人教版高中数学选择性必修第三册6.3 二项式定理 同步训练（含答案）

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人教版高中数学选择性必修第三册6.3二项式定理同步训练（原卷版）

考法一二项式定理展开式

【例1】(1)求的展开式为．

（2）（2023·江苏省太湖高级中学高二期中）已知，则的值为

【一隅三反】

1．（2023·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()

A．(2x+2)5B．2x5

C．(2x-1)5D．32x5

2．（2023·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：_________.

考法二二项式指定项的系数与二项式系数

【例2】（1）（2023·全国高二单元测试）在(x-)10的展开式中，x6的系数是

（2）（2023·广东佛山市·高二期末）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）

（3）（2023·安徽省蚌埠第三中学高二月考）的有理项共有项

【一隅三反】

1．（2023·北京市鲁迅中学高二月考）二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）

2.（2023·上海青浦区）在二项展开式中，常数项是_______.

3.．（2023·青海西宁市）若的展开式中的系数为7，则实数=______.

4．（2023·梁河县）已知的展开式的常数项是第7项，则________.

考法三多项式系数或二项式系数

【例3】（1）（2023·福建三明市·高二期末）的展开式中常数项是（）

A．-252B．-220C．220D．252

（2）．（2023·四川成都市）若的展开式中常数项为，则（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·全国高三专题练习）展开式中常数项为（）.

A．11B．C．8D．

2．（2023·全国高三专题练习）的展开式中常数项为()

A．B．C．D．

3．（2023·河南商丘市）的展开式的常数项为（）

A．6B．10C．15D．16

4．（2023·枣庄市第三中学高二月考）在的展开式中，x2项的系数为（）

A．30B．45C．60D．90

5．（2023·全国高二专题练习）若的展开式中的系数为，则等于（）

A．B．C．1D．2

考法四二项式定理的性质

【例2】（1）（多选）（2023·全国高二单元测试）的展开式中二项式系数最大的项是（）

A．第5项B．第6项

C．第7项D．第8项

（2）（2023·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（）.

A．第五项B．第六项C．第七项D．第八项

（3）（2023·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是

A．B．

C．D．

【一隅三反】

1．（2023·辽宁沈阳市·高二期中）在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）

A．960B．1120C．-560D．-960

2．（2023·湖南常德市）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）

A．B．C．10D．20

3．（多选）（2023·三亚华侨学校高二开学考试）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A．7B．8C．9D．10

4．（2023·全国高二课时练习）已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.

5．（2023·重庆市第七中学校高二月考）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．

考法五二项式系数或系数和

【例5】（2023·安徽省泗县）若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【一隅三反】

1．（2023·北京朝阳区·高二期末）在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.

2．（2023·全国高二单元测试）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝

3．（2023·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知，则_____.

4．（2023·宁县第二中学高二期中）设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．

（1）求n；

（2）求;

（3）求..

考法六二项式定理运用

【例6】（1）（2023·上海市七宝中学高二期中）除以100的余数是________

（2）（2023·全国高二单元测试）的计算结果精确到0.01的近似值是_________

【一隅三反】

1．（2023·四川棠湖中学高二月考）已知能够被15整除，则________.

2．（2023·江苏泰州市·泰州中学高二期中）被除所得的余数是_____________．

（2023·河北保定市）的计算结果精确到0.001的近似值是

人教版高中数学选择性必修第三册6.3二项式定理同步训练（解析版）

考法一二项式定理展开式

【例1】(1)求的展开式为．

（2）（2023·江苏省太湖高级中学高二期中）已知，则的值为

【答案】（1）＋＋54＋108x＋81x2

【解析】（1）方法一4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.

方法二4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.

（2）由得

则，即，解得.

【一隅三反】

1．（2023·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()

A．(2x+2)5B．2x5

C．(2x-1)5D．32x5

【答案】D

【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.

2．（2023·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：_________.

【答案】

【解析】

则

所以故答案为：.

考法二二项式指定项的系数与二项式系数

【例2】（1）（2023·全国高二单元测试）在(x-)10的展开式中，x6的系数是

（2）（2023·广东佛山市·高二期末）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）

（3）（2023·安徽省蚌埠第三中学高二月考）的有理项共有项

【答案】（1）9（2）70（3）6

【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系数为(-)4=9

（2）二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：70

（3）的通项公式为：，

，

，

，

所以有理项共有6项，故选：C

【一隅三反】

1．（2023·北京市鲁迅中学高二月考）二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）

【答案】60

【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：

令可得，此时.

2.（2023·上海青浦区）在二项展开式中，常数项是_______.

【答案】60

【解析】展开式的通项公式是，当时，

.故答案为60

3.．（2023·青海西宁市）若的展开式中的系数为7，则实数=______.

【答案】

【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，

令，可得，，解得：，故答案为：

4．（2023·梁河县）已知的展开式的常数项是第7项，则________.

【答案】8

【解析】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则

，故.故答案为：8.

考法三多项式系数或二项式系数

【例3】（1）（2023·福建三明市·高二期末）的展开式中常数项是（）

A．-252B．-220C．220D．252

（2）．（2023·四川成都市）若的展开式中常数项为，则（）

A．B．C．D．

【答案】（1）A（2）C

【解析】(1）由，

可得二项式的展开式通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.

（2）的展开式的通项公式为：，显然，为奇数，

若求展开式的常数项，，解得

故的展开式的常数项等于：故选：C.

【一隅三反】

1．（2023·全国高三专题练习）展开式中常数项为（）.

A．11B．C．8D．

【答案】B

【解析】将看成一个整体，展开得到：

的展开式为：取

当时，系数为：当时，系数为：

常数项为故答案选B

2．（2023·全国高三专题练习）的展开式中常数项为()

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令;令;故所求常数项为，故选C.

3．（2023·河南商丘市）的展开式的常数项为（）

A．6B．10C．15D．16

【答案】D

【解析】由题意得的展开式的通项为，

令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.

4．（2023·枣庄市第三中学高二月考）在的展开式中，x2项的系数为（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】B

【解析】在的展开式中，通项公式为Tr+1.

对于，通项公式为Tk+1xr﹣2023k，k≤r，r、k∈N，r≤10.

令r﹣2023k＝2，可得r＝2+2023k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为45，故选：B.

5．（2023·全国高二专题练习）若的展开式中的系数为，则等于（）

A．B．C．1D．2

【答案】D

【解析】将题中所给式子可化为

根据二项式定理展开式通项为,的通项为

令解得

所以的项为令解得

所以的项为

综上可知,的系数为解得故选:D

考法四二项式定理的性质

【例2】（1）（多选）（2023·全国高二单元测试）的展开式中二项式系数最大的项是（）

A．第5项B．第6项

C．第7项D．第8项

（2）（2023·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（）.

A．第五项B．第六项C．第七项D．第八项

（3）（2023·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是

A．B．

C．D．

【答案】（1）BC（2）BC（3）D

【解析】(1）因为n＝11为奇数，所以展开式中第项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC

（2）二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项

所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC

（3）∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.

的展开式的通项公式为，令，得.

∴展开式中含项的系数是，故选D．

【一隅三反】

1．（2023·辽宁沈阳市·高二期中）在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）

A．960B．1120C．-560D．-960

【答案】B

【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，

则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=28﹣r（﹣1）rx4﹣r，

令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为24（﹣1）4=1120，故选B．

2．（2023·湖南常德市）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）

A．B．C．10D．20

【答案】C

【解析】由已知，当时，即，所以展开式中常数项为，故选.

3．（多选）（2023·三亚华侨学校高二开学考试）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】ABC

【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9故选：ABC.

4．（2023·全国高二课时练习）已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.

【答案】59136

【解析】设，令，得，

所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，

该项为.故所求的系数为59136.

5．（2023·重庆市第七中学校高二月考）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．

【答案】-20

【解析】由题意知，展开式中有7项，．因为

令，得，所以常数项为．

考法五二项式系数或系数和

【例5】（2023·安徽省泗县）若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）27；（2）14；（3）27.

【解析】（1）令，可得，

∴．①

（2）令可得，

∴．②

由①②得，

∴．

（3）由题意得二项式展开式的通项为，

∴每项的系数，

∴．

【一隅三反】

1．（2023·北京朝阳区·高二期末）在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.

【答案】

【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，

令可得所有项的系数之和为，故答案为：，

2．（2023·全国高二单元测试）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝

【答案】1

【解析】令，得，令，得，

.故选：A.

3．（2023·福建厦门市·厦门双十