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文档简介

#——文章来源网，仅供分享学习参考两个重要极限的证明两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限教学目的：1使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；教学重点：利用两个重要极限求极限教学过程：一、讲授新课：准则I如果数列满足下列条件：对那么，数列的极限存在，且。证明：因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有：，即，所以。准则I如果函数满足下列条件：当时，有。当时，有。那么当时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：作为准则I的应用，下面将证明第一个重要极限：。证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，（因为，所以上不等式不改变方向）当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切，有。又因为，所以而，证毕。【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。准则n：单调有界数列必有极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。准则n/：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则n〃单调下降，且有下界的数列必有极限。注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。2准则n,n,,n〃可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。第二个重要极限：作为准则n的一个应用，下面来证明极限是不存在的。先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，即：现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。又令，所以，即对，又对所以｛是｝有界的。由准则n或n,知存在，并使用来表示，即注：1关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。3：指数函数及自然对数中

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