调和函数专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件

《偏微分方程教程》

第六章椭圆型方程

1第1页第1页§1调和函数

【知识点提醒】Green公式，基本解，调和函数，调和函数基本性质。【重、难点提醒】利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数基本性质。【教学目】掌握调和函数定义和性质。2第2页第2页1.1.Green公式散度定理：

设是维空间中以足够光滑曲面所围成有界连通区域,是曲面外单位法向.若函数在闭区域上连续,在内有一阶连续偏导数,则(1.1)其中表示曲面外单位法向

与轴方向余弦,是上面积元素.3第3页第3页Green公式推导：

设函数和在内有连续二阶偏导数.在公式(1.1)中令得到(1.2)(1.2)可改写成为(1.3)4第4页第4页若将(1.3)中和互相对换,又得(1.4)我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.

若将(1.3)与(1.4)相减,则得(1.5)我们把(1.5)称为第二Green公式.

1.2.调和函数与基本解

定义6.1对于函数,假如它在维空间有界区域内有直到二阶连续偏导数,且在内满足Laplace方程：5第5页第5页(1.6)则称在区域内是调和函数.

假如,则称在区域内是下调和(上调和)函数.

假如是无界区域,则除上面要求外,还应要求当点趋于无穷远时,函数一致趋于零.即对于任意小正数,存在正数,使当点与坐标原点距离时,总有按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.

调和方程基本解

我们仅考虑三维空间和二维空间情形.6第6页第6页首先我们考虑三维情形.用表示三维空间中点改写三维空间调和方程为球坐标形式.设球坐标变换为则(1.6)(取)可化为(1.7)由(1.7)能够看出,方程(1.6)球对称解是满足以为自变量常微分方程7第7页第7页其通解可写为这里是任意常数.因此函数,是一个球对称特解,从而推得在任一不包括点区域内是调和,它在点处有奇性.称函数为三维Laplace方程(1.6)基本解

8第8页第8页

注

基本解在时关于或都是调和且无穷次可微.函数另一方面,考虑二维Laplace方程在极坐标变换下它可化为(1.8)二维Laplace方程基本解

定理6.1设函数在有界区域内二阶连续可微,在上连续且有连续一阶偏导数,则当点时,有9第9页第9页(1.9)其中是边界曲面外单位法向,是曲面上面积单元,是体积单元.证以为中心为半径作球使表示该球球面,于是在区域上,函数和都满足第二Green公式条件,代入公式(1.5)得(1.10)由于在区域内是调和函数,因此有.另外边界上任一点外法线方向事实上是从该点沿着半径指向球心方向,因此在上有10第10页第10页从而得到在上积分为其中和分别是函数和

在球面上平均值.于是(1.10)可写成由于及在上连续，因此关于一致有界,且当时,有,11第11页第11页于是由上式即得定理证毕.此后,我们将公式(1.9)称为三维空间中基本积分公式.

定理6.2

设函数在有界区域内二阶连续可微，在上连续且有连续一阶偏导数，则当点时有(1.11)其中表示上线元素,是上面积元素.1.3.调和函数基本性质

性质6.1设是有界区域内调和函数,且在上有连续一阶偏导数,则12第12页第12页(1.12)

证利用第二Green公式,在(1.5)中取,取为所给调和函数,由此性质可得出,Laplace方程第二边就可得到(1.12).值问题有解必要条件是函数满足性质6.2

设是有界区域内调和函数,且在闭区域上有连续一阶偏导数,则在内任一点处有13第13页第13页(1.13)

证

利用基本积分公式(1.9)即得.类似地,对于二维空间情形,我们能够利用(1.11)得到(1.14)其中是平面上有界区域边界.性质6.3(平均值定理)设是区域内调和函数,是内任一点以,为心为半径作球只要球连同其边界包括在内,则有公式(1.15)14第14页第14页

证将公式(1.13)应用于球面上,得到这里,故由性质6.1知上式右端第一项积分值为零,在球面上外法线方向与半径方向一致,于是又由于因此有我们把调和函数这一性质称为平均值定理,公式(1.15)15第15页第15页称为平均值公式,即调和函数在球心处值等于它在球面上平均值.

注1对区域内下调和(上调和)函数,我们有(1.17)性质6.4(强极值原理)

假设不恒为常数函数在有界区域,内调和且在上连续,则它在上最大值和最小值只能在边界上达到.

证

用反证法.假设调和函数在上最大值不在上达到,那么它必在内某一点达到,记当然也是在上最大值.16第16页第16页以为心为半径作球使完全包括于内,记球面为,能够证实,在上有事实上,若函数在上某一点值小于,则由连续性知,上必可找到此在球面点一个充足小邻域,在此邻域内有,于是在上成立不等式但由平均值公式(1.15),有这就发生了矛盾.因此在球面上,必须有17第17页第17页同理可证,在任一以为心,为半径球面上,也有.因此,在整个球上,有下面证实对内所有点,都有.为此在内任取一点,由于是区域,因此可用完全位于内折线将点和连结起来,设与边界最短距离为,于是函数在以为心为半径球上,恒等于,若与球球面

相交于点,显然,在以为心为半径球上,有照此作下去,可用有限个球.将折线完全覆盖,并且18第18页第18页使,由于在每个球上都有,因此由点任意性,就可得到在整个区域上,有这和函数在上不恒等于常数假设相矛盾.因此不能在内部取得它最大值.对于最小值情形,由最小值就是最大值,而也是调和函数,从而推得函数也不能在内部取得它最小值.定理证毕.推论6.1(调和函数比较原理)

设和都是有界区域内调和函数,且在边界上连续,假如在上有不等式19第19页第19页