【解析】广东省汕头市金平区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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广东省汕头市金平区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．要使二次根式有意义，则x应满足（）

A．B．C．x＞1D．x＜1

2．下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

4．满足下列条件的是直角三角形的是（）

A．8，10，7B．2，3，4C．5，12，14D．1，，2

5．（2023八下·泸县期末）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．（2022九上·福州开学考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

甲乙丙丁

平均数9.69.59.59.6

方差0.280.270.250.25

若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

7．（2023九上·顺德期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A．对角线互相垂直B．对角线相等

C．对角互补D．四个角相等

8．菱形中，，边长为，则对角线的长为（）

A．4B．C．D．8

9．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，分别是的中点，点F在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（）

A．B．C．D．

10．如图，在边长为2的正方形中，点P从点A出发，沿A→B→C→D匀速运动到点D，若点E是BC的中点，则的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

11．计算．

12．某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是．

13．如图，在中，，，，则．

14．一次函数和的图象相交于点．则不等式的解集是．

15．如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

三、解答题

16．计算：．

17．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

（1）求的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

18．张青、李红和小明三人在讨论课本的一道题：

如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，．

求证：四边形是平行四边形．

张青说：“要证明三角形全等才能解决问题．”

李红说：“不对，只要连接，不用证明三角形全等也能解决问题．”

小明问老师他们谁是对的？

老师说：“李红说得对．”并要求小明按李红的思路完成这题目．

请你帮小明写出完整的证明过程．

19．（2023九上·萧山开学考）为了了解某校新初三暑期阅读课外书的情况，某研究小组随机采访该校新九年级的20位同学，得到这20位同学暑期读课外书册数的统计如下：

册数02356810

人数1248221

（1）这20位同学暑期看课外书册数的中位数是册，众数是册,平均数是册。

（2）若小明同学把册数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数，众数，平均数中不受影响的是。

（3）若该校有600名新初三学生，试估计该校新初三学生暑期阅读课外书的总册数。

20．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．

如：将分母有理化，解：原式．

运用以上方法解决问题：

已知：，．

（1）化简a，b；

（2）求的值．

21．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．

（1）求直线的解析式；

（2）点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

22．如图，点在正方形对角线上，连接，点为上一点，连接，交于点．连接，若．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）经探究，、、三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．

23．如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．

（1）求证：；

（2）设，的面积为S，

①求S与m的函数关系式；

②当时，求S的值；

（3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，

∴x+1≥0，

∴x≥-1.

故答案为：A.

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+1≥0，求解即可.

2．【答案】B

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B、，故正确；

C、，故错误；

D、，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘除法法则可判断B、C；根据二次根式的减法法则可判断D.

3．【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：，，，

∴是最简二次根式.

故答案为：C.

【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.

4．【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、72+82=113，102=100，113≠100，故不能构成直角三角形，不符合题意；

B、22+32=13，42=16，13≠16，故不能构成直角三角形，不符合题意；

C、52+122=169，142=196，169≠196，故不能构成直角三角形，不符合题意；

D、12+()2=4=22，故能构成直角三角形，符合题意.

故答案为：D.

【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.

5．【答案】C

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，

∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．

故选C

【分析】先根据一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．

6．【答案】D

【知识点】分析数据的波动程度

【解析】【解答】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，

∴应选丁．

故答案为：D．

【分析】从平均数看丁的平均分最高，则成绩越好；丁的方差最小，利用方差越小成绩越稳定，可得答案.

7．【答案】A

【知识点】矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；

B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据正方形和矩形的性质逐项判断即可。

8．【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=4，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.

∵∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD=BD=4，BO=DO=2，

∴AO==，

∴AC=2AO=.

故答案为：C.

【分析】由菱形的性质可得AB=AD=4，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，结合∠BAD=60°可推出△ABD为等边三角形，得到AB=AD=BD=4，BO=DO=2，由勾股定理可得AO的值，据此求解.

9．【答案】B

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：∵在中，分别是的中点，

∴是的中位线，

∴．

A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项符合题意．

C、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

D、根据不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判定即可。

10．【答案】D

【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题

【解析】【解答】解：由已知可得：正方形ABCD的边长为2，BE=CE=1，

①当0≤x≤2时，点P在AB上，此时y=S△APE=AP·BE=x；

②当2.

故答案为：x>.

【分析】将A（m，3）代入y=2x中求出m的值，得到点A的坐标，然后根据图象，找出y=ax+4在y=2x下方部分所对应的x的范围即可.

15．【答案】

【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：连接EM，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°.

∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴BD为∠ABC的平分线，

∴DE=DC.

∵DE=DC，∠ABD=∠DBC=30°，∠DEB=∠C=90°，

∴△BED≌△BCD（AAS），

∴BC=BE.

∵BC=BE，∠EBD=∠DBC，BM=BM，

∴△BEM≌△BCM（SAS），

∴CM=EM，

∴CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，

∴EN=BE·sin60°=2×=.

故答案为：.

【分析】连接EM，由内角和定理可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠ABD=∠A=30°，∠ABD=∠DBC=30°，推出BD为∠ABC的平分线，得到DE=DC，利用AAS证明△BED≌△BCD，得到BC=BE，然后利用SAS证明△BEM≌△BCM，得到CM=EM，则CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，接下来根据三角函数的概念计算即可.

16．【答案】解：

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】根据0次幂的运算性质可得原式=，然后根据二次根式的乘除法法则进行计算.

17．【答案】（1）在中，，；

据勾股定理可得：

=

（2）解：小汽车的速度为；

∵；

∴这辆小汽车行驶没有超速．

答：这辆小汽车没有超速．

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】（1）由题意可得AC=30m，AB=50m，然后根据勾股定理计算即可；

（2）利用BC的值除以时间求出速度，然后与80进行比较即可判断.

18．【答案】证明：连接BD，交于点，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

又，

四边形是平行四边形；

【知识点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，由已知条件可知AE=CF，结合线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理进行解答.

19．【答案】（1）5；5；4.7

（2）中位数，众数

（3）解：（册）

答：该校新初三学生暑期阅读课外书约2820册。

【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数

【解析】【解答】解：（1）∵这20个数据从小到大排列第10个数和第11个数是5，5

∴这组数据的中位数为（5+5）÷2=5；

∵5出现了8次，是这组数据中出现次数最多的数

∴这组数据的众数是5；

这组数据的平均数为：.

故答案为：5，5，4.7；

（2）若小明同学把册数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数，众数不变，平均数要变，

故答案为：中位数，众数；

【分析】（1）根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，就可得到这组数据的众数和中位数；再利用加权平均数求出这组数据的平均数。

（2）观察中位数和众数可得出判断。

（3）利用平均数×该校的学生人数，列式计算可求解。

20．【答案】（1）解：

．

（2），，

∴．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化

【解析】【分析】（1）给的分子、分母同时乘以-2，然后利用平方差公式对分母进行计算即可得到a，给的分子、分母同时乘以+2，然后利用平方差公式对分母进行计算即可得到b；

（2）根据a、b的值结合二次根式的减法法则可得a-b的值，由平方差公式可得ab，将待求式变形为(a-b)2-2ab，然后代入计算即可.

21．【答案】（1）解：当时，，

即点坐标为：，，

∵，

∴，

∴即点坐标为：，

∴设直线解析式为，得：

，解得：，

∴直线解析式为．

（2）∵直线交轴于点，

∴点坐标为，

又∵点坐标为，

∴，如图：

当时，点的坐标为，点的坐标为；

当时，点与点是关于轴对称，点的坐标为，

当时，设点坐标为，

则，解得：

点的坐标为，

综上所述，点的坐标为、、、．

【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质

【解析】【分析】（1）令y=x+8=0，求出x的值，得到点B的坐标，然后求出OB的值，根据OB=2OC可得OC的值，然后表示出点C的坐标，接下来将B、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线CB的解析式；

（2）易得A（0，8），由勾股定理可得AB的值，然后分BE=AB=10、AB=AE、EA=EB，结合勾股定理进行计算就可求出点E的坐标.

22．【答案】（1）证明：在正方形中，，平分，

在和中，

．

（2）证明：，

，，，

，

；

，

，

设

，

，

，

，

，

（3）结论：，

将绕点C逆时针旋转到位置，连接，

由旋转性质可得：，，，，

由②得，

，

，

，

，

，

，

【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠CBE=45°，利用SAS证明△ABE≌△CBE，据此可得结论；

（2）由全等三角形的性质可得AE=EC，∠EAF=∠ECB，∠BEA=∠BEC，结合EF=EC可得AE=EF，由等腰三角形的性质可得∠EFA=∠EAF=∠ECB，设∠EFA=∠EBF+∠BEF=45°+α，由内角和定理可得∠AEB=90°-α，则∠CEF=∠BEC+∠BEF=90°，据此求解；

（3）将△CDE绕点C逆时针旋转90°到△CBP的位置，连接PG，由旋转性质可得∩CBP=∠CDE=45°，PC=EC，∠ECP=90°，BP=ED，由②得∠ECF=45°，利用SAS证明△PCG≌△ECG，得到PG=EG，易得∠PBG=∠BDC+∠CBP=90°，然后利用勾股定理进行解答.

23．【答案】（1）解：如图：

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵F是中点，

∴，

在和中，

∴，

∴．

（2）解：①∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∴S与m的函数关系式为；

②当时，则四边形是菱形

∴，

∵

∴，解得：，

∴．

（3）解：①如图：点P在x轴上，

设点P标为，则

∵四边形是矩形

∴

∴

∴，解得：

∴

∵平移得到

∴平移规律是横坐标减10，纵坐标减4，

∴点平移得到；

②如图：点P在y轴上，设点P标为，则

∵

∴，解得：

∵平移后得到

∴平移规律是横坐标减8，纵坐标减16.

∴平移后得到；

③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．

综上所述，点Q坐标为或或．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积；用坐标表示平移；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）由矩形以及平行线的性质可得∠AEF=∠FDC，由中点的概念可得AF=CF，利用AAS证明△AEF≌△ADF，据此可得结论；

（2）①由题意可得四边形AECD为平行四边形，根据点A、C的坐标可得OA=4，OC=8，则DC=8-m，然后根据S△ADF=S△ACD=S平行四边形AECD进行解答；

②当DE⊥AC时，则四边形AECD是菱形，则AD=CD，利用勾股定理表示出AD，据此求出m的值，进而可得S；

（3）①当点P在x轴上时，PC=8-p，AP2=p2+42，AC2=80，设P（p，0），由矩形的性质以及勾股定理可得AP2+AC2=PC2，代入求解可得p的值，据此可得点P的坐标，然后根据平移的性质可得点q的坐标；②当点P在y轴上时，同理进行求解.

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广东省汕头市金平区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．要使二次根式有意义，则x应满足（）

A．B．C．x＞1D．x＜1

【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，

∴x+1≥0，

∴x≥-1.

故答案为：A.

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+1≥0，求解即可.

2．下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B、，故正确；

C、，故错误；

D、，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘除法法则可判断B、C；根据二次根式的减法法则可判断D.

3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：，，，

∴是最简二次根式.

故答案为：C.

【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.

4．满足下列条件的是直角三角形的是（）

A．8，10，7B．2，3，4C．5，12，14D．1，，2

【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、72+82=113，102=100，113≠100，故不能构成直角三角形，不符合题意；

B、22+32=13，42=16，13≠16，故不能构成直角三角形，不符合题意；

C、52+122=169，142=196，169≠196，故不能构成直角三角形，不符合题意；

D、12+()2=4=22，故能构成直角三角形，符合题意.

故答案为：D.

【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.

5．（2023八下·泸县期末）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，

∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．

故选C

【分析】先根据一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．

6．（2022九上·福州开学考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

甲乙丙丁

平均数9.69.59.59.6

方差0.280.270.250.25

若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】D

【知识点】分析数据的波动程度

【解析】【解答】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，

∴应选丁．

故答案为：D．

【分析】从平均数看丁的平均分最高，则成绩越好；丁的方差最小，利用方差越小成绩越稳定，可得答案.

7．（2023九上·顺德期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A．对角线互相垂直B．对角线相等

C．对角互补D．四个角相等

【答案】A

【知识点】矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；

B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据正方形和矩形的性质逐项判断即可。

8．菱形中，，边长为，则对角线的长为（）

A．4B．C．D．8

【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=4，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.

∵∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD=BD=4，BO=DO=2，

∴AO==，

∴AC=2AO=.

故答案为：C.

【分析】由菱形的性质可得AB=AD=4，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，结合∠BAD=60°可推出△ABD为等边三角形，得到AB=AD=BD=4，BO=DO=2，由勾股定理可得AO的值，据此求解.

9．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，分别是的中点，点F在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：∵在中，分别是的中点，

∴是的中位线，

∴．

A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项符合题意．

C、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

D、根据不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判定即可。

10．如图，在边长为2的正方形中，点P从点A出发，沿A→B→C→D匀速运动到点D，若点E是BC的中点，则的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题

【解析】【解答】解：由已知可得：正方形ABCD的边长为2，BE=CE=1，

①当0≤x≤2时，点P在AB上，此时y=S△APE=AP·BE=x；

②当2.

故答案为：x>.

【分析】将A（m，3）代入y=2x中求出m的值，得到点A的坐标，然后根据图象，找出y=ax+4在y=2x下方部分所对应的x的范围即可.

15．如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

【答案】

【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：连接EM，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°.

∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴BD为∠ABC的平分线，

∴DE=DC.

∵DE=DC，∠ABD=∠DBC=30°，∠DEB=∠C=90°，

∴△BED≌△BCD（AAS），

∴BC=BE.

∵BC=BE，∠EBD=∠DBC，BM=BM，

∴△BEM≌△BCM（SAS），

∴CM=EM，

∴CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，

∴EN=BE·sin60°=2×=.

故答案为：.

【分析】连接EM，由内角和定理可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠ABD=∠A=30°，∠ABD=∠DBC=30°，推出BD为∠ABC的平分线，得到DE=DC，利用AAS证明△BED≌△BCD，得到BC=BE，然后利用SAS证明△BEM≌△BCM，得到CM=EM，则CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，接下来根据三角函数的概念计算即可.

三、解答题

16．计算：．

【答案】解：

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】根据0次幂的运算性质可得原式=，然后根据二次根式的乘除法法则进行计算.

17．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

（1）求的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

【答案】（1）在中，，；

据勾股定理可得：

=

（2）解：小汽车的速度为；

∵；

∴这辆小汽车行驶没有超速．

答：这辆小汽车没有超速．

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】（1）由题意可得AC=30m，AB=50m，然后根据勾股定理计算即可；

（2）利用BC的值除以时间求出速度，然后与80进行比较即可判断.

18．张青、李红和小明三人在讨论课本的一道题：

如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，．

求证：四边形是平行四边形．

张青说：“要证明三角形全等才能解决问题．”

李红说：“不对，只要连接，不用证明三角形全等也能解决问题．”

小明问老师他们谁是对的？

老师说：“李红说得对．”并要求小明按李红的思路完成这题目．

请你帮小明写出完整的证明过程．

【答案】证明：连接BD，交于点，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

又，

四边形是平行四边形；

【知识点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，由已知条件可知AE=CF，结合线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理进行解答.

19．（2023九上·萧山开学考）为了了解某校新初三暑期阅读课外书的情况，某研究小组随机采访该校新九年级的20位同学，得到这20位同学暑期读课外书册数的统计如下：

册数02356810

人数1248221

（1）这20位同学暑期看课外书册数的中位数是册，众数是册,平均数是册。

（2）若小明同学把册数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数，众数，平均数中不受影响的是。

（3）若该校有600名新初三学生，试估计该校新初三学生暑期阅读课外书的总册数。

【答案】（1）5；5；4.7

（2）中位数，众数

（3）解：（册）

答：该校新初三学生暑期阅读课外书约2820册。

【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数

【解析】【解答】解：（1）∵这20个数据从小到大排列第10个数和第11个数是5，5

∴这组数据的中位数为（5+5）÷2=5；

∵5出现了8次，是这组数据中出现次数最多的数

∴这组数据的众数是5；

这组数据的平均数为：.

故答案为：5，5，4.7；

（2）若小明同学把册数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数，众数不变，平均数要变，

故答案为：中位数，众数；

【分析】（1）根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，就可得到这组数据的众数和中位数；再利用加权平均数求出这组数据的平均数。

（2）观察中位数和众数可得出判断。

（3）利用平均数×该校的学生人数，列式计算可求解。

20．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．

如：将分母有理化，解：原式．

运用以上方法解决问题：

已知：，．

（1）化简a，b；

（2）求的值．

【答案】（1）解：

．

（2），，

∴．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化

【解析】【分析】（1）给的分子、分母同时乘以-2，然后利用平方差公式对分母进行计算即可得到a，给的分子、分母同时乘以+2，然后利用平方差公式对分母进行计算即可得到b；

（2）根据a、b的值结合二次根式的减法法则可得a-b的值，由平方差公式可得ab，将待求式变形为(a-b)2-2ab，然后代入计算即可.

21．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．

（1）求直线的解析式；

（2）点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

【答案】（1）解：当时，，

即点坐标为：，，

∵，

∴，

∴即点坐标为：，

∴设直线解析式为，得：

，解得：，

∴直线解析式为．

（2）∵直线交轴于点，

∴点坐标为，

又∵点坐标为，

∴，如图：

当时，点的坐标为，点的坐标为；

当时，点与点是关于轴对称，点的坐标为，

当时，设点坐标为，

则，解得：

点的坐标为，

综上所述，点的坐标为、、、．

【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质

【解析】【分析】（1）令y=x+8=0，求出x的值，得到点B的坐标，然后求出OB的值，根据OB=2OC可得OC的值，然后表示出点C的坐标，接下来将B、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线CB的解析式；

（2）易得A（0，8），由勾股定理可得AB的值，然后分BE=AB=10、AB=AE、EA=EB，结合勾股定理进行计算就可求出点E的坐标.

22．如图，点在正方形对角线上，连接，点为上一点，连接，交于点．连接，若．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）经探究，、、三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式．