高中数学贯穿高中阶段的200条知识点

高中数学贯穿高中阶段的200条知识点.元素与集合的关系芯已A=苴爸G/，3keQ-J台工更X,.德摩根公式Cr-(jn.2)=Cl-AuG比uJ)=c「4flClB,4包含关系MDS=X=JUB=工3aCl.BcCl-AQS=①QQ-ytU^=无.容斥原理cardUA)二cardA+cardB-carti(A「B)U2UU>=curcLi十cardB-vcardC—card(A°E)一皿d(A门约-eard(BDQ-CM)+card(AA^AC).5.集合卬呵，…乌｝的子集个数共有印个；真子集有3-：1个：羊空子集有厂-1个；非空的真子集有二-2个.6,二次函数为解析式的三种形式(1)一般式/出=后十以十47H0)；(2)顶点式.国=日(工-犷+鼠a工0)；：；3.；零点式汽工)=口(文-为乂工-电温*0).工解连不等式津常有以下转化形式、皿、MVN.M-N4力—A「八= 、 .)(0―N叽.. .= 8,方程丁⑴=0在后;上)上有且只有一个实根［与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程加+打工十e=0g=。)有且只有一个实根在困丸)内，等价于TOC\o"1-5"\h\z,或f的)二。且瓦二-一y—一：二，或了的)=0且2<7 2右十七 b,— <--<Jt,.2 2a.闭氏间上的二次函数的最值二次函数」(X)二一+5工+武。工0)在I壬区间艮4]上的最值只能在尤=_g处及区间的两端点处取得，具体如下：2&(1)当屋。时，若玄=—--E值㈤，则2a/Mhh：=/(--、曰｛/<M:/⑷｝；2ax=—。史区4f3妗｛/⑶J(g»，/⑴坨扰,近｛/(^)=/(?>｝.⑵当也<0时，若》=-5匕区力则/住得=hW3)J(血;若更M4则皿=max(/Cp):/(^)}J/Cm=min(/(p>:/(^)]..一元二次方程的实根分布依据：若/金>/㈤ 则方程/㈤=口在区间切㈤内至少有一个实根.设/00=丐+尸汇寺中才贝U(1)方程F3=0在区间(阻+^)内有根的充要条件为f(m)=G产一4口之0P ；-->挣12(21方程/(x)二。在区日一(也㈤三爷根.无充要条件为/(m)/(K)<0或，以、心口/(«)>0 或，以、心口/(«)>0 、7?1—之。或“Pm<-—<?7'真因二⑪道V©5))0了5)=0*aftm)>0'(3)方程/8二。在区同(7㈤内寻根的充要条件为/(m)<0户二一4《之0或P---<11，.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据①在给定区间(>鼠珂的子区闾上(形如&用，।-吗闾.M同

不同）上含参数的二次不等式门X浪o（『为参数）恒成立的充要条件是/（中》.之0仁名£）.（2）在给定区间Jxg）的子区间上含参数的二次不等式（f为参数）恒成立的充要条件是/（甚。皿4。（.七更L）.a>0（3）f（_x）二or，十阳十c>口恒成立的充要条件是b>0或o0a<0V¥—A-ac<014.四种命题的相互关系若非P则非Q14.四种命题的相互关系若非P则非Q互逆Pq非pp或qp且qM冒.假真.假假真：假假M1B假.假傀真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反谩词是忝是至少有一个一个也没有都是不都是至终有一个至小有两个大于不大于至少有出个’至多有（中-1）,个小于不小于至多有孔个至少有（上十1¥个对所有X，成交存在某X；不成立P飒一中且「反・对任何打不成辽存在某，J成上〃且4F?或「用逆命题若q则p互为 互否逆否逆否命题若非Q贝琳P.充要条件（1）充分条件:若png,则总是g充分条件.（2）必要条件；若g个F，则p是.必要条件.（3）充要条件，若尸=＞§,且gn尸，则p是q充要条件-注;如果目是乙的■充分条件T则乙是甲的疝要条件；反之亦然..函数的单调性Q）设再.巧匕］看了三那么Q］-均）卜⑷-/5）］＞0。弋二产〉口°。正危上耳上是增函数:a- 『区）k。。一二二二।三：■《。=/工）在@可上是减函物一 再丐（2）设函数产汽切在某个区间内可导，如果门》＞0,则一㈤为增函数：如果/3亡5则代公为减函数.行.如果函数了㈤和w㈤都是减函数，则在公共定义域内，和函数与刘十乐》也是减函数；如果函数f=/W）和察=宫⑴在其对应的定义域上都是减函数，则复台函数片m31是增函数.1S.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对标;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数， _.若函数丁二八月是偶函数，则/&十力=/（-工-0；若函数¥=/燧卜力是偶函数,则/（元+时=/（-工+叽.对于函数尸=外0（第七尺）“仁十⑦=丁（启-切恒成立，则图数的对称轴是函数工=彳；两个函数y=十力与F=/他-力的图象关于直线x二一对称..若二工）二-八t+g,则函数十二代砌的图象关于点0:0）对称若」3=-fO十税则函数p= 为周期为筋的周期函数”.多项式函数产⑻“K+4_13rl+…4%的奇偶性多项式函数F⑸是奇函数。产3的偶次项（印奇数项）的系数全为专，多项式函数玳月是偶函数O尹⑴的奇次项（即偶数项）的系数全为令，.函数了二〃工）的图象的对称性（1）函数f=八力的图象关于直线,=口对称0/（口+工）=/（口-月O/0D—工）=/出.（2）函数L的图象关于直线丁=等对称—f（a+知匹）=f（b—mx）=fQa+Zj—mx）=/（??2x）..两个函数图象的对称性（1）函数与函数”月-工）的图象关于直线工=0（即『轴）对称：⑵函数p=于（晔一*与函数丫=f8-向》的图象关于直线工=3对称，2用（3）函数y=/<工）和）二广1（力的图象矢丁亘笠y=x对称.25若将函数r=/U）的图象右移八上移，个单位，得到函数卜,二外-4十%的图象；着将曲线K>c1=◎的图象右移口、上移后个单位，得到曲线/住-qp-与=。的图象.26.互为反函数的两个函数的关系/⑹=3尸⑶=口.2,若函数存在反函数,则其反函数为F=；［广⑶-句，并不是y=［八（丘十5），而函数了=［八（丘十方）是>'=1［/W-&］4勺.反函数.28,几个常见的函数方程.（D正比例函数/⑴=R/（X+>■）=f（jc）十f（y）:f（l）=c.<2）指数函数/⑴=白工,/8+j）=/⑴八琉川）=修金机（3）对数函数/（x）=l。丸工，=fM+/<>,）=/（«>=l（a>0=a1）.（4）慝函数/3=d,/5）=m

⑸余弦函数f（x）=CO5JC,正弦函数=sinx，八工一四二八工）汽M+第》成田，Q~fX}〃0）=口加〜=1,3X29.几个函数方程的周期（约定a>0）（1-）第钝，锣羊④，则了⑺的周期I；间(2)f(.x)=/(x+<?>=01f(jc±a)=f(jc±a)=g)孙或用+加得8g叽或;十-尸㈤二『（工十日WO）小⑪,则/在）的周期T=2a；(3)，3二1一——-——(f(x)0>iELF㈤的周期T=3a^/(x十日)J（Ai+峋）=/（仪）=1（/（两）/沟）？1二口<|而-第142G，则八用为周期T=4a；（5）f（的讨5+6吐K”包曲:对交叶4尹玲=*成*第十口）汽工十%IfG；十%次为十旬,JSJ] 的，周期T=5a；（6）/（工+口）二/㈤-7（工+日）+则/㈤的周期T=6a.30,分数指数毫之1：,1'-i；n=-^=\O-Jm.fieAT*且曰>1).- 1<2xaK=—^- 0.m,wEArf且ft〉1).rlQg31.根式的性质(双”衰.(2)当乳为奇数时，海”；当卸为偶数时，^^目昨卜"一°.1—a:rrcU-32.有理指数募的运算性质:_1>a''£?'=a:~~(a> £Q)..("),二&=(q>Q：r：5EO).⑶梅丁=//g>0：后>Q:rE0.

注：若a>OTp是一个无理,数，则密表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数惠都适用.33.指数式与对数式的互化式£。品N=b0S=耳 口:。于1=N+0）.34,.对数的换底公式冥且口工】：,优冥且口工】：,优nO,且叨工，A「>0）.推论logy=—logdb（£7>0,且仃>1,%琏、。,且用于1』并产1,挣1.V>0）.35.对数的四则运算法则若2>3a^bM>0,N>0,贝!！10gLXa/N）=3MM十后心州；a）lag^=logaA/-loga.V;（3）1"卫虹 虹（叱町,36,设函数/㈤二10限（如】十如十c»hO）,记A=51-4础.若丁㈤的定义域为M则公1且；若汽汇）的值域为"则口>0,且心。.对于。=0的情形，需要单独检验.37_对数换底不等式及其推广若力％。，i>0,3t>0, 则函数了二侬具蚯）（1）当c百时，在@3和（L”）上丁=3舐（3为增函数.a ct. ⑵当仅C白时,在g3和J+X）上『=匕%（与为减函数，aa推论：设内）附。1，p>0*a>Qf且心工1,贝L111k>昌阳+f（jt+P）《1口口俎乳.I工［logsml（xSan<log^^—.38,平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为力则对于时间元的总产值门有）=阳1+⑼二39..数列的同项公式与前口项的和的关系

（数列4%）的前II项的和为%=+4+.-.+丹）.40,等差数列的通项公式&=+(总-1必=E抬+$一H(kEA7*);其前II项和公式为d2. 1皿=—+（口］一_d）冷.4L等比数列的通项公式其前11项的和公式为42.等比差数列上」:—殁干磷比融的*0）的通项公式为&十（临=1TOC\o"1-5"\h\z%=V附'.+3—万）号“一一一壮 ;一二 :-- -］L年-1其前口项和公式为修5~1■网修一1}H:（q=1）4=厂d、1—/d 八，- 3---）—V+；—展g工DI—q/—1 1-q.分期付款（按揭贷款）每次还款工=筌工元（贷款口元冲次还清［每期利率为白〉q+bjL—1.常见三角不等式（［匚若比E。马，贝Gsiiijcex<tanm.若he(Ol).1<sin ■2|simc；4-|cosx[>1..同角三角函数的基本关系式g5in-&+匚口％-8=1,tan&——--，tan8-cotO-1.cos■日.正弦、余弦的诱导公式空尸为招都 nK (―I)15JHCEL如(7+阳= 对[(一1尸cosdz「K归为硬拿) f+、亍r捽？r (-1)Jccsff,8乂 (■，：=*2 ㈣[-1)2sinor..和角与差角公式或宜《“土灼=UflMCCtE/5土C”或口产'c-os(tz =cosacos]BTsintzsin：fi；tati出土tan产团(国土用二— 三,1+tan次tan皆时试仪十向面-向=sifl，值-而"(平方正弦公式)；cos(ct4-/J)cos(a—/5)=cos2a—sin2p,os■出+匕cosa-J1十3；5由(久+乃(、转I-J牢口所在象限由点(c?=2)的泰限决定，tan肾=色)..二倍角公式sin2d.=siniZcos凄.cas2tif=cqsicr—sin2tz=2gqsxa—\=1—25tn2a,2tan第tm"= —,1—tan*€C49.三倍角公式gr85,39=4 9—3gsF=4cm8cp3(三一08乂三十8)'33="匕=t期/骨（三—+&）,1—3的TH 3 3.三角函数的周期公式函数F=三皿/工+取），x£R及函数量=cos（0x+如，冗£R.%p为高数,且AW。/<0〉0）的周期丁=二1；函数了=tan（/x+g）G）工.上H+$k七Z（氏3,3为常数，目AW0,3>0）的周期『=（.5L正弦定理工二工二」="siei月sinBsinC.余弦定理<r=5,十£，-2bccosJ;犷=L+M-2f£7COs5；c1=ef-I-£j2—l.abcosC.53,面积定理（1）S=g硕j=*%=；也（心想、也分别表示以、b、C边上的高〉.（2）S=—cj&sinC=~&csin>1=-casin5.2 2 2⑶s”=I#|说卜1场：—..三角形内角和定理在△ABC中।有x十8=江=c二；t-（m+8）=?二 02。二2才一201十万）..简单的三角方程的通解sinh=口<=>x=k珏+(―I)1arcane?(AeZ.ia|^1),cosx=a<=>x=2A；jt±arccosEZ=；u|<1).taak=&=k=汇态+arctana(Jc€Z.c?eJ?).特别地，有sincs=siny?^=>at=江江十(-1)"做keZ).es支=cosp=m—2Kr±eZ).tanCf=tar/5 cz=匕r十P(kcZ).56,最蔺单的三角不等式及其群集sinjc> r归1)Q工曰{2kJr1arcsinf?:2k^:-rjt—arciini?)=keZ.sinx<<s(|-c?l<1)0工E(兼TT—笈一arcsina.2Ar^+arcsina).kEZ.cos工了值(旧悍1)=蒐七(2兀河一arccsa:+arccosa\k^Z.cos工匚如白色1)<=>jc三(2止7F+arccos.az1卜定+171—arccos.£j):IceZ.tanx>a(£t三意)nxE(kn4arctan&k7i4：)=在EZ,tanx<eR)=he{k?L——.arctankEZ..实数与向量的积的运算律设Ar□为实数，那么(1)结合律：(Jia)=(AM;⑵第一分配律：(X-u)a=Aa-ua;(3)第二分配律二人(a-b)-Aa<Ab..向量的数量税的运算律：•b=b-a(交换律);(Aa)*b=z(a-b)=/用・b=a-(_ab);(3)(斯b》-c=a*c+b*c..平面向量基本定理如果匕1、e3是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数人】、A2t使得a=A0+翻崎七・不共线的向量6、比叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60,向量平行的坐标表示设展《孙乃)>b二(无，二总)j且b手。।贝LaZb(br0)令/两一再凶=Q.53,目与b的数量积(或内积)a■b=abcos0..a-b的几何意义数量积sl・b等于阻的长度2与b在副芭方向上的投影b：cos0的乘积..平面向量的坐标运算⑴设a二(孙乂)，b=(三二%)+则a+b=O14aM+%)，{2}设a=区H),b二(如必)，则a_b=(x1-^:y\-v2).出｝设A（&M）tB（可京），贝忆必二=（西-西|-防）.（4）设a二（七琉六人贝！ha二（qUW.（5）设a二（肛防），b=（%㈤贝Ua■b=［国十了正＞・.两向量的夹角公式co^=-r==^7==r1田=（玉=m）,b二（丐二均））.J4+即.JM+线.平面两点色的距离公式%二|新二点正方=Jf.一元『十〔工」—Ji）［以［工1J：）,■B〔电：后））”.向量的平行与垂直设丛二田防），b=（孙M）,且h,。,贝^Abab=&a=5产：一吭m=。.a_!_b（a^；0）＜=＞a■b=0=5石+改%二0.TOC\o"1-5"\h\z66线段的定比分公式 ^设48:乃）,鸟⑸取h尸（工仍是线段44.的分点,比是实数，且杼二尤至"贝U；_再，♦巧 _ _i+工c会」…逅_-1――12 1+A1—1+―=5?=西+0—办魂（仁一）.67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A（%%k5（.,巧八C值,先），则Aabc的重心的坐标是团二—二—二」s：『l）,68,点的平移公式|工=七+&IX=X—k-7 TTvJ=1 OOP=OPVPP.v=V+A：［T=l1—k注：图形F上的任意一点P（xg在平移后图形＞上的对应点为产（7）,且丽的坐标为的g@9.“按向量平移”的几个结论（1）点/莅窗按向量战二&后平移后得到点Pg几r十符.（2）函数冲代工＞的图象c按向量a=（也的平移后得到图象J则C的函数解析式为%氏-粉+匕(3)图象d按向量a二仇。平移后得到图象J若。的解析式尸=发明则C的函教解析式为v=g府-丘⑷曲线C：打”)=力.按向量包二由闱平移后得到图象3则C1的方程为打算-瓦》-的=。.(5)向量印二(覆四按向量a二色后平移后得到的向量仍然为ffl=(x:y).'70-三角形五川心”向量形式的充要条件设。为团C所在平面上一点,角乩耳。所对边长分别为口立〜则0为瓦43c的外心=小丁=丽:=历)d为AJZC的重心=■》十历十元=K(3)。为AABC的童心Q屈.历二51抚二沅.西.(4)。为工4ZC的内心04石”就+白灰==(5)。为ijac■的乙4的旁心W•疝5=%/+。灾\71_常用不等式二&bERn核+护之2M(当且仅当a=b时取“二”号).日9员-n与兰娟(当且仅当a=b时取J*号).13/C7-1+i'+tJ3abc(a>0:£j>0-1t>0).(4)柯西不等式(a1十二叉”十/)>g十bd立@b:c:deR.(5)同一例二|口+b,㈤+例.72,极值定理已知茗F都是正数.，则有(1)若积可是定值_?，则当工=丁时和工十》有最小值26；(2)若和工十了是定值一则当工〜时积升有最大值%，推广已知工”即则有(工+才=(工-工丁+2空(1)若积可是定值，则当|工-团最大时J工十了|最大；当口-p|最小时"丁+川最小.(2)若和|x+mI是定值，则当I耳rI最大时，I切最小；当I工-了I最小时，HI最大

ir3. 兀——［攵不等式tix，十bx-\-c> <0)(/H0=△=3"-4口白>0),如果口与加十日工十匚同号.贝!;其解集在两根之外；如果口三一十取十c异号，贝&其解集在两根之间，简言之，同号两根之外，异号两根之间.国工工〈问台■（x—西乂羌一应）<0［西<j&i）;工亡餐:亚工<=>（x—石乂工一汽）O0q<X,）74,含有绝对值的不等式当心。时，有x:口今X*>0工>口目工兀<一以75.无理不等式（1）占⑶+向互O」百㈤之◎J(XP£3⑵4八公・式⑵4八公・式40T了3之。鼠动之。 或，7w>0

占3《o，力之。C3>4尺自vm（k）=一虱自〉口76_指数不等式与对数不等式H）当日>1时।口三"a『（自>晨公;了3>。0qf（x）>logag（DC）Q，g（x）>Q⑵当0“正时，a限口备忒粉西制（期;7«>o站目上AX）>1限或力O"g（X）>0J8<氟工）77.斜率公式在=二一:匕：片（五：%）、4（过二打））■

7&直线的五种方程（1）点斜式v-的=奴工-西）（直线『过点耳5且斜率为止）.（2）斜截式”展+Mb为直线『在y轴上的截距），（3（3）两点式上二=二%一财三一七苴，当）\4（.国.；Pl）r6《巧:了。（瓯力巧））.（G截距式：+”（0、占分别为直线的横、纵截距，久以0）（5）一般式加+型+C=。（其中A、B不同时为0）.79.两条直线的平行和垂直fl）^r'I]：J，=十瓦[4：J,=k2KH-l?-i■Jj4II，■:=左=拓：4金瓦；②4—/s<=>%&--]..（2）若J]：4%+为》+G=。3：曲第"1■/P+G=。,且A[rA]rB[>&都不为零！，①『II4=且二旦工9；4星G②4Q44+BXB.=0；8。.夹扁公式⑴"标一a：,=匕元+&,&二]二与工+&二瓦比于T）仁）1311aHl1_4与1遥应+8/；（/「4工+鼻）十好=04:黄产+况#十q=0二44+以#:金口）.直线『1匕时，直线）】与力的夹角是]8L&到4的角公式⑴tana=二_二.]十后用（仁）=&工+&*g二丁二与工十国,比能6一1）⑵由口“明_鼻耳.'' 44十名为（；[：+国2,+c_=o,4：A^x十&“1+G=o34工与+凡打工o）.直线4q二时,直线A到&的角是1S2,四种常用直线系方程（1）定点亘线系方程：经过定点取心力）的直线系方程为挈-外二奴工-不）（除直线工二n其中在是待定的系数；经过定点昂（对此）的直线系方程为出其-与）+研p-％）=0,其中A..B是待定的系数.⑵共点直线系方程：经过两直线4二4#十/了+0］=0，y城工十2水十6=0的交点的直线系方程为（^JC+B-^y+CL）+z（Xx5-；］.'+C;）=0（除+其中入是待定的系数.（3）平行直线系方程:直线看版十》中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线毋+用+C=0平行的直线系方程是小+格+尤=0（比二a）J入是参变量.（4）垂直直线系方程］与直线生+a+。二o（AHCbBW0）垂直的直线系方程是以-为高=力工是参变量.83.点到直线的距离八号等萨1（点直线/：小十母十已=0）.84,出:十母■十c＞o或c口所表示的平面区域设直线一石+44。=。.则为+於'+C%。或m所表示的平面区域是：若田工0上当8与本+为'+C同号时，表示直线『的上方的区域;当又与£+为+C异号时，表示直线/的下方的区域.简言之:同号在上，异号在下.若需=0,当/与取+坳+C同号时，表示直线『的右方的区域;当W与也+为+C异号时,表示直线f的左方的区域,.尚言之，同号在右，异号在左. 、85.（/声+Bj3Gx4尤+占P+GA0或父。所表示的平面区域设曲线c：qv+丞f+gx遥看+a在+G）=。（鸟当此外工。），贝!！Q4/49金+匚说4工4%）斗弓）＞口或£口所表示的平面区域是:（中十/F十GX4七十分,十G”G所表示的平面区域上下两部分；（4x+Ej+GX4x+%+G）＜。所表示的平面区域上下两部分.86,圆的四种方程

（1）圆的标准方程（工-4十@-%尸=d.（2）圆的一般方程三4+尸=。①口+5-4声＜3）圆的参数方程；—y=£i+rsin&（4）圆的直径式方程也-西后-西）+5-理分-为）=。（圆的直径的端点是出在J，）、取笑.））,.园系方程（1）过点以&ji）,身:天通）的圆系方程是（胃一药算工一9）十（v-^X?-v2）+x［（jr-再X巧-*J-（v-M）（*—七）］=0=（鬣一百）（犬一9）+（下一HX＞一%）+距比+加+或=。j其中g■十%+a=G是直线里的方程，入是待定的系数.⑵过直线F：缶:+即+C=0与圆C：,，+/+加+号”=0的交点的圆系方程是储十/十Qx十迎十F十用小;十为十⑦=0,人是待定的系数.过圆G： 3+工二+马工+区丁4耳=0与圆G:『十尸:十鼻工十耳了十月=。的交点的圆系方程是/+F*十9工~1■西尸~1■耳-!--Z（jr+y*4~刃/+亘■:靠+再）=0,A侍定的系娄i..点与圆的位置关系 ’点尸与圆（买-城+O-犷=6的位置关系有三种若d=十g_*则dAF=点产在圆外：d=尸一点？在圆上；d5=点?在园内，89,直线与圆的位置关系直线的+为+C=0与圆（又一口尸4（f一5尸=『的位置关系有三种：d＞k=相离合A。0；壮二F=相切＜=＞A=0,：壮士¥=相•交=X＞。,.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为。】,。门半径分别为匕,%口川广d＞八+r＜=＞处离＜=＞4条公切线；d=勺+々台外切03条公切线；

h—尸』父dv口+广]=相交Q2条公切线；d二h一广10内切Q1条公切线；0<d<心一则|=■内含=无公切名贵..圆的切线方程（1）已知圆/+》，+必+&+F=0.①若已知切点小袂）在圆上，则切线只有一条，其方程是中+9+项1力+国彳十差+产二0.当餐做）圆外时，呼+牍+号义+弛产+广=。表示过两个切点的切点弦方程， "②过圆外一点的切线方程可设为L典二低工-修、再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可役为忏%+人再利用相切条件求b,必有两条切线_（2）已知圆/十丁=尸.①过圆上的弓（马打）点的切线方程为可,+pf=户；②斜率为由的圆的切线方程为y=Ax±rJl+k^.孙椭圆三小6的参数方程是产=[%ad [v=b3ine93,椭圆三4g:1（心St））蕉半径公式|咫|=心十?，户周=董（一期,.椭圆的的内外部⑴点产值㈤在椭圆[+W=ig>&*的内部=写+哮<1.Wb' *if（2）点P&J，Q在椭圆三十工=lQb"的外部a二十盛八95,椭圆的切线方程⑴椭圆三十会=l（a>^>G）上一点P（跳:汴）处的切线方程是殍十岑二1才卜.

（2）过（2）过椭圆三+J-4=igm＞为外一点外如如）所引两条切线的切点弦方程是孝十矍=L（3）痫圆=44=&3白〉口）与直线上+为4＜?=0相切的条件是//十/职=/..双曲线卫-的需半径公式|嘴上心十二）|,|班卜式:-幻|・97,双曲线的内外部⑴点打孙班）在双曲线二-1=1＜心口,屋0）的内部与三一浮＞1W斤 Wb⑵点严（小凡）在双曲线上《二13”10）的外部01-1＜1"犷 {/万工.双曲线的方程与渐近线方程的关系（1）若双曲线方程为5—5=1=渐近线方程：g==0O"=士工.d& a⑵若渐近线方程为好±2=王土/m双曲线可设为aaba1P⑶若双曲线与1-W=i有公共渐近练可设为£.匕=九＜…*焦点在X轴上.九＜0.焦点在y轴上）..双曲线的切线方程口）双曲线1=1（口”金》劣上一点尸小»）处的切线方程是£1Dwy（）y—~TT~~1'ad（2）过双曲线-C-£-=4＞0田＞0）外一点网海;用）所引两条切ag线的切点弦方程是铲y&'_1~『~u~~x1ad.两个常见的曲线系方程（1）过曲线工（五月=0,工仕尸）=0的交点的曲线系方程是族力）+防（2）=0（%为参数）.（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程十＜二1,其中0—kb-kk亡max储方？,当士＞曲门8［百,｝时,表不椭圆；当min max｛/方｝时」表示双曲线“.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|月囚|二J（7一西1＞'十（防—Mi）’或|J5|= + 电一kJ*=1西一天lIJ1十ET==药—Vn|Jl+c■1t*=（弦瑞点A（巧:＞口33小），由方程，；\十心消去M得到京+加+白=0,［_F（x=y）=0A、0,应为直线登的倾斜角，比为直线的斜率）..圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线产（工工1）=0美十点成中心对称的曲线是产匹2此一y）=°，（2）曲线产（工丁）=0关于直线J±x十为,十C=0成轴对称的曲线是.,「工五/工十曲■'十C）.28（右十揖■■十C）r'A~~/谓-r-T+京 ~,."四线”一方程对~Z 般史二次曲线Ax^十曲p十6,十7）工十迎十F=0,用jc^x代x11用收代用国产代中，用空代皿用早代［即得方程£ 工 后3+乱研产+%下+0一若Z+工一号1+9=口.曲线的切线，切点弦，中点弦,弦中点方程均是此方程得到..证明直线与宜线的平行的思考途径C1）转化为判定共面二直线无交点：（2）转化为二百线同与第三条直线平行；（3＞转化为线面平行接C4）转化为线面垂国；（5）转化为面面平行.H0,证明直线与平面的平行的思考途径CD转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行..证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行：(3)转化为线面垂直..证明亘线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；⑵转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂亘；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直..证明直线与平面垂直的鬼考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线歪直；(2)转化为该亘线与平面内相交二直线垂亘；(3)转化为该亘线与平面的一条垂线平行：(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直..证明平面与平面的垂直的限考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直,.空间向曼的加法与数乘向量运算的运算律加法交换律：a+b=b+a.(2》加法结合律：(a+b)+e=a+(b+c；.⑸数乘分配律；X(a+b；=入a+Ab.116,平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量心取bHO),我方小㈡存在实数工使a=ArRa8三点共线=APIITA<=>AP-tABOOP-(1—f)CL4-\-tOB.城CD0JiS、诙共线且川&CD不共线O=f①且MB、CD不共线.11区共面向量定理向量P与两个不共线的向量3、b共面的=存在实数对工4,1更7=©+£）*1，推论空间一点P位于平面MAE内的o存在有序实数对毛了,使砺二屈十》砺，或将空间任一定点0,有序实数对工〜便砺=国?+丽.对空间任一点。和不共线的三点A.B、C,满足OP=xdA-^-yOB+zOC（工十n十x二由"则当诙=1时，对于空间任一点0,总有F、MB,C四点共面；当时,若。e平面ABC,则AA、B.C四点其面；若。武平面ABG则P、&B、C四点不共面.AB.C.D四点共面Q商与互、工共面OAD=xAB+yAC=QD=（1-x-j^S+y^OC 色平面ABC）..空间向量基本定理如果三个向量双、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一苴有序实数组轴yt7使p=xa+yb-zc.推论设。、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点匕都存在唯一的三个有序实数不yt心便诉二工既十p就十工面.12L射影公式已知向量数二出和轴3e是/上与『同方向的单位向量.作息点在『上的射影作B点在『上的射影下，则AB=AB|cos<④e;=3-e.向量的直角地标运算.设用=（药9二心），b=1瓦也二切则（1）田+b=（丹+瓦/工+区必+寓）*'-..—JabSi—%=%一瓦=口三一%）；（3）入a=（祠/自立里）（AER）；（4）&*b=西可十0曲十佻配*123.设“芍岛⑷，B&&蠲1则AR-0B—0A~(x,—jq:y2—y1：z2—4).124,空间的线线平行或垂直

TOC\o"1-5"\h\z、r工 a -—（工,白二（9 ,又|jjq=无句L1 11. £ *&Pb4=>0=Ab（b止0）0"=乃=入内;［丐=工巧LH 1IaJ-S= =0<=>玉米-i-j正+司马=0.125-夹角公式设3=（码=勺色）/b=（瓦二瓦盘）p则>2 ;■ & h\二勾自十小团十里当LU3 \ aj U/―। _ ._1 ；-，&;+药+4试+与人方；推论g瓦+o■通+口也fvg；+<7i+鬲）面+岩+zf）j此即二维柯西不等式.126,四面体的对棱所成的角四面体加6中，与班）所成的角为凡则uO'S-—2ACBD|西西十十与句|.异耳鸟线所成角cos9=|cos.|西西十十与句|, 2, 2+必+4=^4U「__一厂im•出।J, 2, 2+必+4（其中日为异面直线9所成角，联上分别表示异面直线2的方向向量）.直线AS与平面所成角P=arcP=arc5mA3-rai{m为平面酬的法向量）..若a超C所在半面若/与过若的平面值成前韦氏另两边/u,7c与平面0成的角分别是司、鸟，a3为角c■的两个内角，则骨口,可十5也’氏=（3口,/十sin'3）5iiT8.特别地，当乙id=w时,有或口，司+sirT%=sin.若XABC所在平面若尸与过若AB的平面a成的角扎另两边NC,EC与平面立成的角分别是西、氏£A为A四。的两个内角3则tan*i9l+tan:&-.=（。口，4+ski，百）tan，9.特别地，当4以=卬时，有址n，珞+sin?珞二sin，日.13L二面角氏T-尸的平面角8二口叫80二;或.一日y8&二匕Cm,用为平面cn力的法向量）.|m||^| I制II盯I132,三余弦定理设AC是□内的任一条直线，且ECL4C,垂足为G又设&0与AB所成的角为也，AB与AC所成的角为4,AO与AC所成的司为6.贝Lcos8=匚c.0-s%,133,三射线定理若夹在平面角为印的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是%区,与二面电的棱所成的角是日，则有siiT（iJsiiii&—时『员+疝E色一2sin区疝口区cos0；同-氏区口£1酊-©+%）（当且仅当9=90,时等号成立）.13生空间两点间的距离公式若A（』=M，与〉#B（吃山=马）,贝U心二14用=^AB-AB=J（石一百丫十：约一凶丁十Q口一马于■135点。到直线/距离人=5版而尸而讨（点尸在直线『上，直线『的方向向量a=PAt向量b二迈），13日异面直线间的距寓川=卓石（//是两异面直线,其公垂向量为氤cD分别是“人上任一点,H为L旬的距离）.137.点2到平面a的距离了二西向《为平面◎的法向量，金是经过面尻的一条斜线.I川AEa）.13&异面直线上两点距离公式d= '十陋‘十干？同kcosm.n=J尸+冽二+/一工周盟七心区守(^?=£—AA—F").•::两条异面直线M、b所成三角为九其公亘线眼上生长度,为11.在直线a、b上分别取两点E、F,AE=m?AF=n,EF=d).139.三个向量和的平方公式--，- -J.-1_r —— —— —一（口+5十二）'=仃十3+c+2a-b+lb-c-\-2ca=a+b+士421口上网gs,:方）4~213卜|。|但白）421仁|.|140.长度为r的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为原“0，夹角分别为今冬生,则有「=R;R+g=CO5.2%+己以-2+ ，冬=1Osiil，g+si6244口，鸟=2.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例1.14L面积射影定理cos^《平面多边形及其射影的面积分别是5、S，它们所在平面所成锐二面角的为短..斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是『，侧面积和体积分别是与性部和噎转,它的直截面的周长和面积分别是何和冷则①,等程曰=勺,,②嚓^二.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行..棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等.对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方)；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

.欧拉定理《欧拉公式）厂+?―（简单多面体的顶点数仅棱数E和面数F）.E二各面多边形边数和的一半,特别地，若每个面的边数为用的多边形』则面数F与棱数E的关系；F=（2）若每个顶点引出的棱数为俄,则顶点数V与棱数E的关系：E=g用，..球的半径是兄则其体积/=¥列其表面积5二4ML.球的组合体（1）球与长方体的组合体；长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体：棱长为门的正四面体的内切球的半径为*心外接球的半径为邪-148i柱体、锥体的体积%=*卜（S是柱体的底面积、历是柱体的高）.嗑怦=g甑（5是锥体的底面积、内是锥体的身）：；,：.分类计数原理（加法原理）=的1+吗H 卜叫*150,分步计数原理（乘法原理）y=响乂叫工…x叫,15L排列数公式旧—附）|.L口,班EN1%且小工理〉旧—附）|.L口,班EN1%且小工理〉.注:私定=1.152,排列恒等式(1)4二但一成十以广】；(6)1!十2⑵+33+…+旧讯=01+1)1—1153.组合数公式—£—版——1)…。】一切41)_ 修！H；1N2肾・一/阴m\-(n-m)\ffa<r?),154.组合数的两个性质⑴cr=cl:注:规定C：=L155,组合恒等式(1)m(3)片二一C^：mw(4)2r-0(5)C；+C34- 十…+C：=C匚:.⑹C：4C*j.+C；j,+C—。⑺媪y+或jyv+c：4……⑻C；+宅+3C：+…4仁二心-】.⑼/或+匕七：+…+琛。」•(10)+©?+附+-*5=4.

.排列数与组合数的关系w冏_vj.pj*1.单条件排列以下各条的大前提是95个元素中取酬个元素的排列.“在位*'与“不在位”①某（特）元必在某位有,01种；②某（特）元不在某位有或—31《补集思想）=*3心|（着眼位置）=心十4/：（着眼元素）种.（2）窠贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：封上4加工抽个元在固定位的排列有星*黑种.②浮动紧贴.h个元素的全排列把k个元排在一起的排法有《方建种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有E11个Cjt<Jr+l）,把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.⑶两组元素各相同拧插空阴个大球W个小球排成一列，小球必分？E间有多少种排注？当和A制+1时，无解；当汽V附+1时』有争=41种排法，（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和口个,各组元素分别相同的排列数为.’158.分配问题（1）（平均分组有归属问题）将相异的a'孔个物件等分给,个人，各得的件,其分配方法数共有TT_尸用尸僧 尸州尸"_［喇可卜！二\= .口"差"［加〜航 5把■J-.（2）（平均分组无归属问题）将相异的也•疔个物体等分为无记号或无顺序的想堆,其分配方法数共有ml（叫龙（3）（非平均分组有归属问题）将相异的P（Pf54…+门_）个物体分给次个人，物件必须被分完，分别得到批小件，体分给次个人，物件必须被分完，分别得到批小件，/这初个数彼此不相等，则其分配方法数共有小代一小晨（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的FT和+1V…个物体分给次个人，物件必须被分完，分别得到”M…，心件,且啊，%这次个数中分别有a、L匚、…个相等，则其分配方法数有N=中与；/一涧=——也——.出白5!… %％!…/!（小分!e!…）（G（非平均分组无归属问题）将相异的POiV为十…+Q个物体分为任意的修，与，…，％；件无记号的跳堆，且修，吗,…,/这加个数彼此不相等,则其分配方法数有町阳…叫（6）（非完全平均分组无归属问题）将相异的P（PF|S+…+0个物体分为任意的巧$玛.…j2件无记号的加堆,且/,%"…3时这次个数中分别有3出C、…个相等，则其分配方法数有《7）（限定分组有归属问题）将相异的中【尸二弭+叫十…+纵）个物体分给甲'乙、丙， 等班个人，物体必须被分完，如果指定甲得利件,乙得叱件f丙得巧件,…时》则无论沔》限等屈个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有159.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信用封信与口个信封全部错位的组合数为 F（-1）^一］.41 加推广：叫个元素与耳个位置［其中至少有阴个元素错位的不同组合总数为/8时=4—03—罩十比5-?）!—C&—沙十片伊一到 +（—1了C氢内一户）!+…+（-1）*。在内一唠！160.不定方程均+西+…+/=加的解的个数(1)方程三+/+--+/=出(GV*)的正整数解有'Ct个一(2)方程再飞+…十赖-m(&msw.M*)的非负整数解有个.⑶方程通+…七。=例(鼻耳后y)满足条件天“(丘产,2M的l1)的非负整数解有0欲7个.⑷方程西+西+…+/=也(n:jnexV*)满足条件维工兀(丘个，2 )的正整数解有-C1C*i十C」C^i 个.mtbtLx_2ur^nk_2irfKTR-iJM b_2Elr~f-T在.二项式定理g十旷二号十十c：产%a十，•,十十小十c酎；二项展开式的通项公式了有二仁产宝①二川,？…,江.等可能性事件的概率.互斥事件A,B分别发生的概率的和p(a+b)=p(a)+p(b).j个互斥事件分别发生的概率的和F(Ai+42T FAn)=P(Ai)+P(A2)H FPUn)..独立事件A,B同时发生的概率P(A*B)=P(A)*P(b£.n个独立事件同时发生的概率P(Ai-A2 An)=P(Ai)■P(A2) F(AQ.16An次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率.离散型随机变量的分布列的两个性质£之仪i=12…)；(2)4+用+…=1...数学期望=国或+9用+…+小舄+…170.数学期望的性质（1）万（□手+》）二口£（丁）+$,（2）若！〜电乾二⑼，贝［|24=呼.⑶若占服从几何分布,且产仁=阶=既用=产产,则码」.P17L方差M=（西—Eg-m十后—邃」-为十…十（再―E4广口+….标准差遭二世，.方差的性质（1〉口（遭+白］=山，必；（2）若4〜砥氏p）*贝二即（1一⑼一⑶若《服从几何分布，且F（"粉二出则琅咦..方差与期望的关系 「竺=卫$-（糜%171正态分布密度函数/⑺=卞=7-一：万4-取十融卜式中m勺实数口,cr（八。）是参中阳6数,分别表示个体的平均数与标准差..标准正态分布密度函数于3=1飞笈6曰'二.对于阳国寸），取值小于冥的概率尸㈤m产（工1<x0<x/l=尸（工<jc21—F［x<kJ三F——二晨三及二