2022-2023学年山东省德州市天衢新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列根式中是最简二次根式的是()

A.B.C.D.

2.已知如图：为估计池塘的宽度，在池塘的一侧取一点，再分别取、的中点、，测得的长度为米，则池塘的宽的长为()

A.米

B.米

C.米

D.米

3.要使代数式有意义，则的取值范围是()

A.B.C.D.

4.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

5.以下选项不能判定为直角三角形的是()

A.：：：：B.：：：：

C.：：：：D.，，

6.下列说法正确的是()

A.邻边相等的矩形是正方形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.矩形的对角线互相垂直且互相平分

D.顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定就是矩形

7.如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为()

A.B.C.D.

8.如图，过平行四边形对角线的交点，交于，交于，若平行四边形的周长为，，则四边形的周长为()

A.B.C.D.

9.如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧底部点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度()

A.

B.

C.

D.

10.如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积()

A.不变

B.先增大再减小

C.先减小再增大

D.不断增大

11.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为()

A.

B.

C.

D.

12.正方形，按如图放置，点，，在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于点，有下列结论：

；

；

；

．

其中正确的是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.______．

14.在下面横线上填上、、、这四种运算符号中的一个，使式子的计算结果最大：______

15.如图，菱形的对角线，相交于点，为边上的一点，，连接，若，，则菱形的面积为______．

16.如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．

17.如图，在中，，，分别以，为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为，，则的值为______．

18.课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，线段如图所示”即：，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；以此类推，得______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算：

；

．

20.本小题分

如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形．

21.本小题分

如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．

求梯子的长；

梯子的顶端沿墙下滑到点，梯子底端外移到点，求的长．

22.本小题分

先阅读，后解答：

，，像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．

将下列式子进行分母有理化：

______；______；

计算：．

23.本小题分

下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．

年月日天气：晴

无理数与线段长今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．

回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段

如图，正方形的边长为个单位长度，以原点为圆心，对角线长为

半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．

类似地，我们可以在数轴上找到表示，，的点．

拓展思考：如图，改变图中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍在原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点

任务：

“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点表示的数为______，点表示的数为______；

请从，两题中任选一题作答，我选择______题

A.请在图所示的数轴上，画图确定表示的点，；

B.请在图所示的数轴上，画图确定表示的点．

24.本小题分

如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可采用下面的方法：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．

求的度数；

在第题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为，若已知，求的长．

25.本小题分

如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，同时，点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为．

边的长度为______，的取值范围为______．

从运动开始，当取何值时，？

从运动开始，当取何值时，？

在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：可化简为，选项A不符合题意；

不能进一步化简，选项B符合题意；

可化简为，选项C不符合题意；

可化简为，选项D不符合题意；

故选：．

根据最简二次根式概念进行逐项判断．

本题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式中不含能开方因数，且分母中不含根号，根号里不含分母，掌握最简二次根式的判断方法是解题关键．

2.【答案】

【解析】解：点、分别为、的中点，

是中位线，

米，

故选：．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：由题意得，，

解得，．

故选：．

由题意得，，进行计算即可得．

本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．

4.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D符合题意；

故选：．

利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】

【解析】解：、设，，，

，

解得：，

则，

是直角三角形，故此选项不符合题意；

B、设，，，

，

解得：，

则，

不是直角三角形，故此选项符合题意；

C、，

能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、，

能构成直角三角形，故此选项不符合题意．

故选：．

由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．

本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：、邻边相等的矩形是正方形，说法正确，符合题意；

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；

C、矩形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故本选项说法错误，不符合题意；

D、顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则原四边形一定对角线相等，但不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；

故选：．

根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质、中点四边形判断即可．

本题考查的是正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质、中点四边形，掌握相关的定理是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：是的中点，，

，

设，

由折叠的性质可得，

在中，，

即，

解得．

故线段的长为．

故选：．

设，由折叠的性质可得，利用勾股定理得到，计算即可．

本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据勾股定理列出方程，即可求解．

8.【答案】

【解析】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为，

，，

，

又，

≌，

，，

平行四边形的周长为，

，

四边形的周长为：

故选：．

先利用证明≌，从而得，，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式，即可求得答案．

本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，难度不大，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：如图所示，，

答：蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为．

故选：．

把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出的长即可．

本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．

10.【答案】

【解析】解：四边形和四边形是正方形，

，，，

，

在和中，

，

≌，

，

两个正方形的重叠部分四边形的面积为，

故选：．

根据正方形的性质可得，，，则有，再利用证明≌，从而解决问题．

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：，，，

，

是直角三角形，，

又，，

四边形是矩形，

连接，

，

当时，取得最小值，

此时，

解得，

的最小值是，

故选：．

根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后再根据，，即可得到四边形是矩形，根据矩形的性质可以得到，要求的最小值，只要求得的最小值即可，然后根据垂线段最短，即可得到的最小值，从而可以得到的最小值．

本题考查勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是求出和的关系，利用数形结合的思想解答．

12.【答案】

【解析】解：，，

．

在和中，

，

≌，

，

四边形为正方形，

，即成立

无法证出；

，

，

又，

，即成立；

由可知，

在中，，

，且，

为等腰直角三角形，

，

，即成立；

由可知：，

，即成立．

故成立的结论有．

故选：．

由同角的余角相等可得出，结合及，可证出≌，进而可得出，再结合正方形的性质即可得出成立；没有满足证明的条件；根据平行线的性质可得出，再由即可得出成立；在中，利用勾股定理即可得出成立；结合即可得出成立．综上即可得出结论．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．

13.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案为．

先根据二次根式的乘法得到原式，然后根据二次根式的性质化简即可．

本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了二次根式的乘法．

14.【答案】

【解析】解：；

；

；

，

，

结果最大．

故答案为：．

原式分别填上、、、这四种运算符号，计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，，

，

，

，

，

，

菱形的面积．

故答案为：．

由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可解决问题．

本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，连接．

由题意，，，，

，，

是等腰直角三角形，且，

，

故答案为：．

根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．

本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．

17.【答案】

【解析】解：在中，，

由勾股定理得：．

，，

．

故答案为：．

根据等腰直角三角形的面积公式结合勾股定理，得出等于斜边，即可得出结论．

本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：，，，，

，

故答案为：．

利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出．

本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．

19.【答案】解：

；

．

【解析】根据二次根式的除法法则进行计算即可；

先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．

本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形为平行四边形，

，，

，

，

即，

四边形是平行四边形．

【解析】连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择判定方法是解题的关键．

21.【答案】解：为，为，

，

答：梯子的长为；

在中，

，

即，

故BD，

答：的长为．

【解析】直接利用勾股定理，即可求出的长度；

直接利用勾股定理，即可求出的长度，进而得出答案．

此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．

22.【答案】

【解析】解：；

．

故答案为：；

；

．

分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可解答；

先分母有理化，然后合并同类二次根式即可解答．

本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．

23.【答案】或

【解析】解：线段的长为，的长为；

点表示的数为，点表示的数为；

故答案为：，，，；

题：如图，点表示的数为，点表示的数为；

题：如图，点表示的数为．

故答案为：或．

利用勾股定理计算出正方形的对角线长为，从而得到、的长，然后利用数轴表示数的方法得到点和点表示的数；

选择题，构建直角三角形，，，则利用勾股定理得到，然后以点为圆心，的长为半径作圆交数轴于、，则点表示的数为，点表示的数为；

选择题，构建直角三角形，点表示的数为，使，，则利用勾股定理得到，然后以点为圆心，的长为半径作