立体几何初部能力提升自测题(含解析)2228

立体几何初部能力提升自测题（含解析）本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．ABCD的棱长为1，则四棱锥A．B．C．D．线段的对数为（）A．2B．3C．4D．5的中点，点M，N分别是线段DE与CF上的点，则与平面1D．无数条4．如图，已知正三棱柱ABC﹣ABC的底面边长为1cm，高为1115cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A．12B．13C．D．155．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABCPABC四个顶点都在球O的面球上，则球O的表面积为（）12π20π24π32πD．ABCAC4PAAB2为鳖臑，平面，PA，，三棱锥的A．B．C．6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，组合体体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知的球半径为R，圆柱1V12V2A.1B.2C.3D.45的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为（）A．16πB．8πC．1111AB＝4，当阳马B﹣AACC体积最大时，则堑堵ABC﹣ABC11111的体积为（）A．B．16C．16D．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项2分，有选错中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得的得0分．9．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，下列四个命题中）A.若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；B.若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；C.若l∥α，且m∥α，则l∥m；D.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．10.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE11．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是()2，45，．将沿6B.点到平面的距离为EAMC3EM//平面D.四面体的外接球表面积为ABCEACD5三、填空题（本大题共4小题，共20分）,m,n13．已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且，m//n则“”是“”的条件．14.如图，一个圆台形水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要毫升油漆花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗了美化花盆的外观.需要涂油漆.（取3.14，精确到1cm2)15.如图所示的正方体的棱长为，a1ABCDABCD111则三棱锥的高=．AABD11116.阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球(指与圆柱的两个底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比，可证明该定理推广到圆锥也成立，即：圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥的体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为.之比等于它们的表面积四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步3骤17．（10分）如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别ι是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝．ι（1）求证：∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．PABCPAPC18．（12分）如图，在三棱锥中，，AB=PB，E,F分别是，的中点．求证：（1）∥平面；PBCEFPAAC（2）平面⊥平面．BEFPAB19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，E为PC中点，平面EBD平△PBD面ABCD．（Ⅰ）求证：PA平面ABCD；（Ⅱ）若AB2，求三棱锥PBED的体积．20.（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣ABC中，点D为AC111的中点，点D是AC中点111（1）求证：BC∥平面ABD111（2）求证：平面ABD∥平面CBD．11121．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．422.（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．1.A【解析】如图，∵正方体ABCD﹣ABCD的棱长为1，∴三棱11114.C【解析】如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短：AA故选C．cm．15．B【解析】将三棱锥放入长方体中，如PABC5(2R)2441220，故5，则球R22R2334R332R3237.A【解析】母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图8π，由弧长＝底面周长，即8π＝2πr，r＝4，所以圆锥Vπ×r2×hπ×42×3＝16π．故的高为h3，所以圆锥体积选A．8.B【解析】设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2＝16，阳马B﹣AACC11体积V4x×yxy，∵xy8，当且仅当x＝y＝2时，取等号，∴当阳马B﹣AACC体积最大时，AC＝BC，此时堑11堵ABC﹣ABC的体积V＝S•AA116，故选：111ABCB．二、多项选择题：9.AB【解析】对于A：根据线面平行的性质知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确，故A正确；对于B：根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n正确，故B正确；对于C：若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面，故C错误；D若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故D错误，故正确的是AB,故选AB．10.BCD【解析】还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A6不正确；由EHBC，可得CH∥BE，故选项B正确；正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG∥AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．故选BCD．11．ABC【解析】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A中结论不正确；过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥PBC，又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B中结论不正确；若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C中结论不正确；因为底面是正六边形，所以∠ABC=∠BCD=1200，AB=BC,所以∠BCA=300，所以∠ACD=900，所以DC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DC，又AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC，所以D中结论正确．故选ABC．BAD12.BD【解析】因为，45，所以为等腰直角三角形，过ADEDEABC做CFAB，交AB于F，如图所示：所以≌BCF，ADEDC1即AE=BF，又，，所以AB3AEEFFBDECF1，则=2，对于A：ADBC因为，，平面BCDE，所以平面BCDE，平BCAEEBAEDEBEDE,AE⊥面BCDE，所以，AEBCBCAD若，且AE,AD平面ADE，则BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE.与已知矛盾，所以BC与AD不Rt△DEC垂直，故A错误；对于B：连接MC，如图所示，在中，DE=DC=1，所以EC2，又BC=2，EB=2，所以ECBC2EB2，所以，ECBC2又因为，AE,EC平面AEC，所以平面AEC，平面AEC，BCAEBCAC⊥BCACAE1,EC2所以，即ABC为直角三角形，在中，RtAEC，AC3所以，因为M是AB的中点，所以AMC的面积为RtABC面积的116DEAE,DEEB一半，所以SAMC32，因为，所以DE224VEAMCVAMC即为两平行线CD、EB间的距离，因为CAEM，设点E到平面的1116111h距离为1h，则SDE1S，所以32h，即3433AMEAMC663h3//AMCEBDCC：因为，，所以点E到平面的距离为，故B正确；对于EB平面ADC，DC平面ADC，所以EM//EB//平面ADC，若平面ACD，且EBEME,EB,EM平面AEB，所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故//C错误.对于D：因为ECBC，所以△BCE的外接圆圆心为EB的中点，又因为AEEB，所以△ABE的外接圆圆心为AB的中点M，根据球的几何性质可△ABCE得：四面体的外接球心为M，又E为球上一点，在ABE中，EM1AB55RME22，所以外接球半径,所以四面体的外接球2ABCEs4R25，故D正确.故选BD表面积三、填空题（本大题共4小题，共20分），则由，可知，又，故m//n13.必要不充分条件【解析】若mnnm，n位置关系不确定.所以“”是m,n，若，，则m//n”的必要不充分条件.“14.1000【解析】由圆台的表面积公式得花盆的表面积：15215201.5S()21515()21000(cm2)0.1(m2)涂100个花盆需要油222,漆：0.1×100×100=1000（毫升）.答案：1000．315.a【解析】设三棱锥AABD的高为，则h311113h2a3a2h11a632V．又VABDaa2，所以V34632AABDAAD111A1B111113a2ha333，所以a，所以三棱锥AABD的高为．ha366311116.1/2【解析】如图为圆锥及其内切球的正视图，不失一般性，设圆锥底面圆1，母线长为L，内切球半径为半径为R，由8L12R2，相似关系，SORL,R1L经整理得：R2LL11，故内切球表面积为L1，S4R24L11圆锥的表面积为1,SL2L1224L1S1S24414L18224L1L1.当且仅当L=3时取等.70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步四、解答题：本题共6小题，共骤17.【解析】（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD．ιAD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝，ι所以BC∥（6分）（2）平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N是PC的中点，E是PD的中点∴NE∥CD，且NE，∵CD∥AB，M是AB的中点∴NE∥AM且NE＝AM．所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE．又MN⊄PAD，AE⊂平面10分）平面PAD，所以MN∥平面PAD．（APCE,F18.【解析】证明：⑴在中，因为分别是PA,AC的中点，所以∥，又⊂平面，平面，所以∥平面；PCPCPACEFPACPBCEFEFEF⑵因为，且点E是PA的中点，所以⊥；又，∥，PCPABEPAPCABPB所以，为平面，平面，，平BEFBEEFEPA⊂PAEFBE⊂BEFEF⊂面，所以平面⊥平面BEF.PABPAB19.【解析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接PO、EO，因为为等边三角形，所以POBD，△PBD因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，因为，所以平面PAC，ACPOOBD所以BDOE，因为平面EBD平面ABCD，所以EO平面ABCD，因为E为PC中点，所以PA∥OE，则PA平面9（Ⅱ）因为AB2，所以BD22，PD22，2，14所以VSPA222，33PABD所以VV．22223PABD20.【解析】证明：（1）连结AB，交AB于O，连结OD，1∵在三棱柱ABC﹣ABC中，点D为AC的中点，点D1111是AC中点，∴OD∥BC，1111∵OD⊂平面ABD，BC⊄平面ABD，∴BC∥平面ABD．111111111（2）∵在三棱柱ABC﹣ABC中，点D为AC的中点，点D是AC中点，111111∴BD∥BD，∵BD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，11111111∴BD∥平面ABD，11又BC∥平面ABD，BD∩BC＝B，1111BD、BC⊂平面CBD，11∴平面ABD∥平面CBD．11121.【解析】证明：（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE．∵F为AC的中点，∴GF∥DC，且