第二十一章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含答案）

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知识点回顾

1、一元二次方程的定义：

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2、一元二次方程的解法

(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，

配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；

②移项——把常数项移项到等号的右边；

③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；

④开方，即降次；

⑤解一次方程。

(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。

3、一元二次方程与实际问题

解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

一、选择题

1．若是关于的一元二次方程，则（）

A．B．

C．D．且

2．已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（）

A．B．C．D．

3．九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（）

A．B．

C．D．

4．一元二次方程配方后可变形为（）

A．B．C．D．

5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）

A．B．且C．且D．

6．方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

7．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和-1，则的值为（）.

A．-1B．1C．2D．-2

8．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（）

A．35B．53C．62D．35或53

二、填空题

9．将方程化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是，一次项系数是．

10．若关于的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．

11．若m是方程x2-3x+1=0的一个根，则2m2-6m+3的值为。

12．已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为．

13．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年9月份的7000元/m2下降到11月份的5670元/m2，则10、11两月平均每月降价的百分率是．

三、解答题

14．解方程

（1）x2＋4x－21=0

（2）(2x+1)(x-3)=-6

15．已知：关于的方程．当m为何值时，方程有两个实数根．

16．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

17．已知关于的一元二次方程.

（1）若此方程的一个根是，求方程的另一根；

（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；

（3）设该一元二次方程的两根为，，且2，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值.

18.为了防控“新冠肺炎”疫情，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种8元/瓶，乙种12元/瓶．

（1）如果购买这两种消毒液共用1040元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？

（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，且所需费用不多于1200元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

19．某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5元．

（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？

（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？

（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？

参考答案

1．B

2．C

3．A

4．A

5．C

6．B

7．A

8．D

9．3；-7

10．且

11．1

12．1

13．10%

14．（1）解：，

，

，，

，；

（2）解：，

整理得：，

，

，，

，；

15．解：∵方程有两个实数根，∴△≥0；

（-2m）2-4（m-1）（m+3）≥0；

∴；

又∵方程是一元二次方程，∴m-1≠0；

解得m≠1；

∴当且m≠1时方程有两个实数根．

16．解：设垂直于墙的一边为x米，得：

x（58﹣2x）=200

解得：x1=25，x2=4

∴另一边为8米或50米．

答：当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4米．

17．（1）解：设方程的另一个根为，

根据根与系数的关系得，，

，

解得，

即方程的另一个根为5

（2）证明：

，

，

这个一元二次方程一定有两个实数根

（3）解：解方程得，，

即，或，，

，，分别是一个直角三角形的三边长，

或，

解方程得，舍去，

解方程得，舍去.

即的值为或.

18.（1）解：设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，

依题意得：

解得：

答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶

（2）解：设可以在购买甲种消毒液m瓶，则再购买乙种消毒液（2m-4）瓶

依题意得：8m+12（2m-4）1200

解得：

答：甲种消毒液最多能再购买39瓶

19．（1）解：根据题意得：（元），

答：当每辆车的日租金定为300元时，公