新人教版高中数学选择性必修第二册全套教案讲义练习题及答案解析

本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享第四章数列§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式第2课时数列的递推公式§4.2等差数列4．2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式第2课时等差数列的判定与实际应用第3课时等差数列的性质习题课等差数列的性质的综合问题4．2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用§4.3等比数列4．3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式第2课时等比数列的判定与简单应用第3课时等比数列的性质习题课等比数列的性质的综合问题习题课数列中的构造问题4．3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用习题课分组求和、倒序相加求和、并项求和习题课错位相减法、裂项相消法求和第3课时数列的综合应用§4.4*数学归纳法章末复习课章末检测试卷一(第四章)第五章一元函数的导数及其应用§5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念第2课时导数的几何意义§5.2导数的运算5．2.1基本初等函数的导数5．2.2导数的四则运算法则5．2.3简单复合函数的导数§5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性习题课函数的单调性的综合问题5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值第2课时函数的最大(小)值习题课与ex、lnx有关的常用不等式习题课含参数的函数的最大(小)值习题课利用导数研究函数的综合问题习题课导数中的函数构造问题章末复习课章末检测试卷二(第五章)综合检测试卷(一)综合检测试卷(二)

§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数．导语同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列．一、数列的概念与分类问题1观察以下几列数：①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2401,16807；②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2023,2023，…，2023；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－eq\f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？提示共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化．知识梳理1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．3.分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列．反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．跟踪训练1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2017,2018,2019,2020,2021；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(5)1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列．二、数列的通项公式问题2我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？提示对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))；对于②，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，n∈N*；对于③，an＝2023，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是本班学生的学号))))；对于⑤，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，n∈N*.知识梳理如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一．例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9999.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(－1n,n)，n∈N*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)，n∈N*.(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq\f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2)(n∈N*)．(4)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.延伸探究1．试写出前4项为1,11,111,1111，…的一个通项公式．解由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝eq\f(1,9)(10n－1)，n∈N*.2．试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式．解由上式中的每一项乘7即可，即an＝eq\f(7,9)(10n－1)，n∈N*.反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．跟踪训练2写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，eq\f(25,26)，…；(3)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，…；(4)2×3,3×4,4×5,5×6，….解(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…可得an＝2n－1.(2)由eq\f(1,2)＝eq\f(1,12＋1)，eq\f(4,5)＝eq\f(22,22＋1)，eq\f(9,10)＝eq\f(32,32＋1)，eq\f(16,17)＝eq\f(42,42＋1)，eq\f(25,26)＝eq\f(52,52＋1)，…可得an＝eq\f(n2,n2＋1).(3)由－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an＝(－1)n×eq\f(1,2).(4)由2×3＝(1＋1)×(1＋2)，3×4＝(2＋1)×(2＋2)，4×5＝(3＋1)×(3＋2)，5×6＝(4＋1)×(4＋2)，…可得an＝(n＋1)(n＋2)．三、数列与函数的关系问题3在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数．知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．例3已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解方法一an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq\f(9－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n,11)，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an.则a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))9.方法二根据题意，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n－1≤n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1，))解得9≤n≤10.又n∈N*，a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))9.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．跟踪训练3已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是()A．3B．4C．5D．6答案A解析因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4，所以当n＝3时，an取得最小值．1．知识清单：(1)数列的概念与分类．(2)数列的通项公式．(3)数列与函数的关系．2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法．3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．1．下列说法正确的是()A．数列中不能重复出现同一个数B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C．1,1,1,1不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同答案D解析由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0 B．0,1,0,1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0 D．2,0,2,0答案A解析把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq\f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq\f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq\f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq\f(1＋－14＋1,2)＝0.3．在数列{an}中，an＝eq\f(n＋2,n＋1)，则{an}()A．是常数列 B．不是单调数列C．是递增数列 D．是递减数列答案D解析在数列{an}中，an＝eq\f(n＋2,n＋1)＝1＋eq\f(1,n＋1)，由反比例函数的性质得{an}是递减数列．4．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是____________．答案an＝2n＋1，n∈N*课时对点练1．(多选)下列说法正确的是()A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示答案ABD解析数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．2．已知数列an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，则数列是()A．递增数列 B．递减数列C．摆动数列 D．常数列答案C解析因为an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，所以该数列中的项为－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…，故该数列是摆动数列．3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*答案A解析数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.4．数列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，eq\f(8,9)，…的第10项是()A.eq\f(16,17)B.eq\f(18,19)C.eq\f(20,21)D.eq\f(22,23)答案C解析由题意知数列的通项公式是an＝eq\f(2n,2n＋1)(n∈N*)，所以a10＝eq\f(2×10,2×10＋1)＝eq\f(20,21).5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的通项公式为()A．an＝eq\f(1,9)(10n－1)，n∈N*B．an＝eq\f(2,9)(10n－1)，n∈N*C．an＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n)))，n∈N*D．an＝eq\f(3,10)(10n－1)，n∈N*答案C解析因为数列0.9,0.99,0.999,0.9999，…的通项公式为1－eq\f(1,10n)，而数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的eq\f(1,3)，所以an＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n)))，n∈N*.6．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)，…B．sin

eq\f(π,7)，sin

eq\f(2π,7)，sin

eq\f(3π,7)，…，sin

eq\f(nπ,7)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…，－eq\f(1,2n－1)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)，…答案CD解析选项C，D既是无穷数列又是递增数列．7．已知数列{an}的通项公式为an＝2021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．答案673解析由an＝2021－3n>0，得n<eq\f(2021,3)＝673eq\f(2,3)，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为673.8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项的值是________．答案38解析数列{an}的通项公式an＝n2－7n＋50＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))2＋eq\f(151,4)，因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，则数列中的最小项的值是38.9．写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，….解(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq\f(3,3)，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(nn＋2,2n＋1)，n∈N*.10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2021.解(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,17k＋b＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－2.))∴an＝4n－2，n∈N*.(2)a2021＝4×2021－2＝8082.11．设an＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)答案C解析∵an＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)(n∈N*)，∴a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).12．若数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,n2＋196)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，则这个数列中的最大项是()A．第12项 B．第13项C．第14项 D．第15项答案C解析an＝eq\f(n,n2＋196)＝eq\f(1,n＋\f(196,n))，因为n＋eq\f(196,n)≥2eq\r(n·\f(196,n))＝28，当且仅当n＝14时，n＋eq\f(196,n)有最小值28，所以当n＝14时，eq\f(1,n＋\f(196,n))取得最大值eq\f(1,28).13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))C．(1,3) D．(2,3)答案D解析结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－3<a8＝a8－6，))解得2<a<3.14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.答案61解析f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为()A．an＝n，n∈N* B．an＝eq\r(n＋1)，n∈N*C．an＝eq\r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*答案C解析∵OA1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，∴a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n)，….16．在数列{an}中，an＝eq\f(n2,n2＋1).(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(2)区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？(1)证明因为an＝eq\f(n2,n2＋1)＝1－eq\f(1,n2＋1)(n∈N*)，所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内．(2)解令eq\f(1,3)<eq\f(n2,n2＋1)<eq\f(2,3)，则eq\f(1,2)<n2<2，n∈N*，解得n＝1，即在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有1项数列中的项，为a1.第2课时数列的递推公式学习目标1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.一、数列通项公式的简单应用例1(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？提示其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，n∈N*，求a2021.解a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1，…∴{an}是周期为4的数列，∴a2021＝a4×505＋1＝a1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，则此数列的第3项是()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,8)答案C解析a1＝1，a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2×2)＝eq\f(3,4).三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，则an等于()A.eq\f(1,n)B.eq\f(2n－1,n)C.eq\f(n－1,n)D.eq\f(1,2n)答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－eq\f(1,2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝2－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，a4＝eq\f(5,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)，a5＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＝2－eq\f(1,5)＝eq\f(9,5)，又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝eq\f(2n－1,n).方法二(迭代法)a2＝a1＋1－eq\f(1,2)，a3＝a2＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，an＝an－1＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，则an＝a1＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n)＝eq\f(2n－1,n)(n≥2)．又a1＝1也适合上式，所以an＝eq\f(2n－1,n)(n∈N*)．方法三(累加法)an＋1－an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，a1＝1，a2－a1＝1－eq\f(1,2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4－a3＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…an－an－1＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，以上各项相加得an＝1＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).所以an＝eq\f(2n－1,n)(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝eq\f(2n－1,n)(n∈N*)．(2)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a1＝1，an＋1＝eq\f(n,n＋1)aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，则an等于()A．n＋1 B．nC.eq\f(1,n＋1) D.eq\f(1,n)答案D解析由题意，因为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足an＋1＝eq\f(n,n＋1)aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,n).反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq\r(n＋1)－eq\r(n)(n≥2)，求an.解因为an＝an－1＋eq\r(n＋1)－eq\r(n)(n≥2)，所以an－an－1＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＋(eq\r(n)－eq\r(n－1))＋…＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋1＝eq\r(n＋1)－eq\r(2)＋1.又a1＝1也符合上式，所以an＝eq\r(n＋1)－eq\r(2)＋1，n∈N*.(2)已知数列{an}满足a1＝1，lnan－lnan－1＝1(n≥2)，求an.解因为lnan－lnan－1＝1，所以lneq\f(an,an－1)＝1，即eq\f(an,an－1)＝e(n≥2)．所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝e·e·…·e·1n－1个＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.四、an与Sn的关系问题2如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．例4设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.解因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.解因为Sn＝2n2－30n＋1，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.当n＝1时不符合上式．所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－27，n＝1，,4n－32，n≥2.))反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练4已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；(2)Sn＝3n－1.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7，n＝1，,4n＋1，n≥2.))(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*)．1．知识清单：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n项和Sn与an的关系．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为()A．5B．6C．7D．8答案D解析因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于()A．36B．35C．34D．33答案C解析a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2021的值为()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案C解析an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq\f(1,2)，由a4＝1，a5＝eq\f(1,2)，得a6＝eq\f(1,2)，由a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,2)，得a7＝1，由a6＝eq\f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2021＝a336×6＋5＝a5＝eq\f(1,2).4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．答案17解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是()A．15B．255C．16D．63答案B解析由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.2．数列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是()A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2anC．an＋1＝eq\f(1,2)an D．an＋1＝－eq\f(1,2)an答案D3．在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a2021等于()A.eq\f(1,2) B．－1C．2 D．3答案B解析当n＝1时，a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1；当n＝2时，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2；当n＝3时，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)＝a1；a5＝1－eq\f(1,a4)＝－1＝a2；a6＝2；…所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2021＝a3×673＋2＝a2＝－1.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于()A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n答案D解析∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1) 共n－1个＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是()A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)答案AD解析Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________.答案7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.答案eq\f(81,64)解析a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝eq\f(92,82)＝eq\f(81,64).9．在数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an(不用证明)．解(1)∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，∴a2＝eq\f(2a1,2＋a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2a2,2＋a2)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(2a3,2＋a3)＝eq\f(2,5).(2)猜想：an＝eq\f(2,n＋1).10．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴当n≥2时，eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.n－1个1∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴当n≥2时，an＝eq\f(1,n＋1).∵a1＝eq\f(1,2)也符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n∈N*)．11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，则数列{an}的最大项是()A．a1 B．a9C．a10 D．不存在答案A解析因为a1>0，且an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，所以an>0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)<1，所以an＋1<an，所以此数列为递减数列，故最大项为a1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020等于()A．a2021B．a2022C．a2023D．a2024答案A解析由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2020＝a5＋a6＋…＋a2020＝a2019＋a2020＝a2021.13．已知an＝eq\f(n2－21n,2)，则数列{an}中相等的连续两项是()A．第9项，第10项B．第10项，第11项C．第11项，第12项D．第12项，第13项答案B解析假设an＝an＋1，则有eq\f(n2－21n,2)＝eq\f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.答案eq\f(1,n)解析方法一(累乘法)把(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n)(n≥2)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).又a1＝1也适合上式，∴an＝eq\f(1,n)，n∈N*.方法二(迭代法)同方法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，∴an＝eq\f(n－1,n)·an－1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·an－2＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·an－3…＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·…·eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,n)a1.又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).方法三(构造特殊数列法)同方法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an为偶数，,3an＋1，an为奇数.))若a4＝4，求m所有可能的取值．解若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则eq\f(a2,2)＝1，a2＝2.若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝eq\f(1,3)(舍去)，若a1为偶数，eq\f(a1,2)＝2，a1＝4；若a3为偶数，则eq\f(a3,2)＝4，a3＝8.若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝eq\f(7,3)(舍去)，若a2为偶数，则eq\f(a2,2)＝8，a2＝16.若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，若a1为偶数，则eq\f(a1,2)＝16，a1＝32.故m所有可能的取值为4,5,32.§4.2等差数列4．2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属狗的居多一些，同样是属狗的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列．一、等差数列的概念问题1观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？提示对于①，我们发现1758－1682＝76,1834－1758＝76,1910－1834＝76,1986－1910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律．知识梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列．例1判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9，…；②9,6,3,0，－3，…；③1,3,4,5,6，…；④7,7,7,7,7，…；⑤1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，….解①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是．反思感悟利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．跟踪训练1(多选)下列数列是等差数列的是()A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16C.eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1，eq\f(4,3)，eq\f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2答案ABC解析由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝eq\f(1,3)，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．二、等差中项问题2由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？提示由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.知识梳理由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝eq\f(a＋b,2)；(3)a3是a1和a5的等差中项．例2(1)若a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)答案A解析由题意知a，b的等差中项为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2))))＝eq\f(1,2)(eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(3)＋eq\r(2))＝eq\r(3).(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．解因为－1，a，b，c,7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，则b＝eq\f(－1＋7,2)＝3，又a是－1与3的等差中项，所以a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，所以c＝eq\f(3＋7,2)＝5.所以该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟若a，A，b成等差数列，则A＝eq\f(a＋b,2)；反之，由A＝eq\f(a＋b,2)也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝eq\f(a＋b,2).跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝3.三、等差数列的通项公式问题3你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．知识梳理首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一．例3在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.解(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)设等差数列的公差为d，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．跟踪训练3在等差数列{an}中，求解下列各题：(1)已知公差d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，则a1＝________.(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________.(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.答案(1)10(2)－eq\f(1,2)(3)58解析(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，故a1＝10.(2)设首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,a1＋6d－2a1＋3d＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))(3)由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.1．知识清单：(1)等差数列的有关概念．(2)等差数列的通项公式．2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．1．(多选)下列数列中，是等差数列的是()A．1,4,7,10 B．lg2，lg4，lg8，lg16C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2答案ABD解析A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为()A．2B．3C．－2D．－3答案C解析由等差数列的定义，得d＝－2.3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26B．29C．39D．52答案C解析∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.答案0解析由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝4，,a4＝a1＋3d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－1，,a1＝5.))∴a6＝a1＋5d＝0.课时对点练1．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是()A．3n－1 B．3n＋2C．3n－2 D．3n＋1答案B解析因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N*.2．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析∵b是x,2x的等差中项，∴b＝eq\f(x＋2x,2)＝eq\f(3x,2)，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝eq\f(x,2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).3．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于()A．90B．96C．98D．100答案D解析由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.4．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)，则公差d等于()A．0B.eq\f(1,2)C．1D．2答案AB解析根据题意知，a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝eq\f(1,2)或d＝0.5．在数列{an}中，若eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(2)，a1＝8，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)答案A解析由题意得eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝eq\r(2)，故数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(a1)＝2eq\r(2)，公差为eq\r(2)的等差数列，所以eq\r(an)＝2eq\r(2)＋eq\r(2)(n－1)＝eq\r(2)n＋eq\r(2)，故an＝2(n＋1)2.6．在数列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，则a20等于()A.eq\f(115,2)B.eq\f(8,115)C.eq\f(16,115)D.eq\f(2,115)答案D解析对an＋1＝eq\f(an,1＋3an)取倒数得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,2)为首项，3为公差的等差数列．∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·3＝3n－eq\f(5,2)＝eq\f(6n－5,2)，∴an＝eq\f(2,6n－5)，∴a20＝eq\f(2,115).7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．答案3解析设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,a1＋3d＝6，))解得d＝3.8．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是________．答案a＝－b或a＝3b解析由等差中项的定义知，x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0，∴(a－3b)(a＋b)＝0，∴a＝3b或a＝－b.9．在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.解(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列{an}的第几项？(3)在80到110之间有多少项？解设数列{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝8，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项．(3)由80<3n－5<110，解得28eq\f(1,3)<n<38eq\f(1,3)，所以n的取值为29,30，…，38，共10项．11．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A