2021-2022学年高二年级下册学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册：导数全章

5.1.1变化率问题提升训练

一、选择题

在平均变化率的定义中，自变量的改变量Ax满足（）

A.4%>0B.4%<0C.H0D.Ax=0

已知函数y=/（%）,当自变量%由改变到+Ck为常数）时，函数值的改变量Ay为

()

kAx)kAx

A./(x0+B./(x0)4-

C.y(x)-kAx

0D.f(x0+fc4x)-/(x0)

设函数/（x）=/+ax,且妈产铲=1,则a=（）

A.B.C.D.-1

某物体的运动方程为s（£）=3/（位移单位：m,时间单位：s）,若1；=lim上吟^=18m/s,

加->0At

则下列说法中正确的是（）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s到（3+4t）s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+4£）s这段时间内的平均速度

若曲线/（%）=%2的一条切线I与直线%+4y-8=0垂直，则I的方程为（）

A.4%—y—4=0B.x4-4y-5=0

C.4%—y+3=0D.x+4y+3=0

2

已知y=x,在％=1和％=—1附近，取4%=0.3,相对应的平均变化率分别是ki，k29则fcx与

k2的关系是（）

A./q<k2B.k]>k2C.fci=k2D.不能确定

已知曲线/式%)=2—：与fM=%3—%2+2x在处的切线的斜率之积为则的值为

2x=x03,x0

()

A.-2B.1C.

设P为曲线C:y=X2+2X+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[=,=）,则点

P横坐标的取值范围为()

A.°°,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.昌+8）

二、多选题

我们常用函数y=/(%)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x

由改变到时，()

x0xo+4x

A.函数值的改变量为“xo+dx)-/。。)

B.函数值的改变量为小。+乎-“"。)

C.平均变化率为f(a+Ax)-f(&)

D,平均变化率为伊+*9)

Ax

函数/(x)的图象如图所示，/'(%)是/(X)的导函数，则下列式子正确的是()

A.o</'（i）B.r（i）<r（2）

C.f（2）</（2）-/（l）D.</'（1）

八2）-f（2-34X）=2,则（）

设函数/(x)存在导数且满足lim

Ax-^G3Ax

A.曲线y=f(x)在点(2/(2))处的平均变化率为2

B.曲线y=/(%)在点(2J(2))处的瞬时变化率为6

C.曲线y=f(x)在点(2J(2))处的切线斜率为2

D.曲线y=/(%)在点(2J(2))处的切线斜率为6

若函数y=/Q)在区间(。而)内可导，且xoe(afb)f则()

j|二（%0一九）--g）_r'

A.m

h->0hJ

B.1面8°-"）-八珀=-广（&）

h->0h

C.若limf（xo-24x）-f（x。）=2,贝'（）=一］

Ax-^O4%

D.若lim“e泡-"x"=2,则/'（x）=-

Ax-^O20

三、填空题

已知函数y=j，当自变量x由2变到|,函数值的改变量4y为.

2

一物体的运动方程为s=7t-13t+8,且在t=t0时的瞬间速率为1,则t0=.

汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段［t2.t3］内的平均

速度分别是正，v2,2，则三者的大小关系为.

若函数y=log3x在［a,a+l］(a>0)上的平均变化率大于1,则a的取值范围为.

四、解答题

平均变化率也可以用式子?表示，其中Ay,Ax的意义是什么？?有什么几何意义？

每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10

万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案可供选择：

方案一：每年植树1万平方米；

方案二：每年树木面积比上一年增加9%.

哪种方案较好？

若函数/(x)=-x2+x在［2,2+zlx］(21x>0)上的平均变化率不大于一1,求4%的取值范围.

回答下列问题.

(1)计算函数/(x)=x2从x=1到x=1+的平均变化率，其中Ax的值为：①2：②1；

③0.1；(4)0.01；

(2)思考：当4%越来越小时，函数/(x)在区间［1,1+Ax］上的平均变化率有怎样的变化趋势？

5.1导数的概念及其意义提升训练

一、选择题

(1+4%)2-1

lim表示)

Ax-^OAx

A.曲线y=/切线的斜率

B.曲线y=x2在点(i,i)处切线的斜率

C.曲线y=-x2切线的斜率

D.曲线y=-%2在(1,一1)处切线的斜率

已知函数的图象如图所示，则尸(乙)与的大小关系是()

y=/(x)f(xB)

A.r(4)>/'(xg)B.r4)</,(%e)

C.尸(以)=/'(XB)D.不能确定

/(l)-/(l-2X)_则曲线y=/(x)在点(1J(D)处的切线斜率为

设/(X)为可导函数且满足lim=1；

X-»02X'

()

A.2B.-1C.1D.-2

做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)=l+ex,则质点沿着与F(x)相同的方向，从点与=

处运动到点处，力所做的功是()

0x2=1F(x)

A.1+eB.eC.-D.e—1

e

若曲线f(%)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3%-y-2=0,则()

A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1

C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1

函数/(X)=X3+X-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x—l,则P点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)或(-1,一4)D.(2,8)或(-1,-4)

设P为曲线C:y=/+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为棺4)，则点

P横坐标的取值范围为()

A.(-00,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.层,+8)

X

/(x)=3%与f(%)=3在区间［a,a+l］上的平均变化率分别为k2，当k2>时，a的取

值范围为()

A.(0,4-oo)B.(-8,0)

C.(-OO,10g3|D.(log3|,+co)

二、多选题

我们常用函数y=/(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x

由%0改变到+4%时，()

A.函数值的改变量为/(g+4幻一/(%0)

B.函数值的改变量为

Ax

C.平均变化率为/(x0+Zlx)-f(殉)

D.平均变化率为—义-世。)

设函数/(%)存在导数且满足lim=2,则()

4x-»03Ax

A.曲线y=/(x)在点(2)(2))处的平均变化率为2

B.曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的瞬时变化率为6

C.曲线y=/(X)在点(2,/(2))处的切线斜率为2

D.曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为6

若函数y=/(%)在区间(a,b)内可导，且与6^力)，则()

A.lim色以上3=/'(x0)

”->0h

B.Hm△和潦乜辿=-广(尤°)

h->0h

C•若刖产廿^=2,则/(劭)=-1

D.若lim""产—口。)=2,则/''(沏)=-

Ax-^0442

已知函数/(%)的定义域为R,其导函数/'(%)的图象如图所示，则对于任意XI，X2€R(X14X2),

下列结论正确的是()

A.(Xi-x2)[/'(%1)-/(%2)]<0

B.(%!-X2)[/(Xj-/(X2)]>0

/(中)2

f(%l)+f(%2)

D.<

外中)2

三、填空题

已知函数y=:,当自变量%由2变到|,函数值的改变量4y为.

己知y=f(x)=7x2+8,则f(x)的导函数f'(x)=.

2

一物体的运动方程为s=7t-13t+8,且在t=场时的瞬间速率为1,则t0=•

已知某物体的运动方程是s=q9：夕。、2则该物体在t=i时的瞬时速度为；在

(29+3(t—3),t>3

t=4时的瞬时速度为.

四、解答题

2

已知函数/(%)=3%+2,求函数/(%)在区间［几/o+AH上的平均变化率，并求当%0=2,Ax=

0.1时平均变化率的值.

求函数y=V%2+1在1=0处的导数.

在曲线y=/(%)=/+3上取一点P(l,4)及附近一点(l+4x,4+4y),求:

⑴%

Ax

(2)/'(I).

试求过点”(1,1)且与曲线y=%3+1相切的直线方程.

已知直线％为曲线丫=/+》-2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且Zx1Z2.

(1)求直线12的方程；

(2)求由直线lr,12和x轴围成的三角形的面积.

己知曲线C：y=x3.

(1)求曲线C在横坐标为%=1的点处的切线方程，并判断该切线与曲线C是否还有其他的公共点,

若有，求出公共点；

⑵求曲线C过点(1,1)的切线方程.

5.2导数的运算提升训练

一、选择题

2x

已知/(x)=x+ef则f'(0)=()

A.0D.1

设y=-2exsinx,则y'等于()

A.—2excosxB.—2exsinx

C.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)

已知/(%)=/+则f'(2)=()

A.1B,2C.4D.8

设函数/(x)=xsinx+cosx的图象在点处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的图象一

部分可以是()

4

已知f(x)=ax+bcosx4-7%-2.若f(2022)=6,则广(一2022)=()

A.-6B.-8C.6D.8

设函数/(%)=sinx-cosx,f(x)的导数记为/,(%),若/,(x0)=2/(x0)»则tanx0=()

A.-1B.iC.1D.3

3

曲线/(%)=e^lnx在％=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()

A.-B.-C.eD.2e

42

已知数列为等差数列，｛5｝为等比数列，且满足：+a2022=n，瓦•b2023=2,/(x)=cosx,

/1(%)为/(%)的导数，则r(詈当生■)=()

\l+b2b2O22^

A.-在B.iC.在D.-i

2222

二、多选题

下列函数求导正确的是()

A.y—ln3,则y'=|B.y=2%—1,则y'=1

xcxm|i,sinx-cosx

C.y=e*+1,则y'=eD.y=―,贝I]y=,.、2

smx/(smx)z

若函数f(x)的导函数/'(x)的图象关于y轴对称，则/(x)的解析式可能为()

A./(x)=3cosxB./(x)=x3+x

C./(x)=x+D./(x)=ex+x

已知函数/(x)=4sin(3x+0)(A>0,a>>0,Iw|</)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+

则下列关于函数g(x)的说法正确的是()

A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kp—》k€Z)

B.函数g(x)的最大值为2

C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线/：y=3x-l平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为右，x2,则lx1一小I的最小值为三

给出定义：若函数f(x)在D上可导，即/,(%)存在，且导函数/'(x)在D上也可导，则称/(%)在

D上存在二阶导函数，记r'(x)=(ra)y,若/"(%)<o在D上恒成立，则称/(%)在D上为凸

函数.以下四个函数在(0弓)上不是凸函数的是()

A./(x)=sinx—cosxB./(x)=Inx—2x

C./(x)=—x3+2x—1D./(x)=xex

三、填空题

若函数r(x)=《，则ro)=.

设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，贝Ua=.

已知函数/(%)=ex(-2x2+ax+l)(a6R),g(x)=0^)'，若g(0)=2,则a=.

给出定义：若函数/(x)在D上可导，即r(x)存在，且导函数r(x)在D上也可导，则称/(x)在

D上存在二阶导函数，记/"(x)=(/'(%))'.若/"(X)<0在D上恒成立，则称/(X)在D上为凸

函数.以下四个函数在(0彳)上是凸函数的是(把你认为正确的序号都填上).

①/'(x)=sinx+cosx；

②/(x)=Inx—2%；

③f(x)——x3+2%—1；

④/(x)=xex.

四、解答题

求下列函数的导数.

(1)y=x-2+%2.

⑵y-3xex—2"+e.

Inx

⑶y=k

(4)y=x2—4sin^cos|.

设/(x)=a(x-5)24-61nx,其中a6R,曲线y=/(%)在点处的切线与y轴交于点

(0,6),试确定a的值.

已知函数/(%)=3%4-cos2x+sin2x,/'(x)是/(x)的导数，。求过曲线y=炉上点

P(a,b)的切线方程.

设函数/(%)=aexlnx+

⑴求导数/1(%);

(2)若曲线y=/(%)在点(1,/(!))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.

已知函数/(x)=|x3-2x2+3x(xGR)的图象为曲线C.

(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.

已知函数/(x)=-x3+9x2-26x+27.

(1)若/(%)在％=与%=%2(%1。％2)处的导数相等，证明：f(%l)+f(%2)为定值，并求出该

定值；

(2)已知对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=/(%)有唯一公共点，求实数a的取值范围.

5.3导数在研究函数中的应用提升训练

一、选择题

已知函数/(%)=ex-x的单调减区间为()

A.(-co,1)B.(1,+8)C.(—8,0)D.(0,+00)

下列函数中，在(0,+8)内为增函数的是()

A.y=sinxB.y=xexC.y=x3—xD.y=Inx—x

若函数/(%)对任意xWR都有r(x)>f(x)成立，则()

A.37(ln5)>5/(ln3)

B.3/(ln5)=5/(ln3)

C.37(ln5)<5/(ln3)

D.3/(ln5)与5/(ln3)的大小不确定

已知/(%)=2x3—6x2+m(m为常数)在[—2,2]上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小

值为()

A.-37B.-29C.—5D.-11

200都有誓箸>1，贝恢

已知函数/(%)=ax-%+l(a丰0),若任意xltx26[1,+)且％iH不

数a的取值范围()

A.[1,+8)B.(0,1]C.[2,4-00)D.(0,+oo)

若函数/(%)=ex(sinx+acosx)在弓1)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(-00,1]B.(-co,1)C.[1,+oo)D.(1,+oo)

若直线l:x-a与函数/(x)=x2+1,g{x)-|lnx的图象分别交于点P,Q,当P,Q两点距离最

近时，a=()

A.—B.—C.1D.-

222

设定义在D上的函数y=ft(x)在点P(%o，h(&))处的切线方程为，:y=g(x),当x丰X。时，若

M*)-g(x)>0在口内恒成立，则称P为函数y=%(x)的"类对称点"，则"X)=/一6x+41nx的

X-XQ

"类对称点"的横坐标是()

A.1B.V2C.eD.V3

二、多选题

已知函数y=/(x)的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是()

A.-i是函数y(x)的极小值点

B.-3是函数/(x)的极小值点

C.函数/(x)在区间(—3,1)上单调递增

D.函数/(%)在x=0处切线的斜率小于零

已知函数f(x)=eXx3,则下列结论正确的是()

A./(X)在R上单调递增

"今<

B./0og52)<//(Imr)

C.方程/(x)=-1有实数解

D.存在实数k,使得方程/(%)=以有4个实数解

已知定义在［。弓)上的函数/