医用物理学章机械振动和机械波专家讲座

弹簧振子弹簧振子由一个轻弹簧、一个质量为m物体块组成理想模型.弹簧一端被固定不动,另一端与物体相连.假设弹簧质量很小,物体块与地面摩擦力忽略不计.当弹簧偏离平衡位置时,弹簧恢复力与物体位移成反比.

§3-1弹簧振子和简谐振动mxOF医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第1页简谐振动(simpleharmonicmotion)简谐振动描述了弹簧振子运动.

将胡克定律F

=-

kx及牛顿第二定律F

=

ma联立，并将加速度a用微分形式表示有该微分方程解为令医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第2页上述微分方程称为简谐振动方程,其数学解描述了弹簧振子位移与时间之间关系,称为简谐运动方程.

许多物体运动类似弹簧振子运动,凡是能够用简谐振动方程描述运动其位移与时间关系均能够用运动方程来描述.如单摆、复摆在理想条件下运动都能够用简谐运动方程描述.它们也统称谐振子.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第3页简谐运动方程中A、ω、φ分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描述了振动最大位移、单位时间内往返次数和振动点初始位置.从简谐运动方程中能够看到：简谐振动振幅为一与时间和频率无关常数;而位移是按周期在有限区域内往复改变,而且和初始位置相关.

振幅、圆频率和初相位是决定振动详细位移大小和速度大小决定性参数,所以称为振动三要素.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第4页简谐运动速度与加速度简谐运动方程指出了位移与时间关系.对位移进行一次微分能够得到在该位移处速度,进行两次微分能够得到在该点加速度.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第5页单摆与复摆单摆与复摆结构如图所示.它们受力都能够用简谐振动方程描述.其运动都能够用简谐运动方程表示,都是谐振子一个.mg

mg

单摆复摆医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第6页

复摆运动：装置如图,当刚体偏离平衡位置时,它受到一恢复力矩,其大小为M=rmgsin

mg

由转动定律M

=I

有rmgsin

=-I

将sin

小角度近似为

,整理并将上式写成微分形式有

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第7页设

并将变量改变为x,则方程改变为方程形式与弹簧振子振动方程一样,所以运动数学描述也与弹簧振子相同.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第8页简谐运动方程求解设弹簧振子以下列图所表示,用外力将物块拉到距平衡位置x=6cm处,然后撤掉外力,以撤掉外力时刻为计时起点,求该振动运动方程.设物块质量

m=0.02kg,弹簧劲度系数k=0.02

2N·m-1.mxOF医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第9页解：以x轴向右为正方向建立坐标系,由题给定条件,系统运动为一简谐运动,其运动方程为解出简谐运动三个要素就能够得到该系统运动方程.由

定义有医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第10页代入以上结果,求出该弹簧振子简谐运动方程为从已给条件知道,系统在撤去外力后最大位移为6cm,而在系统运动过程中不再有外力作用在系统,所以该简谐运动振幅为A=0.06m.从已知条件可知,在t=0时,x=6.0cm,即代入A=0.06,有cos

0=1,

0=0SI医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第11页求解简谐运动方程普通过程：依据题意确认振动过程为简谐运动.

建立适合求解坐标系.

依据已给条件求出振幅与圆频率.

依据初始位置和初始速度求出初相位.

将得到各参数带入运动方程通解得到适合题意特解.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第12页运动方程说明位移是时间函数,以时间为横坐标,以位移为纵坐标绘出位移与时间关系图,这种图称为时序图.该图能够清楚表示时间与位移之间关系.§3-2简谐运动方程图像表示tTxA医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第13页假如以位移为横坐标,以质点在该位移处速度为纵坐标绘图,这种图称为相图.相图反应了速度与位移关系.这两种图形都是振动研究中惯用图形.注意：曲线闭合性说明了谐振子系统能量守恒.

xO医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第14页简谐振动能量简谐振动是一个理想过程,它总能量在运动过程没有损耗,即在振动过程中总能量守恒.能量形式在动能和势能之间相互转换.其中势能为动能为总能量为二者之和,即医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第15页§3-3简单非理想振动真实物理世界振动并非都靠近理想情况.在自然状态下,振子在振动时普通会受到摩擦阻力作用而使运动能量减小.在人为状态下,为了维持振动能够施加策动力.非理想情况振动可归类为：阻尼振动和受迫振动.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第16页振动在自然状态下自然减弱过程称为阻尼振动.阻尼振动可分为：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼.下列图(左、中)显示了阻尼振动振幅与时间关系.其中左图是欠阻尼振动状态,中图两条曲线分别为过阻尼和临界阻尼状态下振动.阻尼振动时序图和相图在时序图上能够看出阻尼不一样,振子回归零点时间也不一样.右图是一个欠阻尼振动相图,它显示了一个在欠阻尼状态下振子在经历一系列位移和速度改变后,振子回归零点过程.xAAttT

>

0

=

0医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第17页欠阻尼和过阻尼振动方程阻尼振动是一个复杂振动,在不严格情况下做实际分析时有些问题能够简化.假设振动中摩擦阻力与运动速度成正比,百分比系数为

,则振动方程可写为方程解在阻尼力不一样时有不一样形式.其中,

为阻尼系数.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第18页共振(resonance)：受迫振动中存在一个特殊状态——共振,当策动力与振动系统固有频率靠近时产生共振.演示：小电机轴上安装一个偏心轮,电机被固定在一个弹簧上.当电机转动时偏心轮不平衡重力周期性给弹簧一个作用力.当电机旋转速度改变时,作用力周期伴随转动速度而改变.当这个周期与弹簧–电机组成系统固有频率相靠近时共振产生了.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第19页共振和临界阻尼在实际问题中应用比较多.比如各种乐器、电子仪器里振荡器、振动培养器等都利用了共振现象.共振现象有时是有害.在指针显示式仪表里大多数都有临界阻尼装置.自然界振动是复杂,也是我们所了解不多.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第20页§3-4简谐振动合成与分解在振动平面上建立坐标系能够把振动分为几类.假如振动只发生在一个方向上,即用一个坐标就能够描述振动过程(比如第一节简谐振子方程描述运动)称为一维振动.假如需要用2个或3个坐标描述振动过程,则称这种振动为二维振动或三维振动.所谓振动合成就是把不一样参数振动或不一样维振动叠加在一起.所谓振动分解就是把一个复杂振动分解为几个简单振动.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第21页一维振动合成(一)同频率同方向简谐振动合成设两个振动方程分别为合成结果能够用数学方程解得其中A为合振动振幅,其大小为医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第22页注意合振动振幅A表示式含有两个分振动相位之差

2-

1.公式表明当相位差为0时或为2

倍时合振幅最大,是两个分振动振幅之和;当分振动相位差为

奇数倍时,合振幅最小,为两个分振动振幅之差.尤其,若此时假如两个分振动振幅相等,合振动振幅为0,振动消失.以上分析说明：两个同频率、同方向简谐振动合成结果依然为简谐振动,其振幅由两个分振动相位差决定.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第23页

(二)同方向不一样频率振动合成医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第24页频率较大而频率之差很小两个同方向简谐运动合成，其合振动振幅时而加强时而减弱现象叫拍.讨论,情况医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第25页合振动频率振幅部分振幅振动频率医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第26页拍频（振幅改变频率）医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第27页拍及其应用把以上叠加表示式分成两部分：相加部分和相减部分,其中相减部分称为拍.拍概念在两个频率相近时有很多应用.在现实生活中不一样频率叠加技术使用非常普遍.比如低频声振动因为能量和吸收原因不能转播很远,而高频电磁波又不能被人类直接感觉到.利用振动叠加原理,将声振动与高频电磁振动相叠加就得到了我们日常生活中电视信号和广播信号.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第28页二维振动合成(一)同频率垂直振动合成两个振动分别用x和y表示.

其叠加结果用三角公式能够得到：医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第29页

2-

1=

0时此方程可简化为

2-

1

=

时,方程可简化为结果也为一直线方程,只是方向改变了.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第30页即两个相互垂直、相位差为振动叠加后为一平面上椭圆振动.此时方程简化为椭圆方程

当

需要指出是,从方程表示上看相位取正负结果都是一样,但实际上振动过程是不一样.一个顺时针,一个逆时针.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第31页(二)不一样频率垂直振动合成假如两个简谐振动频率相差比较大,但有简单整数比时,则合振动又含有稳定封闭轨迹.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第32页图示是频率比分别为2:1和3:1时合成振动轨迹.这种频率成简单整数比时所得稳定轨迹图形叫做李萨如图形(Lissajous’figures).医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第33页简谐运动合成图两相互垂直同频率不一样相位差医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第34页五两相互垂直不一样频率简谐运动合成测量振动频率和相位方法李萨如图医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第35页振动分解物理学理论和试验都能够证实,一个复杂振动能够分解为若干个简谐振动.或者说,任何一个周期性振动都能够看成几个不一样频率简谐振动合成,而非周期振动能够是无限多个不一样频率简谐振动合成.组成一个复杂振动全部振动频率集合称为频谱.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第36页将复杂振动分解数学原理可利用傅里叶级数,在工程技术上,利用傅里叶算法或原理对复杂振动进行分解或分析技术被称为傅里叶分析.经过傅里叶分析,我们能够得到复杂振动频谱,这对人类了解自然、了解自己开辟了一个窗口.频谱成份表示了振动一些不能直接观察到或不易描述特征.比如语言特征,只能从频谱成份上定量区分不一样人语言特征.经过噪音频谱分析能够知道噪音起源.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第37页依据傅里叶级数,任何复杂周期函数都能够表示为式中b0,b1,b2,…,c1,c2,…是一组常量.每一常量大小代表对应简谐振动在合成振动x(t)中所占相对大小.常量b0表示x(t)在一周期内平均值,它能够是零,也能够是不为零某一值,视x(t)实际情况而定.上式称作复杂振动x(t)傅里叶级数.注意当n

2时各项中频率值均为n=1频率整数倍.n=1对应频率称为基频,对应n

2各频率值称为谐频.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第38页下面图形分别是脉搏时序图和对应傅里叶频谱图.人类脉搏是一个准周期振动,用傅里叶分解技术能够将它分解,不一样人脉搏其分解得到成份也不相同,它比图形有更多数字信息.脉搏振动图形及其频谱图中显示了一位学生在平静条件下脉搏图形及其频谱医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第39页频谱分析技术是当代科学与技术结晶当代频谱分析技术是各种学科交叉结果.数学上傅里叶变换提供了理论基础,物理学实践证实了数学理论可实现性,结累计算机应用快速傅里叶改变算法提供了能够实时处理方法,大规模集成电路技术将软件硬件化更是将频谱分析技术推到应用高峰.几乎全部工程技术领域都在使用频谱分析技术,如电子信号处理、语音识别、图像识别都使用了频谱分析技术.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第40页调制与解调广义振动包含了电磁振动.人类是经过语言进行交流,但语言无法进行远距离传输.高频电磁信号能够传输很远距离,于是人们将语言信号与高频电磁信号混合,然后经过发射天线将混合有语言信息高频电磁信号发射出去.这个过程在工程上称为调制.医学领域血压、细胞电位等信号均为低频信号,这些信号在放大处理时会碰到所谓静态漂移问题,为处理这个问题,生物放大器中也广泛利用调制技术.调制反过程称为解调.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第41页§3-5简谐波什么是简谐波？机械振动在弹性介质中传输称为机械波.试验证实：当物体振动时(振源)对应波动属性(周期、波形等)是相同.所以,当波源做简谐振动时,其传输过程就称为简谐波.光波在本质上与机械波不相同,但其波动属性能够用简谐波描述.波动中介质质点位移y由时间t和距离原点距离x及波动初相位决定,是t和x二维函数.注意：与振动图像不一样,波动图像普通以x为横轴坐标名称.OxyAu医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第42页简谐波传输由弹性力联络着微粒所组成介质,叫做弹性介质(elasticmedium).振动物体在弹性介质中振动时,因为弹性力联络,就把这种振动在介质中依次传输出去.机械振动在介质中传输过程,叫做机械波(mechanicalwave).比如,液体表面波、声波以及在液态物质内部传输弹性波都是机械波.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第43页机械波传输过程依赖弹性介质,弹性介质性质决定了波传输时特征.当介质密度(或切变模量)较大时,机械波以横波方式传输,即振动方向与传输方向垂直.当介质密度较小(或体变模量较大)时机械波以纵波方式传输,即质点振动方向与传输方向相同.机械波在自然状态下传输时质点运动普通不是单一形态,在理论讨论中依据其主要传输方式普通简化为横波或纵波.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第44页平面波与球面波波线：表示波传输方向线段.波阵面：波在传输方向上相位相同各点连线.波前：在传输方向上第一个波阵面.简谐波依据传输方向能够分为平面波和球面波.波在传输时波线相互平行,这种波称为平面波,波线发散波称为球面波.严格平面波和球面波实际上不存在.普通情况下,能够把波近似为两种波一个.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第45页平面波与球面波波线、波阵面平面波球面波医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第46页在不考虑波在传输时衰减情况下,传输中途中任意点振动与波源振动相同.假如在原点振动表示为y=Acos

t

简谐波表示波速、波长与频率关系为改变变量,上式也可写成

y=Acos

t在空间其它位置只是在时间上比原点振动晚了x/u,即医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第47页前面两个公式均能够称为波动方程.波动方程说明：距离原点为x处位移是时间和空间函数.随时间改变频率为振动原点圆频率,随空间改变频率为2

x/

.假如以x为横坐标,以对应点位移为纵坐标绘制波动图,其图像和振动时序图类似,所以2

x/

也称为空间频率.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第48页波能量波动能量与振动能量有着本质上不一样.简谐振动能量是保守,能量在动能与势能之间相互转换,转换过程能量守恒.波动能量是开放.伴随波动传输,能量向波动传输方向转移.yEkEpEEOyOEkEpE=Ek+Ep振动过程中总能量守恒波动能量随波动过程改变.动能和势能在位移为零处同时到达最大,总能量也同时到达最大,并随波动向波传输方向运动.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第49页波能量表示式机械波能量能够用以下公式表示:动能表示式为势能表示式为医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第50页该公式表明：在单位体积元内,波能量与波振幅、频率和体积元密度成正比,任一体积元内能量随时间以正弦函数平方方式改变.动能和势能同时改变,同时最大同时最小.总能量不守恒.能量公式充分表示了波与振动本质上不一样.振动能量是守恒,波动能量是改变.总能量为二者相加医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第51页惠更斯于1690年解释波传输时提出：介质中波前上每一点都能够作为独立波源,发出球面子波,这些子波包迹就是新波前.这个理论即使经历了数百年,但到当前为止,依然能够很好地解释波折射和衍射现象.波在介质1中传输碰到介质2时,波前分别为A和B.依据惠更斯原理,这两点作为新子波波源发出子波.因为波在两种介质中传输速度不一样,经过一段时间后波前抵达A

B

,波传输方向改变为AA

方向.这就是波折射.§3-6波叠加原理n1n2ABB

A

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第52页两列或更多列波在同一介质中相遇时所产生现象能够用波叠加原理来描述.波叠加原理：几个波源发出波在同一介质中传输时,不论相遇是否,都保持自己原有特征(波长、频率、振动方向等),按照自己原来传输方向继续前进,不受其它波影响.在相遇处任一质点位移是各波在该点所引发位移矢量和.频率相同、振动方向相同、有固定相位差波叠加称为干涉.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第53页波干涉考虑两列初相位分别为

1,

2相干波,用三角公式推导,结果为其中医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第54页当在空间任一指定点为一常量,所以振幅A也为一常量,其大小取决于初相位差和波程差.当由叠加条件能够知道

时,合振幅最大,称为相干加强.时,合振幅最小,称为相干减小.尤其,假如原来两相干波振幅相等,相干叠加后振幅为0.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第55页解：(1)R处相位差例波干涉它们相距3

/2,由P,Q发出振幅分别为A1和A2、频率为

、波长为

两列相干波.R为PQ连线上一点.求：(1)由P,Q发出两列波在R处相位差；(2)两列波在R处干涉时合振幅.如图所表示,两平面简谐波源分别在P,Q两点处.初相位均为零,QPR(2)依据合振动振幅公式,R处合振幅为医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第56页波干涉和衍射、折射一样是波动基本属性.光波即使不是机械波,不过也存在上述波动属性.波干涉在自然界广泛存在：声音加强和减弱不但仅由距离决定;水波在传输过程中会激起浪花等现象都存在相干叠加现象.光波相干叠加在当代应用很普遍,它相关内容将在波动光学中讲述.还有一个特殊相干叠加就是驻波.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第57页一驻波产生1现象医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第58页考虑两列波分别为方程中正负号表示了传输方向上不一样.

驻波：一个特殊干涉当两列频率相同、振动方向相同、传输方向相反波相遇时产生所谓驻波.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第59页将上述公式看成两项和其中第一项与时间无关,而且存在一些空间点使第一项为0.第二项与空间位置无关,位移是时间余弦函数.二者乘积表明：在一些位置有最大振幅,这些位置位移随时间做余弦式改变.在另一些位置,质点位移永远为零.利用三角叠加公式,得到医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第60页波腹与波节在上述讨论中我们看到：两列相对传输波相遇时一些点能够有最大位移,这些能够出现最大位移点称为波腹(loop),另一些点位移永远为零,这些点称为波节(node).当传输波动介质满足一些条件时,波节和波腹位置不随时间改变,形成一个特殊振动—驻波(standingwave).

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第61页驻波形成、波节(

)和波腹(+)医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第62页形成驻波边界条件驻波普通都是由进入介质入射波和经过介质后在介质边界产生反射波叠加而成.形成驻波时介质需满足边界条件：(1)当反射发生在波疏介质(

u小)到波密介质(

u大)时,反射点必须是波节.(2)当反射发生在波密介质到波疏介质时,反射点必须是波腹.比如水中声波在水面反射回水中在界面形成波腹,从空气射向水面返回则在界面形成波节.从上述结论能够推出：给定介质或物体中只能形成确定频率驻波.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第63页驻波能量从以前讨论能够知道,驻波是两列相向传输波叠加而成.因为能量是伴随波动传输而传送,驻波没有波动定向传输,波动只是在一定区域内重复,所以驻波能量也不存在定向传输.驻波能量只在波节与波腹之间转换或着说流动,不存在周期以外定向传送.普通波动能量是运动,所以也叫行波(travellingwave).驻波能量没有定向传送,这就是驻波名称起源.

医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第64页声源与固有频率从前面驻波讨论能够得知形成驻波必须满足一些边界条件.自然界声源普通都伴伴随驻波现象.以琴弦为例：琴弦长度一定是声波半波长整数倍.即医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第65页人类了解振动能够说是从驻波开始.古希腊学者从琴弦声音探索出驻波形成规律.中国在春秋战国时代就利用了驻波形成原理制作了各种乐器.众所周知古乐器编钟就是利用了在不一样大小物体上形成驻波频率不一样而制作.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第66页§3-7声波与超声波声波与超声波：在弹性介质中传输振动,普通频率在20

0Hz之间能引发听觉,叫做声振动,声振动传输过程叫做声波(soundwave).频率低于20Hz机械波叫做次声波(infra-sonicwave).频率高于0Hz机械波叫做超声波(supersonicwave).次声波和超声波都不能引发人听觉.不过,从物理学观点看来,这些范围内振动与可闻声振动之间,并没有什么本质上差异.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第67页声强和声强级

声强就是声波能流密度,即单位时间内经过垂直于声波传输方向单位面积声波能量.引发听觉声波,不但在频率上有一个范围,而且在声强上也有上、下两个限值,低于下限声强不能引发听觉,高于上限声强只能引发痛觉,也不能引发听觉.声强上、下限值随频率而异.在1000Hz频率时,普通正常人听觉最高声强(痛阈)为1W/m2,最低声强(闻阈)为10-12W/m2.通常把这一最低声强作为测定声强标准,用I0表示.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第68页在声学中普遍使用对数标度来量度声强,叫做声强级(intensitylevel),以LI

表示,对于声强为I

声波声强级为单位:B(贝尔)医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第69页多普勒效应因为波源或观察者运动,造成观察频率与波源频率不一样现象,叫做多普勒效应(Dopplereffect)或多普勒频移,这是多普勒(Doppler)在1842年发觉.

比如,在铁路旁听列车汽笛声时能够发觉,列车迎面而来时音调比静止时高,而列车离去时音调比静止时低,这就是由多普勒现象引发.医用物理学章机械振动和机械波专家讲座第70页多普勒效应不一样形式多普勒效应从形成方式能够分为波源静