\frac{4(2\cos\alpha+\sin\alpha)}{1+3\cos^2\alpha}$，故$2\cos\alpha+\sin\alpha=-\frac{2}{3}$，于是直线$l$的斜率$k=\tan\alpha=-2$。23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）(1)当$a=1$时，$f(x)=\begin{cases}2x+4,\quadx\leq-1,\\2,\quad-1<x\leq2,\\-2x+6,\quadx>2.\end{cases}$可得$f(x)\geq-2$的解集为$\{x|-2\leqx\leq3\}$。(2)$f(x)\leq1$等价于$|x+a|+|x-2|\geq4$。当$x\leqa$时，$|x+a|=-(x+a)$，$|x-2|=2-x$，所以$-(x+