2022-2023学年辽宁省部分学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列与终边相同角的集合中正确的是()

A.B.

C.D.

2.已知非零向量，，若，则()

A.B.C.D.

3.已知，则()

A.B.C.D.

4.已知函数的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则()

A.

B.

C.

D.

5.已知平面向量，，且，则()

A.B.C.D.

6.为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为米()

A.

B.

C.

D.

7.在边长为的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是()

A.B.C.D.

8.已知，，函数的图像如图所示，，，是的图像与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间上，有个零点，则的最大值为()

A.

B.

C.

D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知函数，则下列结论正确的是()

A.的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到

B.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到

C.的图象关于直线对称

D.和图象关于点中心对称

10.已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有()

A.当，，时，满足条件的三角形共有个

B.若，则

C.若，，则为等腰直角三角形

D.若，则一定是等边三角形

11.已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是()

A.若，则与方向相同的单位向量是

B.若，则在上的投影向量是

C.若，则与方向相同的单位向量是

D.若，则与的夹角的余弦值为

12.已知函数，，则下列说法正确的是()

A.当时，图象的一个对称中心为

B.当为奇数时，的最小正周期是

C.当为偶数时，

D.当为偶数时，在上单调递减

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，满足，，则______．

14.已知函数的一条对称轴为，则一个满足题意的的值是______．

15.已知，若，则______．

16.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，为边上一点，，若，则的面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．

求的最大值；

若，求的值．

18.本小题分

已知，．

求的值；

若，且，求的值．

19.本小题分

上海中心大厦的阻尼器全名为“电涡流摆设式调谐质量阻尼器”，是一种为了消减强风下高层晃动的专业工程装置：质量块和吊索构成一个巨型复摆，它与主体结构的共振，能消减大楼晃动，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移单位：和时间单位：的函数关系为，若该阻尼在摆动过程中连续四次到达平衡位置的时间依次为，，，，且，．

求函数的单调增区间；

若，求的取值集合．

20.本小题分

从；；这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分已知的三个内角，，的对边分别为，，，且______．

求角的大小；

若，求的最大值．

21.本小题分

已知的内角，，的对边分别为，，，且．

求；

若点，，均在边上，且，平分，，，，求的长．

22.本小题分

已知函数．

若，，求的对称轴；

已知，函数图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数的取值范围以及的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；

因为，故C正确；

对于选项D：因为，

则与终边不相同，故D错误；

故选：．

根据终边相同的角分析判断．

本题主要考查了终边相同角的定义，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为，

所以，

由题易知，，

所以．

故选：．

由向量垂直的坐标公式得，再求解答案即可．

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由，

得，

即，

解得或舍去．

故选：．

由已知利用二倍角的余弦变形，然后求解关于的一元二次方程得答案．

本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：由图可知，，

又因为过点，

所以，解得，

又因为，且在的一个减区间上，

所以，

根据五点作图法可知，，解得，

，．

故选：．

根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到，的值，根据点得出的值，由五点作图法可得，即可得出答案．

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：由题意得，

由，得，

所以，所以．

故选：．

根据向量模长的计算公式可得，进而根据夹角公式即可求解．

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：设铁塔的高度为米，

由题意可得：，

在中，由余弦定理，

即，解得．

故选：．

设铁塔的高度为，用表示出和，在中利用余弦定理即可求出．

本题考查了余弦定理的应用，属中档题．

7.【答案】

【解析】解：取的中点为，连接，

则，

因为当时，取得最小值，此时，

所以．

故选：．

通过转化法得，根据平面几何知识求解即可

本题考查向量数量积的最值的求解，数形结合思想，属中档题．

8.【答案】

【解析】解：令，则，

与题意相对应且使得的值可以取，则，

由题意可得，则，

由题意可知：若的最大值，则，均为零点，

不妨取，且为奇数，则在内有个零点，

所以．

故选：．

根据题意结合三角函数的周期性的特征分析求解．

本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算能力和逻辑思维能力，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：．

，选项：将函数的图象向左平移个单位长度得到，即的图象，将的图象向右平移个单位长度得到，不是的图象，所以A正确，B错误；

选项：因为，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；

选项：因为，

所以函数的图象不关于点中心对称，所以D错误．

故选：．

根据辅助角公式化简，即可根据图象平移变换的性质判断，代入验证即可判断．

本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：对于选项A：由余弦定理，

可得，则，

因为，

所以该方程无解，即不存在满足条件的三角形，故A错误；

对于选项B：因为，由正弦定理可得，

则，

且，，则，，，，

可得，整理得，

可得或，即或，

所以或，故B错误；

对于选项C：由余弦定理，则，

因为，可得，

则，则，

所以为等腰直角三角形，故C正确；

对于选项D：因为，，，则，，，

可得，，，

若，则，

可得，即，

所以一定是等边三角形，故D正确．

故选：．

对于：利用余弦定理分析运算；对于：利用正弦定理结合倍角公式分析判断；对于：利用余弦定理分析运算；对于：根据角的范围结合余弦函数分析判断．

本题考查解三角形，考查转化思想，考查正余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：因为与垂直，

所以，

解得或．

若，则，

此时，，

与方向相同的单位向量是，在上的投影向量是，故选项A正确，选项B错误．

若，则，

此时，

因此与方向相同的单位向量是，

且与的夹角的余弦值为，故选项C正确，选项D错误．

故选：．

先由向量垂直化简可得或，分结合投影向量判断，时由夹角公式判断．

本题考查投影向量的概念，向量的夹角公式，属中档题．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．

对：根据对称中心的性质分析运算；对：分和两种情况讨论，整理分析；对：分和两种情况讨论，结合辅助角公式运算求解；对：根据选项C的结果，结合单调性分析运算．

【解答】

解：选项：当时，则，

可得，故图象的一个对称中心为，故A正确；

选项：当为奇数时，则有：

若，则，

此时函数的最小正周期是；

若，则，

显然没有最小正周期；故B错误；

选项：当为偶数时，则有：

若，则，；

若，则，，故C正确．

选项：由选项C可知：当为偶数时，或，

，所以，故在上单调递减，故D正确．

故选：．

13.【答案】

【解析】由题意可得，两式相加可得，即，

可得，

所以．

故答案为：．

根据题意结合向量的坐标运算可得，进而可求结果．

本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．

14.【答案】答案不唯一，，均可

【解析】解：由题意，，，

其中最小的正数为，即．

故答案为：答案不唯一，，均可．

结合正弦函数的对称轴求解．

本题考查正弦函数的对称性，掌握其对称轴方程是关键，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：根据正切的二倍角公式，由可得，

所以，因为，所以，，

故，

所以，，

所以，，

所以．

故答案为：．

根据正切的二倍角公式可求得，从而求得，然后代入计算，即可得到结果．

本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：作图：

，

在中，由正弦定理得，

则，

整理得，

又，，则，

整理得，即，

由题意得，，

在中，由余弦定理得，

即，整理得，解得，

则的面积，

又，

则．

故答案为：．

根据题意利用由正弦定理结合三角恒等变换可得，利用余弦定理结合面积公式运算求解，即可得出答案．

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：由题意可得：，，，

可得，，

所以，

因为，

则，

当，即时，

取到最大值．

因为，

若，则，即，

联立方程，

解得或，

且，则，

所以，

所以．

【解析】根据题意结合向量的坐标运算可得，结合正弦函数运算求解；

根据题意向量的坐标运算可得，可得，，进而可得结果．

本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．

18.【答案】解：因为，解得，

所以．

因为，则，

则，可得，

所以，

则，

又因为，则，

所以．

【解析】由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；

根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可．

本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的综合应用，属于中档题．

19.【答案】解：因为，且定义域为，

由题意可得：，即，

则，且，解得，

所以，

令，解得，

注意到的定义域为，

所以函数的单调增区间．

令，即，

则或，

解得，或，

所以的取值集合．

【解析】根据题意辅助角公式，结合周期求得，再根据正弦函数的单调性分析运算；

根据正弦函数分析运算．

本题主要考查三角函数的应用，考查转化能力，属于中档题．

20.【答案】或或

【解析】解：若选：由余弦定理得，即，

由正弦定理得，

则，

因为，，则，

所以，解得．

若选：因为，

所以，

整理得，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

又因为，所以．

若选：因为，

由正弦定理得，

因为，，所以，所以，

整理得，

所以，

由，得，所以．

由正弦定理，可得，，

所以

，

其中，

当，即时，

所以时，取到最大值为．

选条件：先利用正、余弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；

选条件：利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

选条件：利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式化简即可得解；

先利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换变换运算求解．

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．

21.【答案】解：由，

得，

即，

由余弦定理可得，

整理得再由余弦定理可得，

因为，所以．

不妨设，由题可得，，

则，所以，

，

所以，．

因为为的中点，所以，

所以，

所以．

【解析】根据三角恒等变换将已知等式化简，结合余弦定理整理成，再由余弦定理得，即可得角的大小；

不妨设，由题可得，，则，结合三角恒等变换及三角形边角关系可得，长，结合平面向量的线性运算与数量积的性质即可得的值，即可得的长．

本题考查解三角形问题，余弦定理与向量数量积的综合应用，化归转化思想，属中档题．

22.【答案】解：，，

则，

由最小正周期公式可知，，解得，

当时，则，

令