【解析】广东省惠州市惠阳区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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广东省惠州市惠阳区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．下列给出的式子是二次根式的是（）

A．±3B．C．D．

2．下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）

A．4、5、6B．5、12、13C．3、4、5D．1、、

3．（2023八下·桂林期末）一次函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

4．下列计算，结果正确的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八上·肥西期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组的解为（）

A．B．C．D．

6．（2023八下·临泽期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A．AB∥CD，AD∥BCB．OA=OC，OB=OD

C．AD=BC，AB∥CDD．AB=CD，AD=BC

7．（2022·玉林模拟）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：

平均数中位数众数方差

8.58.38.10.15

如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）

A．平均数B．众数C．方差D．中位数

8．如图，有一根电线杆垂直立在地面处，在电线杆的点处引拉线固定电线杆，拉线，且和地面成，则电线杆引线处离地面的高度（即的长）是（）

A．B．C．D．

9．在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是（）

A．94分B．93分C．92分D．91分

10．如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

二、填空题

11．（2022·武汉）计算的结果是.

12．如图，在中，，点D，E，F分别是的中点，连结，则四边形的周长为．

13．（2023八上·武义期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中，底边BC的长，那么衣架的高.

14．对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得，，，成绩比较稳定的是．（填“甲”或“乙”）

15．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是．（填序号）

三、解答题

16．已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

17．某城市出租车的收费标准为：千米以内（含千米）收费元，超过千米时，超过部分每千米收费元．

（1）写出车费（元）和行车里程（千米）之间的关系式；

（2）甲乘坐千米需付多少元钱？

18．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度．

19．某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机调查的学生人数为，图1中30元所对的圆心角度数是．

（2）本次调查获取的样本数据的平均数为元、众数为元、中位数为元；

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．

20．如图，在中，是的边上的高，E为垂足且．

（1）试判断的形状，并说明理由．

（2）求的长．

21．如图，在平行四边形中，平分，交于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点．

（2）在（1）的基础上，求证：．

（3）在前面2问的基础上，若，求证：四边形是矩形．

22．如图，正方形的边长是．点是正方形对角线上一动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为，

（1）若，求的长；

（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明；

（3）在点运动过程中，的长也随之变化，直接写出的最小值．

23．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点．

（1）分别求出直线和的解析式，并直接写出点和点的坐标；

（2）若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动，设点的运动时间为秒．

①当点在运动过程中，请求出的面积与的函数关系式；

②求出当为多少时，的面积等于．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】二次根式的定义

【解析】【解答】解：A、±3不是二次根式，故A不符合题意；

B、是二次根式，故B符合题意；

C、∵3-π＜0

∴不是二次根式，故C不符合题意；

D、不是二次根式，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】形如（a≥0）的式子是二次根式，再对各选项逐一判断.

2．【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵42+52=41，62=36，

∴42+52≠62，这三条不能构成直角三角形，故A符合题意；

B、∵122+52=169，132=169，

∴122+52=132，这三条能构成直角三角形，故B不符合题意；

C、∵32+42=25，52=25，

∴32+42=52，这三条能构成直角三角形，故C不符合题意；

D、∵12+2=3，，

∴12+2=，这三条能构成直角三角形，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】分别求出各选项中较小两数的平方和，再求出较大数的平方，若较小两数的平方和＝较大数的平方，则能构成直角三角形，否则不能，据此可得答案.

3．【答案】D

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】∵一次函数中，，

∴此函数的图象经过一、二、三象限.

故答案为：D.

【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.

4．【答案】C

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C符合题意；

D、，故D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则和除法法则，可对B、C作出判断.

5．【答案】A

【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用

【解析】【解答】解：关于x，y的方程组可化为，

∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，

∴方程组的解为．

故答案为：A.

【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系可得：两一次函数图象的交点即是二元一次方程组的解。

6．【答案】C

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

故选：C．

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

7．【答案】D

【知识点】常用统计量的选择

【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响.

故答案为：D.

【分析】中位数是按照大小顺序排列后第5位的数据，若去掉一个最高分，一个最低分，中间的数据不变，据此判断.

8．【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：由题意可知，∠BDC=90°，∠DBC=60°，

∠DCB=90°-∠DBC=90°-60°=30°，

∴BD=BC=3，

∴.

故答案为：D.

【分析】根据题意可知∠BDC=90°，∠DBC=60°，利用三角形的内角和定理求出∠DCB的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长；然后利用勾股定理求出CD的长.

9．【答案】B

【知识点】加权平均数及其计算

【解析】【解答】解：根据题意得

.

故答案为：B.

【分析】利用加权平均数公式，列式计算.

10．【答案】D

【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，

∴AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠ADE=∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAE=90°，

∵CE=DF，

∴AF=DE，

在△ABF和△DEA中

∴△ABF≌△DEA（SAS），

∴AE=BF，∠ABF=∠DAE，故①正确；

∴∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠AOB=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

若AO=OE，

∴BF垂直平分AE，

∴AB=BE，

∵BE＜BC，

∴BE＜AB，

∴AO≠OE，故③错误；

∵△ABF≌△DEA，

∴S△ABF=S△DEA，

∴S△ABF-S△AOF=S△DEA-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；

∴正确结论的序号为①②④

故答案为：D.

【分析】利用正方形的性质可证得AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠ADE=∠BAD=90°，同时可证得AF=DE，利用SAS证明△ABF≌△DEA，利用全等三角形的性质可得到AE=BF，∠ABF=∠DAE，可对①作出判断；再证明∠BAE+∠ABF=90°，利用三角形的内角和定理可证得∠AOB=90°，利用垂直的定义可对②作出判断；若AO=OE，易证BF垂直平分AE，可得到AB=BE，利用直角三角形中斜边最长，可推出BE＜AB，可推出AO≠OE，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得S△ABF=S△DEA，可推出S△AOB=S四边形DEOF，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

11．【答案】2

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：原式=|-2|=2.

故答案为：2.

【分析】二次根式的性质：=|a|，据此计算.

12．【答案】9

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，

∴AD=AB=2，AF=AC=2.5，DE，EF是△ABC的中位线，

∴DE∥AF，EF∥AD，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AD=EF=2，DE=AF=2.5，

∴四边形ADEF的周长为2（2+2.5）=9.

故答案为：9.

【分析】利用已知可求出AD，AF的长，同时可证得DE，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥AF，EF∥AD，由此可推出四边形ADEF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到DE、EF的长，然后求出此四边形的周长即可.

13．【答案】7

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

在中，由勾股定理得，

故答案为：7.

【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=BC=24cm，∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行计算.

14．【答案】乙

【知识点】分析数据的波动程度

【解析】【解答】解：∵0.25＞0.016，

∴S甲2＞S乙2，

∴成绩比较稳定的是乙.

故答案为：乙.

【分析】利用已知可知两个同学的平均成绩相等，再比较他们方差的大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案.

15．【答案】①②③

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：由图象可知，甲在28分钟到达，乙在40分钟到达，

∴40-28=12，

∴乙比甲提前12分钟到达，故①正确；

设S乙=kt+b，

∴

解之：

∴S乙=t-18；

设y甲=mt，

∴40m=10，

解之：

∴y甲=，

∴，

解之：t=24,

∴y=

∴设乙出发6分钟后追上甲，故③正确；

∴乙遇到甲时，走的路程为千米，故②正确；

正确结论的序号为

故答案为：①②③.

【分析】观察函数图象可知甲在28分钟到达，乙在40分钟到达，列式计算，可对①作出判断；设乙出发x分钟后追上甲，利用图象上的点的坐标，分别求出S甲与S乙与x的函数解析式，将两函数联立方程组，求出方程组的解，可对③作出判断；然后求出乙遇到甲时，走的路程，可对②作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

16．【答案】（1）解：由题意得：

∴

（2）解：

【知识点】因式分解的应用；二次根式的化简求值

【解析】【分析】（1）利用x，y的值分别求出x+y，x-y的值，再利用因式分解法将代数式转化为（x+y）（x-y），然后整体代入求值.

（2）利用配方法将代数式转化为（x+y）2-xy，然后整体代入求值即可.

17．【答案】（1）解：依题意，当时，

当时，

整理得：

∴

（2）解：∵，将代入得；

，

∴甲乘坐千米需付元

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）此题是一个分段函数，利用已知条件可得到当0＜x＜3时y与x的函数解析式；当x＞3时y与x的函数解析式.

（2）根据13＞3，代入（1）中对应的函数解析式，可求出对应的y的值，即可求解.

18．【答案】解：设，由题意得，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设AB=AD=x，可表示出AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长度.

19．【答案】（1）；

（2）26.4；30；30

（3）解：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为：（人，

答：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1176人．

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数

【解析】【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为12÷24％=50人；

图1中30元所对的圆心角度数是360°×（1-16％-24％-20％）=144°.

故答案为：50，144°

（2）；

一共50个数，从小到大排列第25和第26个数都是30，

∴这组数据的中位数是30；

30出现了20次，是出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是30.

故答案为：26.4，30，30

【分析】（1）利用两统计图可知本次接受随机调查的学生人数=捐款10元的人数÷捐款10元的人数所占的百分比，列式计算；图1中30元所对的圆心角度数=360°×捐款30元的人数所占的百分比，列式计算.

（2）利用平均数公式，可求出本次调查获取的样本数据的平均数；利用众数和中位数的定义，分别求出其众数和中位数即可.

（3）利用该校的总人数×捐款金额不少于30元的学生人数所占的百分比，列式计算即可.

20．【答案】（1）解：∵在中，，

根据勾股定理AB=，

∵，

∴△ABD是直角三角形

（2）解：∵是的边上的高，

∴S△ABD=，

∴

【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，利用勾股定理的逆定理可证得结论.

（2）利用直角三角形的两个面积公式，可求出DE的长.

21．【答案】（1）解：如图所示，为所求；

（2）证明：∵四边形是平行四边形

∴，，

∴

∵平分，平分

∴

∴

∴

（3）证明：由（1）同理可得：

∴

又由（1）得：

∴四边形是平行四边形

∵，平分

∴，

∴平行四边形是矩形

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠CBD的角平分线，交CD于点F.

（2）利用平行四边形的性质可得到AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，利用平行线的性质及角平分线的定义可证得∠ADE=∠CBF，然后根据ASA可证得△ADE≌△CBF，利用去等三角形的对应边相等，可证得结论.

（3）由（1）同理可得∠BDE=∠DBF，可推出DE∥BF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形DEBF是平行四边形，再证明∠DEB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.

22．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，且边长是

∴，

∵

∴

∴

∴

设，

∵

即：

解得：

∴

（2）解：，证明如下：

连接，

∵正方形，且，

∴，，

∴四边形是矩形

∴

由，，

可得：

∴

又

∴

（3）解：的最小值为

【知识点】四边形的综合

【解析】【解答】解：（3）由（2）可知EF=BP，

∵垂线段最短，当BP⊥AC时，此时BP的长最短即EF最短，

∴点P为AC的中点，

∵，

∴EF的最小值为

【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠DAP=∠BAP=45°，利用垂直的定义可证得∠AEP=90°，可推出∠AEP=∠BAP=45°，利用等角对等边可证得AE=PE，设AE=PE=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长，然后根据BE=AB-AE，可求出BE的长.

（2）连接EF，DP，易证四边形PEBF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=BP，利用AAS证明△ADP≌△ABP，利用全等三角形的性质可知DP=BP，据此可证得结论.

（3）由（2）可知EF=BP，利用垂线段最短，可知当BP⊥AC时，此时BP的长最短即EF最短，利用勾股定理求出AC的长，利用正方形的性质可知点P为AC的中点，据此可求出EF的最小值.

23．【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，代入和

得：

解得，

∴直线的函数解析式为，

∴，

将代入，得：，

解得，

∴直线的函数解析式为；

∴

（2）解：①由题意可知CQ=t，到轴的距离为3，

∵，，

∴，

当在、之间时，则，

∴；

当在的右边时，则，

∴

②令可得或，

解得或，

即当的值为7秒或11秒时的面积等于3．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）设直线l1的函数解析式为y=kx+n将点A，P的坐标代入，可得到关于k，n的方程组，解方程组求出k，n的值，可得到直线l1的函数解析式，利用其函数解析式求出点B的坐标；根据直线l2的函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点C的坐标.

（2）①利用点Q的运动方向和速度，可知CQ=t，利用点的坐标可求出AC的长，分情况讨论：当点Q在A、C之间时，可表示出AQ的长，利用三角形的面积公式可得到S与t之间的函数解析式；当点Q在A的右侧时，可表示出AQ的长，利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式；②将S=3分别代入两函数解析式，可求出对应t的值，即可求解.

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广东省惠州市惠阳区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

一、单选题

1．下列给出的式子是二次根式的是（）

A．±3B．C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式的定义

【解析】【解答】解：A、±3不是二次根式，故A不符合题意；

B、是二次根式，故B符合题意；

C、∵3-π＜0

∴不是二次根式，故C不符合题意；

D、不是二次根式，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】形如（a≥0）的式子是二次根式，再对各选项逐一判断.

2．下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）

A．4、5、6B．5、12、13C．3、4、5D．1、、

【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵42+52=41，62=36，

∴42+52≠62，这三条不能构成直角三角形，故A符合题意；

B、∵122+52=169，132=169，

∴122+52=132，这三条能构成直角三角形，故B不符合题意；

C、∵32+42=25，52=25，

∴32+42=52，这三条能构成直角三角形，故C不符合题意；

D、∵12+2=3，，

∴12+2=，这三条能构成直角三角形，故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】分别求出各选项中较小两数的平方和，再求出较大数的平方，若较小两数的平方和＝较大数的平方，则能构成直角三角形，否则不能，据此可得答案.

3．（2023八下·桂林期末）一次函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】∵一次函数中，，

∴此函数的图象经过一、二、三象限.

故答案为：D.

【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.

4．下列计算，结果正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C符合题意；

D、，故D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则和除法法则，可对B、C作出判断.

5．（2023八上·肥西期末）如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组的解为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用

【解析】【解答】解：关于x，y的方程组可化为，

∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，

∴方程组的解为．

故答案为：A.

【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系可得：两一次函数图象的交点即是二元一次方程组的解。

6．（2023八下·临泽期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A．AB∥CD，AD∥BCB．OA=OC，OB=OD

C．AD=BC，AB∥CDD．AB=CD，AD=BC

【答案】C

【知识点】平行四边形的判定

【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

故选：C．

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

7．（2022·玉林模拟）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：

平均数中位数众数方差

8.58.38.10.15

如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）

A．平均数B．众数C．方差D．中位数

【答案】D

【知识点】常用统计量的选择

【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响.

故答案为：D.

【分析】中位数是按照大小顺序排列后第5位的数据，若去掉一个最高分，一个最低分，中间的数据不变，据此判断.

8．如图，有一根电线杆垂直立在地面处，在电线杆的点处引拉线固定电线杆，拉线，且和地面成，则电线杆引线处离地面的高度（即的长）是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：由题意可知，∠BDC=90°，∠DBC=60°，

∠DCB=90°-∠DBC=90°-60°=30°，

∴BD=BC=3，

∴.

故答案为：D.

【分析】根据题意可知∠BDC=90°，∠DBC=60°，利用三角形的内角和定理求出∠DCB的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长；然后利用勾股定理求出CD的长.

9．在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是（）

A．94分B．93分C．92分D．91分

【答案】B

【知识点】加权平均数及其计算

【解析】【解答】解：根据题意得

.

故答案为：B.

【分析】利用加权平均数公式，列式计算.

10．如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

【答案】D

【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，

∴AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠ADE=∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAE=90°，

∵CE=DF，

∴AF=DE，

在△ABF和△DEA中

∴△ABF≌△DEA（SAS），

∴AE=BF，∠ABF=∠DAE，故①正确；

∴∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠AOB=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

若AO=OE，

∴BF垂直平分AE，

∴AB=BE，

∵BE＜BC，

∴BE＜AB，

∴AO≠OE，故③错误；

∵△ABF≌△DEA，

∴S△ABF=S△DEA，

∴S△ABF-S△AOF=S△DEA-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；

∴正确结论的序号为①②④

故答案为：D.

【分析】利用正方形的性质可证得AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠ADE=∠BAD=90°，同时可证得AF=DE，利用SAS证明△ABF≌△DEA，利用全等三角形的性质可得到AE=BF，∠ABF=∠DAE，可对①作出判断；再证明∠BAE+∠ABF=90°，利用三角形的内角和定理可证得∠AOB=90°，利用垂直的定义可对②作出判断；若AO=OE，易证BF垂直平分AE，可得到AB=BE，利用直角三角形中斜边最长，可推出BE＜AB，可推出AO≠OE，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得S△ABF=S△DEA，可推出S△AOB=S四边形DEOF，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

二、填空题

11．（2022·武汉）计算的结果是.

【答案】2

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：原式=|-2|=2.

故答案为：2.

【分析】二次根式的性质：=|a|，据此计算.

12．如图，在中，，点D，E，F分别是的中点，连结，则四边形的周长为．

【答案】9

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，

∴AD=AB=2，AF=AC=2.5，DE，EF是△ABC的中位线，

∴DE∥AF，EF∥AD，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AD=EF=2，DE=AF=2.5，

∴四边形ADEF的周长为2（2+2.5）=9.

故答案为：9.

【分析】利用已知可求出AD，AF的长，同时可证得DE，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥AF，EF∥AD，由此可推出四边形ADEF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到DE、EF的长，然后求出此四边形的周长即可.

13．（2023八上·武义期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中，底边BC的长，那么衣架的高.

【答案】7

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

在中，由勾股定理得，

故答案为：7.

【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=BC=24cm，∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行计算.

14．对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得，，，成绩比较稳定的是．（填“甲”或“乙”）

【答案】乙

【知识点】分析数据的波动程度

【解析】【解答】解：∵0.25＞0.016，

∴S甲2＞S乙2，

∴成绩比较稳定的是乙.

故答案为：乙.

【分析】利用已知可知两个同学的平均成绩相等，再比较他们方差的大小，根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案.

15．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是．（填序号）

【答案】①②③

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：由图象可知，甲在28分钟到达，乙在40分钟到达，

∴40-28=12，

∴乙比甲提前12分钟到达，故①正确；

设S乙=kt+b，

∴

解之：

∴S乙=t-18；

设y甲=mt，

∴40m=10，

解之：

∴y甲=，

∴，

解之：t=24,

∴y=

∴设乙出发6分钟后追上甲，故③正确；

∴乙遇到甲时，走的路程为千米，故②正确；

正确结论的序号为

故答案为：①②③.

【分析】观察函数图象可知甲在28分钟到达，乙在40分钟到达，列式计算，可对①作出判断；设乙出发x分钟后追上甲，利用图象上的点的坐标，分别求出S甲与S乙与x的函数解析式，将两函数联立方程组，求出方程组的解，可对③作出判断；然后求出乙遇到甲时，走的路程，可对②作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

三、解答题

16．已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：由题意得：

∴

（2）解：

【知识点】因式分解的应用；二次根式的化简求值

【解析】【分析】（1）利用x，y的值分别求出x+y，x-y的值，再利用因式分解法将代数式转化为（x+y）（x-y），然后整体代入求值.

（2）利用配方法将代数式转化为（x+y）2-xy，然后整体代入求值即可.

17．某城市出租车的收费标准为：千米以内（含千米）收费元，超过千米时，超过部分每千米收费元．

（1）写出车费（元）和行车里程（千米）之间的关系式；

（2）甲乘坐千米需付多少元钱？

【答案】（1）解：依题意，当时，

当时，

整理得：

∴

（2）解：∵，将代入得；

，

∴甲乘坐千米需付元

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）此题是一个分段函数，利用已知条件可得到当0＜x＜3时y与x的函数解析式；当x＞3时y与x的函数解析式.

（2）根据13＞3，代入（1）中对应的函数解析式，可求出对应的y的值，即可求解.

18．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度．

【答案】解：设，由题意得，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设AB=AD=x，可表示出AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长度.

19．某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机调查的学生人数为，图1中30元所对的圆心角度数是．

（2）本次调查获取的样本数据的平均数为元、众数为元、中位数为元；

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．

【答案】（1）；

（2）26.4；30；30

（3）解：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为：（人，

答：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1176人．

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数

【解析】【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为12÷24％=50人；

图1中30元所对的圆心角度数是360°×（1-16％-24％-20％）=144°.

故答案为：50，144°

（2）；

一共50个数，从小到大排列第25和第26个数都是30，

∴这组数据的中位数是30；

30出现了20次，是出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是30.

故答案为：26.4，30，30

【分析】（1）利用两统计图可知本次接受随机调查的学生人数=捐款10元的人数÷捐款10元的人数所占的百分比，列式计算；图1中30元所对的圆心角度数=360°×捐款30元的人数所占的百分比，列式计算.

（2）利用平均数公式，可求出本次调查获取的样本数据的平均数；利用众数和中位数的定义，分别求出其众数和中位数即可.

（3）利用该校的总人数×捐款金额不少于30元的学生人数所占的百分比，列式计算即可.

20．如图，在中，是的边上的高，E为垂足且．

（1）试判断的形状，并说明理由．

（2）求的长．

【答案】（1）解：∵在中，，

根据勾股定理AB=，

∵，

∴△ABD是直角三角形

（2）解：∵是的边上的高，

∴S△ABD=，

∴

【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，利用勾股定理的逆定理可证得结论.

（2）利用直角三角形的两个面积公式，可求出DE的长.

21．如图，在平行四边形中，平分，交于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点．

（2）在（1）的基础上，求证：．

（3）在前面2问的基础上，若，求证：四边形是矩形．

【答案】（1）解：如图所示，为所求；

（2）证明：∵四边形是平行四边形

∴，，

∴

∵平分，平分

∴

∴

∴

（3）证明：由（1）同理可得：

∴

又由（1）得：

∴四边形是平行四边形

∵，平分

∴，

∴平行四边形是矩形

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）；角