函数的基本性质(整理)

卓越个性化教案PAGEPAGE2卓越个性化教案学生姓名年级授课时间教师姓名王润梅课时2h课题函数的基本性质（复习用）教学目标了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法；理解函数最大值、最小值的概念；能利用函数的单调性分析解决某些问题（如比较大小，求函数的最值等）；理解奇函数偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；能利用函数的奇偶性和单调性分析、解决比较简单的问题；学会运用函数图像理解和研究函数的性质。【知识点梳理】函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。2、单调性的判定方法（1）定义法eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；eq\o\ac(○,5)下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正）（4）在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。二、函数的奇偶性1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。补充说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：①其定义域关于原点对称；②或必有一成立。判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。③无奇偶性的函数是非奇非偶函数。④函数既是奇函数也是偶函数。⑤奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。⑥奇函数若在时有定义，则．2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质法三、函数的最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例7．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____。例8．已知是奇函数，当∈（0，1）时，，那么当∈（－1，0）时，的表达式是．例9．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，满足，试求a的取值范围例10．（普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。三、周期性例11．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式。补充：函数的性质综合题（单调性、奇偶性和周期性）1．已知（其中）（1）求f(x)的定义域（2）判断f(x)的奇偶性（3）函数f(x)的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由。2．已知函数（1）求证函数在上单调递减；（2）函数在上单调性如何？试结合（1）进行分析；（3）利用（1）、（2）的结论，试求出函数在上的最小值。3．已知函数在R上是增函数，且对任意的x,y都满足（1）求f(1),f(4)的值；（2）若，求x的取值范围。4.已知函数是奇函数（1）求实数k的值；（2）判断f(x)在上的单调性，并给予证明；（3）当为何值时，关于方程上有实数解？5．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量x(吨)之间的函数关系式近似的表示为（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润；（2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本。（参考：函数）6．（番实高一级期中考试）设函数是定义域为R的奇函数（1）求k值；（2）若0<a<1，指出函数的单调性，并求使不等式恒成立的实数t满足的条件；（3）若，上的最小值为-2，求m的值。7.函数是定义在（-1,1）上的奇函数，且（1）求f(x)的解析式；（2）证明函数；（3）解不等式：【巩固练习】一、选择题1.下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是A.y=x+1B.2．在区间上为增函数的是 （） A． B． C． D．3．函数是单调函数时，的取值范围 （） A． B． C． D．4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，则下列各点中，不在函数y=f（x）图象上的点是（）A.（-a，f（a）） B.（-a，f（-a）） C.（-a，-f（-a）） D.（a，f（-a））5．若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且最小值为1，则f（x）在[-b，-a]上是（）6．设为偶函数，则f（x）在区间（-5，-2）上是（）A.增函数 B.减函数 C.不具有单调性 D.单调性由m确定7．已知R上的奇函数（）A.B.二、填空题8．以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________9.已知函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，，则当x<0时，f(x)=10．定义在[-1，1]上的函数y=f（x）是减函数，且是奇函数，若，则实数a的取值范围是_______。11．已知是奇函数，则常数a=_________。12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：,且在区间[-1,0]上是增函数下列关于f(x)的判断，正确的有①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x=1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)=f(0)三、解答题13．若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，它们有相同的定义域，且，求f（x），g（x）的表达式。14．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。15．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。16.定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）