(完整版)二次根式专题练习(含答案)

(完整版)二次根式专题练习(含答案)初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）。A.x＜1B.x≤1C.x＞1D.x≥12.若1＜x＜2，则√（x-1）的值为（）。A.2x-4B.-2C.4-2xD.2-x3.下列计算正确的是（）。A.√（2x+1）+√（2x-1）=2√（2x）B.√（2x+1）+√（2x-1）=2√（4x）C.√（2x+1）+√（2x-1）=4√（2x）D.√（2x+1）+√（2x-1）=2√（2x+1）√（2x-1）4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+|b|的结果是（）。A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b-2a5.化简√（2+√3）+√（2-√3）的结果是（）。A.√6B.2C.-2D.2√3二．填空题9.要使代数式√（x-1）-√（1-x）有意义，则x的取值范围是（）。10.在数轴上表示实数a的点如图所示，化简|a-2|+|a+2|的结果为（）。11.计算：（√3-1）（√3+1）+（√5-√2）（√5+√2）。12.化简：√（18+8√5）-√（18-8√5）。13.计算：（√6+√2）（√6-√2）+（√5-2）（√5+2）。三．解答题18.化简√（3+2√2）+√（3-2√2）。19.计算：（3-√2）（3+√2）-（√3-1）（√3+1）。20.先化简，再求值：（√7+√5）²-（√7-√5）²。21.计算：（√6+√2）²-（√6-√2）²。22.计算：√（5+2√6）+√（7-2√6）。23.计算：（√2-√3）（√2+√3）+（√2-1）（√2+1）+（√3-2）（√3+2）。24.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：|a-b|+|b-a-4|。25.请说明一个数的绝对值分为哪三种情况，并举例说明。【点评】此部分共有5道填空题，主要考查了二次根式的化简、二次根式的加减、完全平方公式等知识点，需要考生熟练掌握相关的数学知识和技巧，才能正确解答出题目。在做题时，需要注意化简过程中的细节问题，避免出现计算错误。1.已知$a>b>0$，则$\sqrt{a^2-b^2}=$__________。【解析】根据完全平方公式，$\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(a+b)(a-b)}$。因为$a>b>0$，所以$a+b>a-b>0$，即$\sqrt{(a+b)(a-b)}=a+b$。因此，$\sqrt{a^2-b^2}=a+b$。答案：$a+b$2.化简$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$。【解析】设$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=x$，则$\sqrt{2+\sqrt{2+x}}=x$。两边平方得$2+\sqrt{2+x}=x^2$，移项得$\sqrt{2+x}=x^2-2$。再次平方得$2+x=x^4-4x^2+4$，化简得$x^4-4x^2-x+2=0$。观察方程式，发现$x=2$是一个解，因此可以进行因式分解，得$(x-2)(x^3+2x^2-4x-1)=0$。根据有理根定理，可知$x=2-\sqrt{3}$是方程的另一个实数解。因此，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2-\sqrt{3}$。答案：$2-\sqrt{3}$3.化简$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$。【解析】设$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=a+b\sqrt{6}$，其中$a,b$是有理数。平方得$5+2\sqrt{6}=(a^2+6b^2)+2ab\sqrt{6}$，因此$a^2+6b^2=5$，$2ab\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，即$ab=1$。解得$a=1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}$。因此，$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=1+\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6}=1+\sqrt{6}$。答案：$1+\sqrt{6}$4.化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$。【解析】设$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=a-b\sqrt{6}$，其中$a,b$是有理数。平方得$5-2\sqrt{6}=(a^2+6b^2)-2ab\sqrt{6}$，因此$a^2+6b^2=5$，$2ab\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，即$ab=1$。解得$a=1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}$。因此，$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=1-\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6}=1-\sqrt{6}$。答案：$1-\sqrt{6}$5.化简$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$。【解析】设$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}=x$，则$\sqrt{2-\sqrt{2+x}}=x^2-2$。两边平方得$2-\sqrt{2+x}=(x^2-2)^2$，移项得$\sqrt{2+x}=(x^2-2)^4-2$。再次平方得$2+x=(x^4-4x^2+4)^2-2$，化简得$x^8-8x^6+20x^4-16x^2-x=0$。观察方程式，发现$x=1$是一个解，因此可以进行因式分解，得$(x-1)(x^7+x^6-7x^5-5x^4+15x^3+11x^2-11x-1)=0$。根据有理根定理，可知$x=\sqrt{2}-1$是方程的另一个实数解。因此，$\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1$。答案：$\sqrt{2}-1$2-1，a2=-1，a3=-2，a4=2-2，可以发现，第n个等式的符号和前面的等式相同，而数值为2的n-1次方减去1，因此第n个等式为an=2的n-1次方减去1。（2）根据等差数列求和公式可得，a1+a2+a3+…+an=n/2（a1+an），由于a1=2-1，an=2的n-1次方减去1，代入公式得a1+a2+a3+…+an=n/2（1-2的n-1次方）。【点评】本题考查了等比数列和等差数列的知识，需要学生掌握这些知识点，并能够灵活运用。在解题过程中，需要注意观察题目中给出的规律，找到规律后再根据相应的公式进行计算。然后进行加减运算。根据平方差公式和零指数幂的意义，原式可以化简为3-1+2=1+2-1。答案为-1。如图，实数a、b在数轴上的位置，化简表达式√(|a|-|b|-[-(a-b)])。由数轴可知a<b，所以a-b<0。因此，√(|a|-|b|-[-(a-b)])=√(-a)-b+a-b=-2b。根据绝对值的定义，当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。同样地，对于二次根式，我们也可以进行分类讨论。当a>0时，√a可以直接化简为a的形式；当a=0时，√a=0；当a<0时，√a可以化简为-a的形式。因此，对于表达式√(a^2-4b^2)，当a>2b时，可以化简为a+2b；当a=2b时，可以化简为a；当a<2b时，可以化简为2b-a。已知a=√2+√3，b=√3-√2，求表达式a^3+b^3的值。首先，我们可以求出a+b=2√3和ab=1。然后，将a^3+b^3表示为(a+b)(a^2-ab+b^2)的形式，代入已知的a+b和ab的值，即可得到a^3+b^3=18。一样的式子，我们可以使用分母有理化来简化它。还有其他的方法可以简化：----(1)请使用不同的方法简化。(2)根据(三)式和(四)式，得到(3)简化:【分析】(1)观察可得，分母有理化有两种方法：1.同乘分母的有理化因式；2.因式分解达到约分的目的。(2)注意观察分母的特点：两个被开方数相差为2，分母有理化后，分母都是2，分子可以抵消。【解答】解：(1)==(2)原式=+...+==+...+【点评】要学会分母有理化的两种方法。28.化简求值：【分析】通过a=2+的方法得到原式==，b=2﹣，其中．，得到a+b=4，ab=1，且a＞，b＞，再把