人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2第1课时函数的极值 同步练习(含解析)

第第页人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2第1课时函数的极值同步练习(含解析)5.3.2函数的极值与最大(小)值

第1课时函数的极值

基础过关练

题组一函数极值的概念及其求解

1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)()

A.无极大值点,有四个极小值点

B.有三个极大值点,两个极小值点

C.有两个极大值点,两个极小值点

D.有四个极大值点,无极小值点

3.(2023天津高二上期末)已知函数f(x)=lnx-x2,则f(x)()

A.有极小值,无极大值

B.无极小值,有极大值

C.既有极小值,又有极大值

D.既无极小值,又无极大值

4.函数f(x)=x+2cosx在上的极大值点为()

A.0B.C.D.

5.求下列函数的极值.

(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;

(2)f(x)=-2;

(3)f(x)=x2-2lnx.

题组二含参函数的极值问题

6.(2023海南海口高二上期末)已知f(x)=lnx+(a≠0),则()

A.当a0时,f(x)存在极小值f(a)

D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)

7.(2023浙江湖州高二上期末)若函数y=ex-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是()

A.mD.00,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

12.(2023云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·ex,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是()

A.4e-2B.4e2C.e-2D.e2

13.(2023辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+k+(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为()

A.B.3C.D.2

14.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则=.

15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).

(1)求a,b的值;

(2)求x0及函数f(x)的表达式.

16.(2023山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.

(1)求a,b的值;

(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.

深度解析

17.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.

能力提升练

题组一函数极值的求解及其应用

1.(2023湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.()已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为()

A.0B.-C.-D.1

3.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是()

A.f(x)在(-3,1)上是增函数

B.f(x)在(1,3)上是减函数

C.f(x)在(1,2)上是增函数

D.当x=4时,f(x)取得极小值

4.(2023北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=-alnx.

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值;

(2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.

题组二含参函数的极值问题

5.(2023福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=()

A.0B.1

C.2D.4

6.(2023浙江杭州高三检测,)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2lnx()

A.有极大值,无极小值

B.有极小值,无极大值

C.既有极大值,又有极小值

D.既无极大值,又无极小值

7.(2023湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=恰有三个极值点,则m的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

8.(2023河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=+x2的极值点,则实数a的值为.易错

9.(2023北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=ex(ax2+1)(a>0).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.

10.(2023江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=x2-ax+lnx(a∈R).

(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;

(2)设a0时,f(x)=(x-2e)lnx.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)

A.(-e,e)B.[-e,e]

C.(-1,1)D.[-1,1]

13.(2023山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=上两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=ax2-ax-lnx的两个极值点,则直线AB与椭圆+y2=1的位置关系是()

A.相离B.相切

C.相交D.不确定

14.(多选)()已知函数f(x)=xlnx+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是()

A.0

C.f(x0)+2x00

15.(多选)()已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R),则下列说法正确的是()

A.若a≤0,则函数f(x)没有极值

B.若a>0,则函数f(x)有极值

C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是

D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪

16.(2023山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=lnx-x+2sinx,f'(x)为f(x)的导函数.求证:

(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;

(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.

答案全解全析

基础过关练

1.B由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x0,则f'(x0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.

2.C设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值,故选C.

3.B由题可得,f'(x)=-x=(x>0),

当x>1时,f'(x)0,

所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.

故选B.

4.B由题意得,f'(x)=1-2sinx,

令f'(x)=0,得x=,

当00;

当0,

∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.

6.C由题意得,f'(x)=-=,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).

当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,

令f'(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.

7.B由y=ex-2mx,得y'=ex-2m.由题意知ex-2m=0有小于零的实根,即ex=2m,得m=ex.∵x0),

所以g'(x)=-ax+(1-a)

=(x>0),

当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.

当a>0时,g'(x)=,

令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去),

所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)0时,函数g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是,

所以当x=时,g(x)有极大值g=-lna,

综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;

当a>0时,函数g(x)有极大值-lna,无极小值.

11.Df'(x)=12x2-2ax-2b,

∵f(x)在x=1处有极值,

∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.

又a>0,b>0,∴a+b≥2,∴2≤6,

∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,

∴ab的最大值为9.

12.A因为函数f(x)=(x2-m)ex,所以f'(x)=ex(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=ex(x2+2x)=ex(x+2)x,因为ex>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e-2.故选A.

13.A由于等差数列前n项和公式中,常数项为0,所以k+=0,所以k=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1)和上单调递增,在上单调递减,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=.故选A.

14.答案1

解析由题意得,m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,

由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,

由

解得

∵f'(0)=p=-6m,f'(1)=p=-6m,

∴=1.

15.解析(1)由题意可得f'(x)=3x2+2ax+b.

∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),

∴解得

(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x,

令f'(x)>0,得x>2或x2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

当10;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)0,当x10,当x30,所以x3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.

2.A由题知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,

联立解得

∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.

令f'(x)=3x2-4x+1=0,

解得x=1或x=,

经检验知x=1是函数f(x)的极小值点,

∴f(x)极小值=f(1)=0.

3.CDf'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B错误;由题图可知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C正确;当x∈(2,4)时,f'(x)0,所以当x=4时,f(x)取得极小值,因此D正确.故选CD.

4.解析(1)因为f(x)=-alnx,

所以f'(x)=-(x>0),

所以f'(1)=-a.

因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以-a=,解得a=0.

(2)f'(x)=-=.

①当2a≤1,即a≤时,f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,

所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,

所以y=f(x)在[1,4]上无极值;

②当2a≥2,即a≥1时,f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,

所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,

所以y=f(x)在[1,4]上无极值;

③当10),令f'(x)=0,得x=a或2lnx+1-=0.作出g(x)=2lnx+1和h(x)=的图象(图略),

易知g(x)=2lnx+1和h(x)=的图象有交点,所以方程2lnx+1-=0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2lnx既有极大值又有极小值,故选C.

7.A由题可知f'(x)=

当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=,

令g(x)=,则g'(x)=,

则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示,

所以当01时,f'(x)>0.

因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.

易错警示已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.

9.解析(1)由已知得f'(x)=ex(ax2+2ax+1),因为f(0)=1,f'(0)=1,

所以所求切线的方程为y=x+1.

(2)证明:f'(x)=ex(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,则Δ=4a2-4a.

(i)当Δ≤0,即0所以函数f(x)在R上是单调递增函数,此时函数f(x)在R上无极小值.

(ii)当Δ>0,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x10,a∈R).

①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a≤x+在(0,+∞)上恒成立,又x+∈[2,+∞),所以a≤2.

②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a≥x+在(0,+∞)上恒成立,又x+∈[2,+∞),所以a∈.

因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a∈(2,+∞).

(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2.

又a0,当-0时,f'(x)=lnx+1-,f″(x)=+>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.

f(x)的大致图象如图所示.

由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m∈(-e,e),故选A.

解题模板利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.

13.C由f(x)=ax2-ax-lnx,

得f'(x)=ax-a-=,

因为A,B的横坐标x1、x2是函数f(x)=ax2-ax-lnx的两个极值点,

所以x1、x2是方程ax2-ax-1=0的两根,

因此

又点A,B为曲线y=上两个不同的点,所以kAB==-=a,

因此直线AB的方程为y-=a(x-x1),

即y=ax-ax1+=ax-ax1-ax2

=ax-a(x1+x2)=ax-a=a(x-1),

即直线AB恒过定点(1,0),

显然点(1,0)在椭圆+y2=1内,因此直线AB与椭圆+y2=1必相交.故选C.

14.AD∵函数f(x)=xlnx+x2(x>0),

∴f'(x)=lnx+1+2x,

易得f'(x)=lnx+1+2x在(0,+∞)上单调递增,f'=>0,

∵当x→0时,f'