两个计数原理集体备课

两个计数原理集体备课记录胡茂梅第7周2013-4-10，沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人田德清。课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理目标：理解两个计数原理，能够应用解决简单问题，培养学生归纳概括能力，实现“以学生为中心”的理念，感受数学的人文价值，提高学习兴趣，体会数学学习的美感。教学过程：通过实例激发学生的兴趣，引导学生从数学角度发现问题，正确使用数学语言表达问题，形成一定的数学应用意识。同时，让学生在自主探索和合作交流中获得新知识，感受探索数学的乐趣和成功体验，培养学生实事求是的科学态度和锲而不舍的探索精神。重点难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解。教学方法：群策群力，集思广益，通过“自主、合作与探究”实现教学目标。下面是一些练习题：9.设a∈Z，且≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝？10.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，有几种排列方式？6.将2名教师和4名学生分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有几种？7.若从1,2,2,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有几种？8.方程ay＝b22x＋c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有几条？本次备课的主题是分类加法计数原理与分步乘法计数原理。通过学习这两个原理，我们的目标是让学生理解它们的含义，并能够应用解决简单的问题。同时，我们也希望培养学生的归纳概括能力，实现“以学生为中心”的教学理念，让学生感受到数学的人文价值，提高学习兴趣，体会数学学习的美感。在教学过程中，我们将通过实例来激发学生的兴趣，引导学生从数学角度发现问题，并正确使用数学语言表达问题。同时，我们也会让学生在自主探索和合作交流中获得新知识，感受探索数学的乐趣和成功体验，培养学生实事求是的科学态度和锲而不舍的探索精神。为了达到我们的教学目标，我们需要重点关注分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解，这也是本次备课的难点。在教学方法上，我们将采用群策群力的方式，集思广益，通过“自主、合作与探究”实现教学目标。下面是一些练习题：9.设a∈Z，且≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝？10.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，有几种排列方式？6.将2名教师和4名学生分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有几种？7.若从1,2,2,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有几种？8.方程ay＝b22x＋c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有几条？“加法原理与乘法原理”是数学中基本的计数原理，它们是从大量的实践经验中归纳出来的基本规律，具有广泛的应用性。这两个原理不仅是推导排列数、组合数计算公式的理论依据，而且是培养学生数学应用意识和实践能力的良好素材。正确使用这两个基本原理的前提是使学生分清楚它们的使用条件：分类用加法原理，分步用乘法原理。这两个原理也是帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯的好素材。在学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，首先要理解它们的基本概念和应用方法。分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互不相交的部分，分别计算每个部分的方案数，再将各部分的方案数相加得到总方案数的计数原理。分步乘法计数原理是指将一个问题分成若干个步骤，每个步骤的方案数相乘得到总方案数的计数原理。正确使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理可以帮助学生分析和解决一些简单的实际问题，如乒乓球比赛中各种输赢情况的可能性、从不同颜色的卡片中选出三张不同颜色的卡片的方案数等等。因此，掌握这两个原理是本章内容的教学要求。本文介绍了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的基本概念和应用。其中包括以下几个实例：1.在一个二元组中，第一个元素取自集合{1,2,3,4,5,6}，第二个元素取自集合{1,2,3}，且两个元素不能同时为偶数。问这样的二元组有多少个？解：根据分类加法计数原理，可以将问题分为两类，即第一个元素为奇数和第一个元素为偶数两类。对于第一类，有6个选择；对于第二类，有3个选择。因为两个元素不能同时为偶数，所以第一类中只有3个选择。所以，总共有6×3-3=15个二元组满足条件。2.在一个直角坐标系中，横坐标取自集合{0,1,2,3,4,5}，纵坐标取自集合{1,4,5,6}，且横坐标和纵坐标不能同时为偶数。问有多少个点满足条件？解：根据分步乘法计数原理，可以将问题分为两步。第一步是选择横坐标，有6个选择；第二步是选择纵坐标，有4个选择。因为横坐标和纵坐标不能同时为偶数，所以只有在第一步选择偶数时，第二步才有3个选择。所以，总共有(6×3)+(3×2)=24个点满足条件。3.在方程x+a=2b+c中，a、b、c取自集合{-2,0,1,2,3}，且a、b、c互不相同，问有多少个方程满足条件？解：根据分步乘法计数原理，可以将问题分为三步。第一步是选择a，有5个选择；第二步是选择b，有4个选择；第三步是选择c，有3个选择。因为a、b、c互不相同，所以第二步只有在选择完a后，才有3个选择；第三步只有在选择完a和b后，才有2个选择。所以，总共有5×3×2=30个方程满足条件。4.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取1个小球有20种取法。解：根据分类加法计数原理，可以将问题分为两类，即第一个小球来自哪个口袋和第二个小球来自哪个口袋两类。对于第一类，有5种选择；对于第二类，有4种选择。因为两个口袋内的小球颜色互不相同，所以总共有5×4=20种取法。5.一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成10,000个四位数号码。解：根据分步乘法计数原理，可以将问题分为四步。每个拨号盘上的数字有10种取法，所以第一步有10个选择；第二步也有10个选择；第三步还有10个选择；第四步同样有10个选择。因为是四位数号码，所以总共有10×10×10×10=10,000个号码。Step1:从A村到B村有36种方法，具体计算方法为8+7+6+5+4+3+2+1=36。Step2:已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，求方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解法。Step3:从C村到D村的方法数未知。因此，无法确定从A村到D村的总方法数。问题1、问题2的相同点是完成一件事情，不同点是问题1是分类加法，问题2是分步乘法。2、两个基本计数原理：①分类加法计数原理：完成一件事情可以分为n类，每类有mi种方法。则完成这件事共有N种方法。②分步乘法计数原理：完成一件事情需要经过n个步骤，每个步骤相互依存。则完成这件事共有N种方法。3、有一项活动需从3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加。若只需一人参加，则有16种不同的选法。若需老师、男同学、女同学各一人参加，则有3×8×5=120种不同的选法。若需一名老师和一名学生参加，则有3×(8+5)=39种不同的选法。基础检测备注：1、完成一项工作有两种方法，其中5个人只会第一种方法，另外4个人只会第二种方法。若从9个人中选1个人完成这项工作，则有9种不同的选法。2、在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有40个。3、在平面直角坐标系中，确定若干点，点的横坐标取自集合P={1,2,3}，纵坐标取自集合Q={4,5,6}。则确定的点的总数为9。本文介绍了两个基本原理的运用：分步乘法计数原理和加法原理。首先通过一个书架上放置不同书籍的例子，让学生理解了如何使用加法原理计算不同的取法。然后通过命名程序模块和RNA分子的例子，让学生学会如何使用分步乘法计数原理解决问题。在例1中，学生需要用3个字符给程序模块命名，其中首字符要求使用字母A—G或U—Z，后两个要求使用数字。通过分析可以得知，命名程序模块可以分成三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后字符。而首字符又包含两类。关键是让学生体会到数字符可以重复，因此第2步与第3步都有9种方法。同时，提示学生可以建立不同的模型，探索不同的解法。在例2中，学生需要计算由100个碱基组成的RNA分子的不同种数。每一个位置都可以从A、C、G、U中任意选一个填入，每一个位置有4种填充的方法。所以由分步乘法计数原理，可知分子数目有4×4×4×4=4100种。师可以让学生体会生活中的事例，同时让学生体会可重复排列的问题的特点。1.有三个人需要去5间工厂参加社会实践，问有多少种分配方案？分析：每个人均有5种可能性，按分步乘法计数原理，N=5^3=125种分配方案。2.计算机内部采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，为使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码。每一个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据储存的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。问：（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）GB码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：每一位置只有两个可能：0或1。因此可以用分步乘法原理来求解本题。解：（1）每一个字节共有2^8=256种选择；（2）2个字符可以表示256×256=65536个不同的字符，这已经大于6763。所以至少用2个字节即可。3.某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照都必须有3个不重复英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：应该分成两类，字母+数字或数字+字母。第一类时，在分成6步，依次可以算出每一个位置的选法。再同理可以计算第2类的选法。解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右。字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法；根据分步乘法计数原理，26×25×24×10×9×8=11,232,000。同理，字母组合在右牌照也有11,232,000个。所以，共能给11,232,000+11,232,000=22,464,000辆汽车上牌照。、C三类方法，若A方法有m种，B方法有n种，C方法有p种，则完成一件事的总方法数为m+n+p。（3）分类加法计数原理常与分步乘法计数原理结合使用，即先按照某种标准分类，再在每一类中应用分步乘法计数原理。例如上面例1中，按照十位数的不同情况分类后，再在每一类中按个位数的不同情况应用分步乘法计数原理。（4）在解决实际问题时，应根据具体情况选择分类的标准，分类的方法可能有多种，要根据实际情况选择合适的方法。同时，要注意删除明显有问题的段落，避免干扰阅读理解。注意到每个点的坐标都是由两个数字组成的，因此可以将问题分解为两个步骤：先选取横坐标，再选取纵坐标。对于第一步，有6种选法（从集合M中选取一个数作为横坐标），对于第二步，也有6种选法（从集合M中选取一个数作为纵坐标）。因此，根据分步乘法计数原理，共有6×6=36种不同的点。对于第二问，第二象限的点满足横坐标为负数，纵坐标为正数，因此在第一步中只有3种选法（从集合M中选取一个负数作为横坐标），在第二步中只有2种选法（从集合M中选取一个正数作为纵坐标）。因此，根据分步乘法计数原理，共有3×2=6个第二象限的点。对于第三问，直线y=x上的点满足横坐标和纵坐标相等，因此只需要从集合M中选取一个数作为坐标即可，有6种选法。因此，共有36-6=30个不在直线y=x上的点。分步乘法计数原理是一种解决需要分成多个步骤，每个步骤都有多种不同方法的计数问题的方法。例如，在解析几何中，我们可以先选取横坐标，再选取纵坐标，从而计算出平面上不同的点的数量。此外，分步乘法计数原理还可以用于计算特定区域内的点的数量，例如第二象限或不在某条直线上的点。确定平面上的点P(a,b)的方法：首先确定a的值，有6种确定方法；然后确定b的值，也有6种确定方法。根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6=36。确定第二象限的点的方法：首先确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；然后确定b，由于b>0，所以有2种确定方法。根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6。点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b。因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个。根据第一问的结果，不在直线y=x上的点共有36-6=30个。已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}，若a、b、c∈M，则：(1)y=ax^2+bx+c可以表示180个不同的二次函数。因为a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况。(2)y=ax^2+bx+c的开口向上时，可以表示72个图象开口向上的二次函数。因为a的取值有2种情况，b和c的取值均有6种