标题专业知识讲座

标题完全平方公式与平方差公式标题

完全平方公式第1页

完全平方公式

一块边长为a米正方形试验田，做一做图1a

因需要将其边长增加b

米.

形成四块试验田，以种植不一样新品种(如图1).

用不一样形式表达试验田总面积,并进行比较.abb法一直接求总面积=(a+b)；2法二间接求总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发觉了什么?摸索:

2公式:第2页

完全平方公式

动脑筋(1)你能用多项式乘法法则来说明它成立吗?想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)a2−2ab+b2.小颖写出了如下算式:(a−b)2=[a+(−b)]2

(a−b)2=

她是怎么想?利用两数和完全平方公式

推证公式

(a−b)2=[a+(−b)]2=

2

+

2

+

2

aa(−b)(−b)=a22ab−b2.+你能继续做下去吗?证明第3页(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.−2aba2+b2(a−b)2=a2−2ab+b2

初识完全平方公式aabba2ababb2构造特性:左边是平方;二项式右边是a2+b2(两数和)(差)(a+b)2=a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2a2+2ab+b2a+ba−b两数平方和+加上(减去)2ab这两数乘积两倍.(a−b)2=a2−2ab+b2几何解释:用自己语言论述上面公式语言表述:两数和平方

等于这两数平方和

加上这两数乘积两倍.22(差)(减去)第4页例题解析例题学一学

例利用完全平方公式计算：(1)

(2x−3)2

；(2)

(4x+5y)2;(3)(mn−a)2

使用完全平方公式与平方差公式使用同样,

注意

先把要计算式子与完全平方公式对照,明确个是a,哪个是

b.第一数2x4x22x平方,()2−减去2x第一数与第二数−2x3•乘积2倍,•2加上+第二数3平方.2=−12x+9

;

阅读

(2)(3)

.解：(1)

(2x−3)2

做题时要边念边写：

=3第5页随堂练习随堂练习(1)(x−2y)2

；

(2)(2xy+x)2

;计算：(3)

(n+1)2−n2.(4)9.92第6页纠错练习

指出下列各式中错误，并加以改正：(1)

(2a−1)2＝2a2−2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2+1；(3)(

a−1)2＝

a2−2a−1.解:(1)第一数被平方时,未添括号;第一数与第二数乘积2倍少乘了一种2;应改为:(2a−1)2＝(2a)2−2•2a•1+1;

(2)

少了第一数与第二数乘积2倍(丢了一项);应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1

+1;

(3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积2倍错了符号;第二数平方这一项错了符号;应改为:(

a−1)2＝(

a)2−2•(

a)•1+12;

第7页拓展练习

下列等式是否成立?说明理由．(1)(

4a+1)2=(1−4a)2；(2)(

4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(

1−4a)＝(4a−1)(4a+1).(1)

由加法交换律

4a+l＝l−4a.成立理由:(2)

∵

4a−1＝

(4a+1)，成立∴(

4a−1)2＝[

(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3)

∵(1−4a)＝−(

1+4a)不成立．即(1−4a)＝

(4a−1)＝

(4a−1)，∴(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[

(4a−1)]＝

(4a−1)(4a−1)＝

(4a−1)2.

不成立．(4)

右边应为:

(4a−1)(4a+1).第8页

平方差公式第9页平方差公式计算下列各题:做一做(1)(x+3)(x−3)；(2)(1+2a)(1−2a)；(3)(x+4y)(x−4y)；(4)(y+5z)(y−5z)；=x2−9;=1−4a2;=x2−16y2;=y2−25z2;

观测

&

发觉

观测以上算式及其运算成果，你发觉了什么规律？用自己语言论述你发觉.=x2−32;=12−(2a)2;=x2−(4y)2;=y2−(5z)2.(a+b)(a−b)=a2−b2.两数和与这两数差积,等于这两数平方差.用式子表达，即：第10页初识平方差公式(a+b)(a−b)=x2−b2

(1)

公式左边两个二项式必须是相同两数和与差相乘；且左边两括号内第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];(2)公式右边是这两个数平方差；即右边是左边括号内第一项平方

减去第二项平方.(3)

公式中a和b能够代表数，也能够是代数式．

特性构造｛第11页例题解析例题

学一学

例利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5−6x)；(2)(x+2y)(x−2y);(3)(−m+n)(−m−n).解:

(1)(5+6x)(5−6x)=55第一数a52平方−6x6x第二数b平方要用括号把这个数整个括起来，

注意

当“第一(二)数”是一分数或是数与字母乘积时,再平方;

()26x=25−

最后成果又要去掉括号.36x2;(2)(x+2y)(x−2y)=xxx2−()22y2y2y=x2

−4y2;(3)(−m+n)(−m−n)=−m−m−m()2−nnn2=n2

−n2.第12页随堂练习随堂练习(1)(a+2)(a−2)；(2)(3a

+2b)(3a−2b);计算：(3)(−x+1)(−x−1);(4)(−4k+3)(−4k−3).第13页纠错练习(1)

(1+2x)(1−2x)=1−2x2(2)(2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4(3)(3m+2n)(3m−2n)=3m2−2n2本题对公式直接利用，以加深对公式本质特性理解．

指出下列计算中错误：

2x2x2x第二数被平方时，未添括号.2a22a22a第一数被平方时，未添括号.3m3m3m2n2n2n第一数与第二数被平方时，都未添括号.第14页拓展练习本题是公式变式训练，以加深对公式本质特性理解．

利用平方差公式计算：(

4a

1)(4a

1)．

(用两种办法)

利用平方差公式时，要紧扣公式特性，找出相等“项”和符号相反“项”，然后应用公式．法一

利用加法交换律，变成公式标准形式.

(

4a−1)(4a−1)==(

1)2−(4a)2=1−16a2.法二

提取两“−”号中“−”号，

变成公式标准形式.

(

4a−1)(4a−1)=

(4a+1)

(

4a−1)(4a−1)=(4a)2−1−

计算时千万别忘了你提出“

”号、添括号；

注意

[]=1−16a2.(

4a−1)(4a−1)−1−4a−1+4a(4a+1)(4a−1)第15页拓展练习(1)

(a+b)(

a−b)