2022-2023学年安徽省宿州市砀山多校八年级下期末数学试卷(含解析)

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是()

A.B.C.D.

2.如图，在的正方形网格中，，是两个格点，连接，在网格中找到一个格点，使得是以为腰的等腰三角形，满足条件的格点的个数是()

A.

B.

C.

D.

3.若成立，则下列不等式一定成立的是()

A.B.C.D.

4.如图，平分，点为上一点，交于点若，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

5.如图，以点为旋转中心，旋转后得到，是的中位线，经旋转后为线段已知，则等于()

A.B.C.D.

6.小慧与小秀去距学校千米的博物馆参观，小慧骑自行车先走，过了分钟后，小秀乘汽车出发，结果她们同时到达，已知汽车的速度是骑车速度的倍．设骑车的速度为千米小时，则所列方程正确的是()

A.B.C.D.

7.如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，点与对应，且，则旋转角的度数为()

A.B.C.D.

8.下列各式中，与分式的和为是()

A.B.C.D.

9.在中，，，的对应边分别是，，，下列条件中不能确定是直角三角形的是()

A.B.：：：：

C.D.：：：：

10.如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：；；：其中成立的有()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.不等式组的解集是______．

13.如图，四边形中，，，连接，于点，，，，则的长为______．

14.不等式组的解集是则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

分解因式：

；

．

16.本小题分

在平面直角坐标系中，将、、、用线段依次连接起来形成一个图案图案请按要求对图案作如下变换：

将图案绕点逆时针旋转得到图案；

以点为位似中心，位似比为：将图案在位似中心的异侧进行放大得到图案，并写出变换后点对应点的坐标为______．

17.本小题分

如图，在平行四边形中，是上的等分点，交于点．

求的值；

求与的周长的比和面积的比．

18.本小题分

解方程：；

解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

19.本小题分

如图，在中，是边上的中线，是边上的高线，于，．

求证：；

已知，，求的面积．

20.本小题分

“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．

例：如图，可得等式：；

例：由图，可得等式：．

如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；

利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值．

如图，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为设，若的值与无关，求与之间的数量关系．

21.本小题分

月日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进，两种新书进行销售，已知每本种图书的进价比种图书贵元，用元购进种图书的数量和用元购进种图书的数量相同．

求，两种图书每本的进价．

已知种图书的售价为每本元，种图书的售价为每本元，该书店决定购进这两种图书共本，且用于购买这本图书的资金不超过元，若，两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？

22.本小题分

某旅游景点的年游客量万人与门票价格元之间的函数关系如图所示且相关部门规定：门票价格不得高于元，也不得低于元．

请直接写出与的函数解析式；

经过景点工作人员统计发现，每卖出一张门票所需成本为元．

要想获得万元年利润，该年的门票价格应该定为多少元？

票价定为多少元能使年利润最大，最大的年利润是多少万元？

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，过点作于点，点为轴上一动点，连结，，以，为边作．

当时，直接写出的长用含的代数式表示；

当时，是否存在点，使的顶点恰好落在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

点在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得为矩形，请求出所有满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是：．

故选：．

直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．

2.【答案】

【解析】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．

故选：．

根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数．

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

3.【答案】

【解析】解：、两边都乘以，不等号的方向改变，故A错误；

B、两边都乘以，不等号的方向不变，故B错误；

C、两边都除以，不等号的方向不变，故C正确；

D、两边都乘以，不等号的方向改变，故D错误；

故选：．

根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．

此题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

4.【答案】

【解析】解：，，

，

平分，

，

，

．

故选：．

根据两直线平行，同位角相等可求的度数，再根据角平分线的定义可求的度数，依此即可求解．

考查了角平分线的定义，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等的知识点．

5.【答案】

【解析】解：以点为旋转中心，旋转后得到，是的中位线，经旋转后为线段

，

．

故选：．

先根据旋转的性质可得，再根据三角形的中位线定理求解即可．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形中位线性质．

6.【答案】

【解析】解：设骑车的速度为千米小时，则汽车的速度是千米小时，

由题意可得，，

故选：．

根据小慧与小秀去距学校千米的博物馆参观，小慧骑自行车先走，过了分钟后，小秀乘汽车出发，结果她们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

7.【答案】

【解析】解：，

，

在平面内绕点逆时针旋转到的位置，

，等于旋转角，

，

，

，

旋转角的度数为．

故选：．

先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形得的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．

8.【答案】

【解析】解：，

故选：．

根据同分母分式的运算法则计算即可．

本题考查分式的运算，解题关键是掌握同分母分式的运算法则．

9.【答案】

【解析】解：，

，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.：：：：，

：：：：，

即，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.，

，

，

，

，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.：：：：，，

最大角，

不是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：．

根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出的度数即可判断选项C，根据三角形内角和定理求出的度数即可判断选项D．

本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．

10.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，

平分，

是等边三角形，

，

，

，

，

，故正确；

，

，故正确，

，，

，

，故错误；

，，，

，

，

，

，

，故正确．

故选：．

由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；可得是三角形的中位线，证得．

此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．

11.【答案】

【解析】解：依题意得：，

解得．

故答案为：．

本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．

分式有意义时，分母，据此求得的取值范围．

12.【答案】

【解析】解：，

由得：，

由得：，

不等式组的解集为：，

故答案为．

首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．

此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

13.【答案】

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，

，，

，

，

，

，，

，

，

，，是等腰直角三角形，

设，则：

，，

，，

，

，，

，

，

在和中，

，

，

∽，

，即：

，

解得：或舍去，

，

故答案为：．

通过作辅助线，利用角得到等腰直角三角形，再利用相似三角形对应边成比例即可求解．

本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造等腰直角三角形表示出相关的量．

14.【答案】

【解析】解：由，得：，

由且不等式组的解集为，知，

解得，

故答案为：．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

15.【答案】解：

；

．

【解析】利用平方差公式分解即可；

先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．

本题考查了因式分解运用公式法，一定要注意把多项式的每一项分解到不能再分解为止．

16.【答案】

【解析】解：

分；

对应点的坐标为分

以点为旋转中心，把逆时针旋转得到点的对应点，同法得到其余点的对应点，顺次连接即为旋转得到的图形；

延长到一点，使这点到的距离，得到的对应点，同法得到其余点的对应点，顺次连接即为所求图形，根据所在象限及距离坐标轴的距离可得变换后点对应点的坐标．

旋转变换的关键是根据旋转中心，旋转方向及旋转角度得到对应点的位置；位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．

17.【答案】解：在平行四边形中，是上的等分点，

，，，

∽，

；

，

与的周长的比为：：，则面积的比为：：．

【解析】利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出∽，进而求出答案；

利用相似三角形的性质求出即可．

此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．

18.【答案】解：去分母得：，

，

解得：，

检验：当时，，

是原方程的根；

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式组的解集为：，

在数轴上表示不等式组的解集如图所示：

．

【解析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；

按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，并把其解集表示在数轴上，即可解答．

本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】证明：，

，

点是的中点，

，

，，

是的垂直平分线，

，

；

解：由可得：，，

，

，

在中，，

的面积，

点是的中点，

的面积的面积，

的面积为．

【解析】根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等量代换即可解答；

利用的结论可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出，从而求出的面积，最后根据点是的中点，可得的面积的面积，进行计算即可解答．

本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：正方形面积为，小块四边形面积总和为

由面积相等可得：，

故答案为：．

由可知，

，；

，

．

由题意知，，，，，

，

，

即，

又为定值，

，即．

正方形面积为，小块四边形面积总和为，由面积相等即可求解；

根据中的结论，将式子的值代入计算即可求解；

，，，，根据，即可求解．

本题主要考查多项式乘多项式，掌握整式混合运算法则是解题的关键．

21.【答案】解：设种图书价格为元，则种图书价格为元，

由题意得：，

解得：，

检验：当时，，

是原分式方程的解，

，

种图书的价格是元，种图书的价格是元；

设购进种图书本，该书店获利元，则购进种图书本，

用于购买这本图书的资金不超过元，

，

解得，

根据题意得：，

，

随的增大而增大，

当时，取最大值，最大值为，

此时，

购进种图书本，购进种图书本，才能获利最大，最大利润是元．

【解析】设种图书价格为元，可得：，解方程并检验可得答案；

设购进种图书本，该书店获利元，由用于购买这本图书的资金不超过元，知，，而，由一次函数性质可得答案．

本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程，不等式和函数关系式．

22.【答案】解：由题意可得，，

当时，

，

，

，

解得：，，

，

应舍去，故，

当时，

，

解得舍去，

答：该年的门票价格应该定为