函数的奇偶性函数公开课一等奖课件省赛课获奖课件

3.1.3

函数奇偶性函数第1页第2页一二知识点一、奇、偶函数定义1.思考提醒:y=定义域为{x|x≠0},通过对一系列互为相反数x值代入函数式可得:若x取值互为相反数,则其函数值相等.即对x∈{x|x≠0}总有f(-x)=f(x)成立,我们把此类函数称为偶函数.②你还能得出函数f(x)=x5在x∈R时仍有上述(1)问中规律吗?提醒:f(x)=x5满足规律是对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把此类函数称为奇函数.(2)一种函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?提醒:一种函数若具有奇偶性,其定义域一定有关原点对称,这等价于定义中“对D内任意一种x,都有-x∈D”这一说法.第3页一二2.填写下表:设函数y=f(x)定义域为D,假如对D内任意一种x,都有-x∈D,第4页一二3.做一做(1)下列函数是偶函数为(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数为(

)A.y=x-1 B.y=3x2答案:D第5页一二知识点二、奇、偶函数图像特性1.思考(1)假如f(x)图像有关原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提醒:f(x)图像有关原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).由于f(x)在x=0处有定义,因此f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一种点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?提醒:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.第6页一二2.填空(1)偶函数图像有关y轴对称;反之,结论也成立,即图像有关y轴对称函数一定是偶函数.(2)奇函数图像有关原点对称;反之,结论也成立,即图像有关原点对称函数一定是奇函数.名师点拨

奇函数在其对称区间上单调性相同,偶函数在其对称区间上单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同最大(小)值.第7页一二3.做一做图中表达偶函数图像是

(填序号).

第8页一二解析:①中函数定义域不有关原点对称,因此①表达不是偶函数图像;②中函数图像不有关y轴对称,因此②表达不是偶函数图像;③中函数定义域有关坐标原点对称,而图像又有关y轴对称,因此③表达是偶函数图像;④中函数定义域有关原点对称,且图像有关y轴对称,因此④表达是偶函数图像.故填③④.答案:③④第9页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断函数奇偶性例1判断下列函数奇偶性:分析:先求定义域,验证定义域是否有关原点对称,再看f(-x)与f(x)关系,进而做出判断.第10页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第11页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第12页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第13页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟如何判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性一般不用其定义,而是利用定义等价形式,即考查f(-x)与f(x)关系,详细步骤如下:(1)求f(x)定义域;(2)若定义域不有关原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域有关原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)关系.2.对于某些较复杂函数,也能够用如下性质判断函数奇偶性:(1)偶函数和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;(2)奇函数和、差仍为奇函数;(3)奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;(4)一种奇函数与一种偶函数积为奇函数.第14页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列函数是偶函数为(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]解析:选项A中,函数定义域不有关原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也有关原点对称,因此函数是偶函数.答案:D第15页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由函数奇偶性求函数解析式例2

已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)体现式.分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上解析式.解:令x<0,则-x>0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)体现式为f(x)=x|x+2|.第16页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由函数奇偶性求函数解析式解题策略1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上解析式,则能够利用函数奇偶性求出对称区间上解析式,其解题理论为函数奇偶性定义.正用定义能够判断函数奇偶性,逆用能够求出函数在对称区间上解析式.2.结论:(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时解析式,则x<0时解析式只需将原函数式y=f(x)中x,y分别替代为-x,-y,然后解出y即可.(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时解析式,则x<0时解析式只需将原函数式y=f(x)中x替代为-x,y不变,即得x<0时解析式.第17页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)体现式?解:只需将f(0)单独求出.由于f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,因此f(0)=0.又由于f(x)=x|x+2|,x<0,因此f(x)=x|x+2|,x≤0.延伸探究

第18页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测奇、偶函数图像应用例3若函数f(x)是定义在R上偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0x取值范围是(

)A.(-∞,2) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)解析:由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图草图.由图可知使f(x)<0x取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.答案:C第19页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟函数奇、偶性应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质研究,这样可避免作图盲目性和复杂性.2.利用函数奇偶性作图,其根据是奇函数图像有关原点对称,偶函数图像有关y轴对称.因此在研究此类函数性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上性质(或图像).第20页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2奇函数f(x)定义域为[-5,5],它在y轴右侧图像如图所示,则f(x)<0x取值集合为

.

解析:奇函数f(x)在[-5,5]上图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.由于其图像有关原点对称,因此x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,因此使f(x)<0x取值集合为{x|-2<x<0,或2<x<5}.

答案:{x|-2<x<0,或2<x<5}第21页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用函数单调性与奇偶性解不等式典例

设定义在[-2,2]上奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m),求实数m取值范围.解:由于f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,因此f(x)在[-2,2]上是减函数.办法点睛

利用函数奇偶性和单调性解不等式处理此类问题时一定要充足利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,列出不等式(组),同步不能遗漏函数本身定义域对参数影响.第22页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.(多项选择)下列函数是偶函数为(

)A.f(x)=x2 B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD第23页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.有下列说法:①偶函数图像一定与y轴相交;②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函数也是偶函数函数一定是f(x)=0,x∈R;④若一种图形有关y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数图像.其中不正确是(

)A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处也许无定义;③中也能够是f(x)=0,x∈A(A为有关原点对称数集);④中该图形也许不是函数图像.故①②③④均错误.答案:D第24页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.

解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+5×23+2b=-18.∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.答案:-26第25页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)是定义在R上偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当x∈(0,+∞)时,f(x)=

.

解析:办法一:由于是填空题,故可采取直接代换法,将x用-x替代,即答案为-x-x4.办法二:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x).∴f(x)在区间(0,+∞)上函数体现式为f(x)=-x-x4.答案:-x-x4第26页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.函数f(x)(x∈R),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.第27页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:先判断f(x)奇偶性,再根据图像特性补全函数f(x)图像;证明f(x)+g(x)=1关键是先求出g(x)解析式.(1)如图是f(x)在区间[0,+∞)内图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内图像,请说明你作图根据;(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).第28页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第29页1、只要有坚强意志力，就自然而然地会有能耐、灵巧和知识。2、你们应当培养对自己，对自己力量信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而取得。3、坚强信念能赢得强者心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠信念所支持人意志，比那些似乎是无敌物质力量有更强大威力。6、永远没有人力能够击退一种坚决强毅希望。7、意大利有一句谚语：对一种歌手要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我目前按照这一公式拙劣地摹仿为：对一种要成为不负于高尔基所声称那种“人”要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。10、发觉者，尤其是一种初出茅庐年轻发觉者，需要勇气才能忽视他人冷漠和怀疑，才能坚持自己发觉意志，并把研究继续下去。11、我本质不是我意志成果，相反，我意志是我本质成果，由于我先有存在，后故意志，存在能够没故意志，不过没有存在就没故意志。12、公共利益，人类福利，能够使可憎工作变为可贵，只有开明人士才能懂得克服困难所需要热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志出现不是对愿望否认，而是把愿望合并和提升到一种更高意识水平上。15、无论是美女歌声，还是鬓狗狂吠，无论是鳄鱼眼泪，还是恶狼嚎叫，都不会使我动摇。16、虽然遇到了不幸灾难，已经开始了事情决不放弃。17、最可怕敌人，就是没有坚强信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。19、意志若是屈从，无论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强人，才有神圣意志，凡是战斗人，才能取得胜利。23、卓越人一大长处是：在不利和艰难遭遇里百折不挠。24、疼痛强度，同自然赋于人类意志和刚度成正比。25、能够岿然不动，坚持正见，度过难关人是不多。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来，因此才能坚硬和什么也不怕。我们一代也是这样在斗争中和可怕考验中锻炼出来，学习了不在生活面前屈服。27、只要连续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一种崇高目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入”。只有当勉为其难地一步步向它走去时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达成它。33、告诉你使我达成目标奥秘吧，我唯一力量就是我坚持精神。34、成大事不在于力量大小，而在于能坚持多久。35、一种人所能做就是做出好楷模，要有勇气在风言风语社会中坚定地高举伦理信念。36、虽然在把眼睛盯着大地时候，那超群目光仍然保持着凝视太阳能力。37、你既然盼望辉煌伟大一生，那么就应当从今天起，以毫不动摇决心和坚定不移信念，凭自己智慧和毅力，去发明你和人类快乐。38、一种有决心人，将会找到他道路。39、在希望与失望决斗中，假如你用勇气与坚决双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活道路一旦选定，就要勇敢地走究竟，决不回头。42、生命里最主要事情是要有个远大目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙旅人落在沉着后边；飞奔骏马落在后头，缓步骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大事业需要始终不渝精神。48、思想形成，首先是意志形成。49、谁有历经千辛万苦意志，谁就能达成任何目标。50、不作什么决定意志不是现实意志；无性格人历来不做出决定。我终生等候，换不来你刹那凝眸。最美不是下雨天，是曾与你躲过雨屋檐。征服畏惧、建立自信最快最确实办法，就是去做你胆怯事，直到你取得成功经验。真正爱，应当超越生命长度、心灵宽度、灵魂深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次提炼呵，就不会这样可口！人格完善是本，财富确实立是末能力能够慢慢锻炼，经验能够慢慢积累，热情不能够没有。无论什么东西，总是以为，他人比自己好！只有经历过地狱般折磨，才有征服天堂力量。只有流过血手指才能弹出世间绝唱。对时间价值没有没有深切结识人，决不会坚韧勤勉。第一种青春是上帝给；第二个青春