全等三角形判定经典编辑

.\11.2三角形全等的判定A DBCEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示感谢阅读ABDEACDFBCEF方法：如图所示，在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（SSS）。1.如图所示，AB＝CD，AC＝DB。求证：△ABC≌△DCB。感谢阅读A DB C分析：由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。谢谢阅读证明：在△ABC和△DCB中，AB＝CD∵AC＝DB，BC＝CB∴△ABC≌△DCB（SSS）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。感谢阅读.\（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或感谢阅读BEBCEFCF“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中， ，谢谢阅读∴△ABC≌△DEF（ASA）。2.如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：AB＝CD。谢谢阅读A BE FC D分析：要证明AB＝CD，由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边，可尝试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE＝CF可证得BF＝CE，由ASA即可证明两三角形全等。谢谢阅读证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等）又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE在△ABF和△DCE中，感谢阅读BC(已证)(已证)BFCEAFBCED(已证)∴△ABF≌△DCE（ASA）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）.\（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角精品文档放心下载ADBE角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，BCEF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。3.如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求证：AD＝BF－DF。精品文档放心下载ADEFC B分析：要证AD＝BF－DF，观察图形可得CF＝CD－DF，只需证明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要证明△CFB≌△ADC。由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易证得∠CBF＝∠ACD，问题便得到证明。精品文档放心下载证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°感谢阅读CBFACDCFBADC在△CFB和△ADC中，BCAC（已知）∴△CFB≌△ADC（AAS）∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）又∵CF＝CD－DF∴AD＝BF－DF评析：由条件AC＝BC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。精品文档放心下载.\（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。谢谢阅读ABDEBEEF表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，BC，∴△ABC≌△DEF（SAS）。A例4.已知：如图所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。求证：AC∥DF。BCDA DB FE C分析：欲证AC∥DF，可通过证明∠ACB＝∠F，由平行线的判定定理即可得证。感谢阅读而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角，所以应先证明△ABC≌△DEF。精品文档放心下载BE＝CF易得BC＝EF，再结合已知条件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可达到目的。谢谢阅读证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。ABDEABCDEF在△ABC和△DEF中，BCEF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴∠ACB＝∠F。∴AC∥DF。评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列感谢阅读.\（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，谢谢阅读∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。A DB C E F注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。精品文档放心下载.\5.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线精品文档放心下载PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△PQA全等？谢谢阅读MQBC AP分析：要使△ABC与△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，则只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置。感谢阅读解：由题意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又AB＝PQ，感谢阅读要使△ABC≌△PQA，则只需AP＝CB或AP＝CA即可，感谢阅读从而当点P运动至AP＝5cm，即AC中点时，△ABC≌△QPA；或点P与点C重合时，即AP＝CA＝10cm时，△ABC≌△PQA。感谢阅读评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。精品文档放心下载6.如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三点在同一直线上，连结CD、AE，并延长AE交CD于F。感谢阅读（1）求证：△ABE≌△CBD。（2）直线AE与CD互相垂直吗？请证明你的结论。精品文档放心下载分析：根据已知条件易得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好是△ABE和△CBD全等的条件。对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出∠CFA＝90°。精品文档放心下载证明：（1）∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°∴△ABE≌△CBD（SSA）谢谢阅读（2）AE⊥CD，∵在△ABE和△CEF中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，谢谢阅读且∠ABE＝90°，∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）谢谢阅读即∠AFC＝∠ABE＝90°∴AE⊥CD。评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，A逐步分析解决问题，把握解题思路。谢谢阅读

CFBD.\拓展提高1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：精品文档放心下载至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； A谢谢阅读（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，E1D设CD，BE相交于点O，若A60°，DCBEBCA．O2请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形BC是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且1DCBEBC2A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明谢谢阅读你的结论．1.解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）四边形DBCE是等对边四边形.（3）此时存在等对边四边形DBCE.证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.精品文档放心下载1∵∠DCB=∠EBC=2∠A，BC为公共边∴△BGC≌△CFB∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A谢谢阅读∠GEC=∠ABE+∠A∴△BDF≌△CEG∴BD=CE故四边形DBCE是等对边四边形。证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A精品文档放心下载∠CEF=∠ABE+∠A∴CF=CE∴BF=CE故四边形DBCE是等对边四边形..\2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．感谢阅读（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；谢谢阅读（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；感谢阅读（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．谢谢阅读AAADEDEDEEBNMFCBBFCNMFCM（第23题图1）（第23题图2）（第23题图3）2．解：（1）判断：EN=MF，点F在直线NE上．证明：如答图1,连结DE、DF、EF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D、E、F是三边的中点，A∴DE、DF、EF为△ABC的中位线．∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°．E∵△DMN是等边三角形，D∴∠MDN＝60°，DM=DN．BF∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF，MPC∴∠MDF=∠NDE．N在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，（第23题答图1）∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．设EN与BC交点为P，连结NF．由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形，精品文档放心下载∴∠MDN=∠BDF＝60°,AD EN.\∴∠MDN－∠BDN=∠BDF－∠BDN，即∠MDB=∠NDF.谢谢阅读在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，谢谢阅读∴△DMB≌△DNF．∴∠DBM=∠DFN．∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°.（第23题答图2）∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°.精品文档放心下载∴N、F、E三点共线，∴F与P重合，F在直线NE上．…………精品文档放心下载4分（2）成立。证明：如答图2，连结DE、DF、EF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，N∴DE，DF，EF为△ABC的中位线．A∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，DE∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．BFCM在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．………………6分（3）MF=NE仍成立．……7分（第23题答图.\3.(09崇文一模)在等边DABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为谢谢阅读VABC外一点，且?MDN60°,?BDC120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及DAMN的周长Q与等边DABC的周长L的关系．感谢阅读图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关精品文档放心下载系是___________；此时QL=__________；精品文档放心下载（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM¹ DN时，猜想（I）问的两个结论感谢阅读还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，感谢阅读若AN=x，则Q=________（用x、L表示）．感谢阅读3.解：（I）如图1，

BM、NC、MN之间的数量关系

BM+NC=MN

．此时

Q 2L3．（II）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．感谢阅读BDCD,且BDC120．DBCDCB30．谢谢阅读ABC是等边三角形，MBDNCD90o．MBD与ECD中：BMCEMBDECDBDDCMBDECD(SAS)．.\DM=DE,BDMCDEEDNBDCMDN60MDN与EDN中：DMDEMDNEDNDNDNMDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BMAMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边ABC的周长L=3ABQL23ABAB32.（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，精品文档放心下载则Q=2x+2L（用x、L表示）．3.\课堂试题（答题时间：60分钟）A一.选择题1.下列条件不能判定两个三角形全等的是（）A.有两边和夹角对应相等B.有三边分别对应相等BCC.有两边和一角对应相等D.有两角和一边对应相等D2.下列条件能判定两个三角形全等的是（）第8题A.有三个角相等B.有一条边和一个角相等C.有一条边和一个角相等D.有一条边和两个角相等3.如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（）A.1对B.2对C.4对D.8对ADO4.如图所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABCBC≌△DEF，还应给出的条件是（）第3题A.∠E＝∠BB.ED＝BCC.AB＝EFD.AF＝CD如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1感谢阅读＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则（）AE2A.△ABC≌△AFEB.△AFE≌△ADC1C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADEB3FCD第5题我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（A.5种 B.4种 C.3种7.如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，精品文档放心下载＝DC，那么图中的全等三角形有（ ）AA.1对 B.2对C.3对 D.4对

）D.2种EABF1D2CB第4题8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD的值（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cmADEBFC第7题.\如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是感谢阅读）A.BD＝CD B.DE＝DFC.∠B＝∠C D.AB＝AC

AEFBDC第9题二. 填空题10.如图所示，AC∥BD，AC＝BD，那么__________，理由是__________.感谢阅读BCODA第10题11.已知△ABC≌△A'B'C'，AB＝6cm，BC＝7cm，AC＝9cm，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________精品文档放心下载∠C'＝__________，∠C＝__________.感谢阅读12.如图所示，已知AB＝AC，在△ABD与△ACD中，要使△ABD≌△ACD，还需要再添加一个条件是____________________.精品文档放心下载A13.如图所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，B D C感谢阅读AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，则∠D＝第12题__________，∠F＝__________，DE＝__________，BE＝__________.如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是__________谢谢阅读（只要求写一个条件）..\如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB谢谢阅读≌△DOC，你补充的条件是__________.三. 解答题已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD.精品文档放心下载CA1B2如图，A、E、B、D在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥ D感谢阅读DF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）你还可以得到的结论是__________（写谢谢阅读出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）精品文档放心下载FAEDBC你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？精品文档放心下载.\A' B'OA BCMN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由.精品文档放心下载MAPBECQD20.有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的N能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.谢谢阅读方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出B