几何与线性代数习题集册

,.习题一 几何向量及其运算姓名 学号 班级一、填空题1．下列等式何时成立：1），当；2），当；3），当；4），（,为非零向量），当；5），当。2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）{,}是；2）,不平行，{,}是；3）,,共面，{,,}是；4）,,不共面，{,,}是。3．在空间直角坐标系中，点M(2,3,5)关于关于yoz平面的对称点是；关于原点的对称点是；关于z轴的对称点是；在xoy平面上的投影点坐标是；在y轴上的投影点是；到yoz平面的距离是；到原点的距离是；到x轴的距离是。uuuruuur二、设OA,OB,P为线段AB上任一点，证明存在数，使得OP(1)。,.三、已知向量ee,ee,ee，证明,,共面。122313四、判断题1．若，且，则。（）2．,,共面的充分必要条件是()0。（）3．sin,。（）4．。（）五、填空题1．已知向量和的夹角2,3,4，则31）=；2）2=；3）(32)(2)=。2．已知AB2,AD3，其中5,3,,6，则三角形ABD的面精品文档放心下载积S 。六、已知1,2,,2,,。问31）为何值时，与平行；2）为何值时，与垂直。,.七、已知与垂直，且3,4，计算：(提示:,.)谢谢阅读1）()； 2）()()； 3）(3)(2)。谢谢阅读习题二 向量及其运算的坐标计算姓名 学号 班级一、填空题1．平行于y轴的向量一般表示式是 。2．向量(3,1,4)，(2,1,1)，它们的夹角, 。精品文档放心下载3．向量(2,3,t)，(t,6,2)，当t= 与t= 时，与平行。感谢阅读1 2 12ururuur,.4．设三力F(1,1,0)，F(0,3,1)，F(1,2,1)作用于一质点，使质点产生的位移向123ur2jk，则合力所做的功W量Si。5．三角形的三个顶点为A(1,0,0),B(1,0,2),C(0,1,0)，其面积S。6．和向量i3jk,2ijk都垂直的单位向量是。二、已知向量(3,5,1)，求的方向余弦及与平行的单位向量。三、证明向量在上的投影向量为，并求向量(2,3,1)在向量(1,2,2)上的投感谢阅读影向量。,.四、向量(8,3,2),(0,2,1),(1,2,3)是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱精品文档放心下载所作的平行六面体体积。,.五、设(1,0，0),(2,2,1),向量,,共面，且ProjProj3,求。习题三 平面与直线姓名 学号 班级一、填空题1．平行于平面5x14y2z360且与此平面的距离为3的平面方程精品文档放心下载是 。2．如果平面ax2ay10z20与x2y5z0平行，则a谢谢阅读若垂直，则a 。3．过三点A(1,0,0),B(1,1,0),C(1,1,1)的平面方程是谢谢阅读4．过x轴且垂直于平面5xy3z30的平面方程是感谢阅读5．点A(2,3,1)到平面xyz10的距离是精品文档放心下载6．通过点A(1,5,1)和B(3,2,12)且平行于y轴的平面方程为精品文档放心下载7．过点M(2,3,1)和M(1,0,3)的直线方程是精品文档放心下载1 2x1z28．过点M(2,1,3)且垂直于直线y的平面方程是239．过点M(0,1,3)且垂直于平面3x2yz90的直线方程是M点在此平面上的投影点坐标是；M点关于此平面的对称点坐标是二、求满足下列条件的平面方程1．过原点引平面的垂线，垂足是点M(1,2,1)的平面方程。精品文档放心下载

,.；。。。。。。，。2．通过点A(2,1,3)且平行于向量(1,2,1)及(0,3,4)的平面方程。谢谢阅读,.三、求过点(3,1,2)且通过直线x4y3z的平面方程。谢谢阅读5 2四、求点(3,1,2)xyz10的距离。到直线2xyz40,.五、求两异面直线l:x4yz1;l:x3y2z2之间的距离。12632254,.习题四线性方程组姓名学号班级x2xx0123一、用加减消元法求解下列线性方程组1)2x4xx0.123x2x2x0123,.x2xx31232)2x4x5x1123x2x2x2123x1二、对非齐次线性方程组x1x1

x3x232x4x3，当a，b为何值时无解？何值时有无穷多解？感谢阅读33xaxb2 3,.三、液态苯在空气中可以燃烧。如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会谢谢阅读在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积.这个化学反应的方程式为感谢阅读xCHxOxCxHO1 6 6 2 2 3 4 2,.求变量x,x,x,x以配平该方程。1 2 3 4习题五矩阵的运算姓名 学号 班级一、填空题1．设A1(BE)，则当且仅当B2时，A2A。22．A2B2(AB)(AB)的充分必要条件是。,.11/3，则c；d时，A2O。3．设Ad0102370;012012。3581001001100k123a005．030;0120b0；00813100ca001230b0012。00c131二、设(2,1,3)，(1,2,3)，计算：AT；BT及A4（k为正整数）。（提示：用矩阵乘法的结合律A2(T)(T)T(T)BA）谢谢阅读,.1210,验证(1)ABBA;(2)(AB)2A22ABB2是否成立？三、设A,B131211,求所有与A可交换的矩阵。四、若A,B满足ABBA，则称B和A可交换。设A01,.五、设f(x)x2x2，记f(A)为方阵A的多项式，即f(A)A2A2E，若感谢阅读12f(A)A，计算。101113六、把向量方程x10x21x320改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。2302习题六对称矩阵与分块矩阵姓名 学号 班级,.一、1）设A、B为n阶方阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵。精品文档放心下载2）设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA。感谢阅读二、设为n维列向量，且T1，设AE2T,证明A是对称矩阵且A2E.谢谢阅读,.1a，计算A2,A3,Ak。三、设A01,.10210,B11，按照不同的分块方式计算乘积AB：四、设A21101（1）A不分块，B按列分块；（2）A按行分块，B不分块；（3）A按行分块，B按列分块。谢谢阅读,.习题七行列式的性质与计算姓名 学号 班级一、填空题aaa3a3a3a1112133132331．设aaa2，则2a2a2a。212223212223aaaaaa313233111213ab02．设ba00，则a，b。101二、选择题,.1．设A为n阶方阵，若A经过若干次初等变换变成矩阵B，则下面的结论正确的是（）。(A)|A||B|；(B)若|A|0,则必有|B|0；(C)|A||B|；(D)若|A|0,则必有|B|0。2．若A，B为同阶方阵，则有（）(A)(AB)kAkBk；(B)|AB||AB|；(C)E2(AB)2(EAB)(EAB)；(D)|AB||A||B|。三、计算下列行列式：abacae2443（2）1621（1）bccddebfcfef352041203,.aba000baba00(3)0bab00Dn（提示：按一行或一列展开，求递推公式）000aba000bab,.cos100012cos100四、用数学归纳法证明：Dcosnn0002cos100012cos习题八逆矩阵（一）姓名 学号 班级一、填充题,.1．设A为3阶方阵，且A2，则2A1，A*，(A*)*，(A*)1；3A12A*。2021121；2．设A1011，则A=。2001On1233．设A023，则(A*)1。003AC1。4．如A,B分别是m阶和n阶可逆矩阵，C为mn阵，则0B5．设A＝113，且611。231AE，则A二、选择题1．设n阶方阵A,

B,

C

满足BCA

E，则下面的结论正确的是（

）。(A)ACB

E

；

(B)

CBA

E；(C)CAB

E；

(

D)

BAC

E。2．设A,B

为n阶方阵，则（

）(A)

若A,B

都可逆，则AB必可逆；

(B)

若A,B

都不可逆，则AB必不可逆；(C)

若AB可逆，则A,B

都可逆；

(D)

若AB不可逆，则A,B

都不可逆。3．已知A为n阶方阵，若有n阶方阵B使AB精品文档放心下载

BA

A

则（

）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；(C)B1A；（D）不一定。谢谢阅读4．若A,B为同阶方阵，且满足ABO，则有（）（A）AO或BO；（B）|A|＝0或|B|＝0；,.（C）(AB)2A2B2； （D）A与B均可逆；感谢阅读三、求下列矩阵的逆矩阵11132（1）210（2）14110110123120四、解矩阵方程X。451001,.习题九 逆矩阵(二)姓名 学号 班级,.30B一、设矩阵A,B满足如下关系式ABA2B，其中A，求矩阵。23,.二、设n阶矩阵A和B满足ABAB，证明1）AE为可逆矩阵；2）ABBA。感谢阅读三、设n阶方阵A满足方程A23A2E0，求A1,(AE)1。谢谢阅读,.xxx01234x2xx3四、用克莱姆法则求解线性方程组1239x3xx28123,.习题十 秩与初等变换姓名 学号 班级一、选择题1．若A是n阶可逆矩阵，则（ ）（A）若ABCB，则AC （B）A总可以经过初等行变换化E。精品文档放心下载（C）对矩阵(AE)实施若干次初等变换，当A变为E时，相应地正变为A1。谢谢阅读,.A（D）对矩阵实施若干次初等变换，当A变成E时，相应地变为A1。谢谢阅读Eaaaaaa1112132122232．设Aaaa，Baaa，212223111213a31a32aaaaaaa33311132123313010100P100，P010，则恒有（）10012101（A）APPB（B）APPB（C）PPAB（D）PPAB122112213．设A,B均为n阶非零矩阵，且ABO，则R(A)和R(B)满足（）。（A）必有一个等于零；（B）都等于n；（C）一个小于n，一个等于n；（D）都小于n。4．设mn阶矩阵Ar）。的秩为，则下列结论错误的是（（A）A有r阶子式非零；（B）A的所有r+1阶子式为零；（C）A没有r阶子式为零；（D）R(A)min{m,n}。5．方程组AX0必（）。3551（A）无解；（B）仅有零解；（C）有非零解； （D）以上都不对。二、填空题00110aaa001111231．010bbb010。123100c100cc1231002．设A是43矩阵，r(A)3,B230,则r(AB)______。455,.ababab11121n3．如Aababab，其中ai,bj0，i,j1,2,,n，则r(A)=21222n。abababn1n2nn4．设A为3阶方阵，且满足A2AE，则R(AE)。a1的秩是1，则a=。5．已知矩阵A1a3102三、用初等变换求矩阵A1121的秩并给出A的一个最高阶非零子式。1344321315四、用行初等变换求矩阵的逆矩阵323,.习题十一 方程组解的判断姓名 学号 班级一、填空题1．设A是mn矩阵，则齐次线性方程组AX0只有零解的充要条件感谢阅读是 ，有非零解的充要条件是 。2．设A是mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件谢谢阅读是

，有无穷多解的充要条件是

，无解的充要条件是

。3.设A为n阶方阵，则非齐次方程组AX精品文档放心下载

b有唯一解的充要条件为|A|

；齐次线性方程组AX

0有非零解的充要条件为|A|

；只有零解的充要条件为|A|

。,.x2x2xx012452xxx0二、求解线性方程组x4123x2x3x7x2x012345axxx0123三、a,b取何值时，方程组xbxx0有非零解。123x2bxx0123,.xxx3123四、设有非齐次线性方程组xxx2123xxx2123无穷多解？

为何值时，此方程组有唯一解、无解或,.,.习题十二 线性相关与线性无关姓名 学号 班级一、填空题1．设,,,线性无关，则它的任何一个部分组线性。12r2．设,,,线性相关，则,,,,,线性。12r1rr1s3．设有m维列向量组,,,，记矩阵A(,,,)，则,,,线性相关的12n12n12n充分必要条件是（用矩阵的秩表示）。4．若向量组(t,1,1),(1,t,1),(1,1,t)线性相关，则t=________。123二、选择题1．已知可由,,线性表示，不能由,线性表示，则下面结论正确的是（）。12312（A）能由,,线性表示，也能由,线性表示；31212（B）能由,,线性表示，但不能由,线性表示；31212（C）不能由,,线性表示，也不能由,线性表示；31212（D）不能由,,线性表示，但能由,线性表示。312122．设,,线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。123（A）,,；（B）,,；123111213（C）,,；（D）,,。1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 3 1,.101三、写出向量组A:0,1,1对应的矩阵，并把式子写成矩123123111阵乘积的形式。四、设(a,2,10)T,(2,1,5)T,(1,1,4)T,(1,1,b)T。当a,b为何值时，1）123不能由,,线性表示；2）可以由,,唯一地线性表示；3）可以由,,线123123123性表示，但表示法不唯一。,.五、证明设向量,,,线性无关， ,,,，则感谢阅读1 2 r 1 1 2 1 2 r 1 2 r向量组,,,也线性无关。1 2 r,.习题十三 极大无关组与秩姓名 学号 班级一、填空题1．能互相线性表示的两个向量组，称为 向量组。2．在向量组,,, 中，若存在r(rm)个向量,,, ，它们满足谢谢阅读1 2 m i1 i2 ir① ，② 则称,,,为向量组,,的谢谢阅读i1 i2 ir 1 m极大无关组。3．向量组的极大无关组所含向量个数，称为 。4．任一向量组与其极大无关组是 向量组。5．设向量组A:,,可由向量组B:,,,线性表示，则向量组A的秩12r12s向量组B的秩；若向量组A与向量组B等价，则它们的秩 。精品文档放心下载101111二、已知向量组A:0,1,0,B:3,1,1,112030112131011311证明向量组B能由A线性表示，但向量组A不能由B线性表示。感谢阅读,.,.三、设有向量组1(2,1,4,3),2(1,1,6,6),3(1,2,2,9),4(1,1,2,7)，感谢阅读(2,4,4,9)，求该向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量组用这个极大无关组线性感谢阅读5表示。,.四、已知，，3及，2，3，1211212313证明：秩(,,)=秩(,,)。123123习题十四线性相关性（补充）姓名 学号 班级一、证明题,.1）设,,,是一组n维向量，已知n维单位坐标向量,,,能由12n12n它们线性表示，证明,,,线性无关。12n2）设,,,是一组n维向量，则,,,线性无关任一n维向量12n12n可用它们线性表示。,.3）设A,B是mn矩阵，且R(A)r,R(B)r，则R(AB)rr。1212,.4）设(a,a,,a)Ti1,2,,n是一组n维列向量，则,,,线性无关行i1i2ini12n列式A,,,0。12n,.习题十五 向量空间、基和维数姓名 学号 班级一、填空题1．设V是实数域上的向量空间， ,,,是V中一组向量，如果,,,满足感谢阅读1 2 m 1 2 m① ；② 。则称,,,是V的一组基，基中感谢阅读1 2 m所含向量的个数称为 。2．设,,, 是向量空间V的一组基，对于任意的V，可以用,,,唯一地谢谢阅读1 2 m 1 2 m线性表示为kkk，称有序数组(k,k,,k)为在基,,,下谢谢阅读1 1 2 2 m m 1 2 m 1 2 m的 。,.3．设,,,与,,,是向量空间V中的两组基，若它们满足12m12m(,,L,)(,,L,)A（其中A(a)），称m阶矩阵A12m12mijmm为。4．设,,,与,,,是向量空间V的两组基，由前一组基到后一组基的过渡矩阵12m12mV，且在旧基与新基下的坐标分别为：X(x,x,,x)T和Y(y,y,,y)T为A，12m12m则X。二、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域R上的向量空间：谢谢阅读（1）V{(x,x,x)|xxx1}；（2）V{(x,x,x)|xxx0}。11231232123123,.三、试证明向量(1,1,0)(0,0,2)(2,3,2)构成R3的一组基，并求出(5,9,2)1，2，3在基,,下的坐标。1 2 3四、在R3中取两组基(1,3,5)，(6,3,2)，(3,1,0)；(3,7,1)，1231(6,0,1),(2,3,5)。求由基,,到基,,的过渡矩阵和坐标变换公式。2 3 1 2 3 1 2 3,.习题十六方程组解的结构,.姓名 学号 班级一、选择题1．设Ax0是Axb所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是（ ）。感谢阅读（A）若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解；精品文档放心下载（B）若Axb有无穷多组解，则Ax0只有零解；精品文档放心下载（C）若Axb有无穷多组解，则Ax0有非零解；感谢阅读（D）若Ax0有非零解，则Axb有无穷多组解。谢谢阅读2．若,是某非齐次线性方程组的两解向量，则（）12（A）是它的解向量（B）是它的解向量1212（C）是其对应齐次方程组的解向量（D）是其对应齐次方程组的解向量12123．若,,是齐次方程组Ax0的基础解系，则下列答案中也是基础解系的为（）123（A）,,（B）,,的任意三个线性组合122331123（C）,,（D）,2,3112123111xx2xx01234二、求齐次线性方程组2xxxx0的一个基础解系，并写出相应的通解。12342x2xx2x01234,.三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知,,是其三个解向量，且感谢阅读1 2 3(2,1,4,5)T，(3,4,5,6)T，求该方程组的通解。1234x2xx2123四、求解非齐次线性方程组3xx2x10。12311x3x812,.五、设*是非齐次线性方程组Axb的一个解，,,,是其对应的齐次线性方程组的一12nr个基础解系，证明：1）*,,,L,线性无关；2）*,*,*,,*线性无关。12nr12nr,.习题十七内积、特征值与特征向量姓名 学号 班级一、选择题1．以下说法正确的是（ ）A．正交向量组必定线性无关； B．线性无关向量组必定正交；感谢阅读C．正交向量组不含零向量； D．线性无关向量组不含零向量。精品文档放心下载2．正交矩阵的行列式为（

）A．1；

B．1；

C．0

；

D．1或1。3．设A为正交矩阵，则下列矩阵中，不是正交矩阵（其中k是不为1的正整数）的是（谢谢阅读

）A．A1；

B．AT

；

C．Ak；

D．

kA。二、填空题1．n阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量；若,,,是n阶方阵A的12nnn。n个特征值，则，iii1i12．已知三阶矩阵A的三个特征值分别为1,2,3，则A，(2A*)1。3．设A为n阶方阵，Ax0有非零解，则A必有一特征值为。,.4．若矩阵A与B相似，则A与B的特征值谢谢阅读

；n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是

。5．设是矩阵A的一个特征值，X是A的对应于的一个特征向量，f(A)是矩阵A的一个多精品文档放心下载项式矩阵，则f(A)的特征值是 ，其相应的一个特征向量是 。谢谢阅读21的逆矩阵A1的特征向量，则k。6．已知(1,k)T是A12三、设,,是R3中一组标准正交基，证明：1(22)，123131231(22)，1(22)也是R3中一组标准正交基。2312323123四、用Schmidt正交化方法，将下列R3的基1(1,1,1)，2(0,1,1)，3(1,0,1)化为标准正交基，并求向量(1,1,0)在此标准正交基下的坐标。感谢阅读,.122311五、求矩阵的特征值和特征向量。221,.六、如果n阶矩阵A满足A2A，证明矩阵A的特征根只能是0或1。感谢阅读习题十八 相似矩阵与对角化姓名 学号 班级一、选择题1．如果矩阵A与B相似（AB），则（ ）感谢阅读A．存在可逆矩阵P，使得APBP1；B．存在正交矩阵U，使AU1BU；感谢阅读C．存在可逆矩阵P，使APBP；D．存在可逆矩阵P,Q，使AP1BQ。2．设n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则下面说法正确的是（）A．存在正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵；谢谢阅读B．不一定存在正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵；谢谢阅读C．不存在正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵；谢谢阅读D．只有当矩阵A为实矩阵时，存在正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵。谢谢阅读,.320二、判断矩阵A131是否与对角阵相似。571,.1三、设3阶方阵A的特征值为1，0，1，对应的特征向量依次为2，12312222，31，求A。212,.200100四、设矩阵A与矩阵B相似，其中A2x2，B020。求x和y的值。31100y习题十九 实对称矩阵的性质姓名 学号 班级一、填空题1．实对称矩阵的特征值一定是 ，其不同的特征值所对应的特征向精品文档放心下载,.量。2．已知(a,1,1)T，(1,b,0)T，(1,1,2)T是三阶实对称阵的三个不同特征值所123对应的特征向量，则a，b。3．设三阶实对称矩阵A的特征值为2,1，对应于2的特征向量123111，则属于特征值1的所有特征向量为。1231二、设A为三阶实对称矩阵，8,2是其特征值，已知对应8的特征向量为1231(1,k,1)T，对应2的一个特征向量为(1,1,0)T，试求参数k及2的123223另一个与2正交的特征向量和矩阵A。,.211三、对实对称矩阵A121，求正交矩阵P和对角阵，使得P1AP。112,.四、设n阶实对称矩阵A的特征值i0(i1,2,,n)，证明存在特征值非负的实对称矩阵B，使得AB2。感谢阅读,.习题二十 二次型及其标准形姓名 学号 班级一、填空题1241．矩阵A221对应的二次型是，二次型413f(x,x,x)2x26x24x22xx2xx所对应的矩阵是12312312132．二次型f(x,x,x)4xx2xx2txx的秩为2，则t1231213233．n阶矩阵A与正交矩阵合同，则其秩R(A)。

。。2104．已知二次型的矩阵为A112，且此二次型的正惯性指数为3，则k的取值范围02k是。5．二次型f(x,x,x)x2x23x2的秩为，正惯性指数为，123123负惯性指数为。a2b6．设A221是正定矩阵，则a,b,c满足条件。4c1,.7．设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2,,n，则当t 时，tEA为正定矩阵。感谢阅读8．实对称矩阵A正定的充要条件是其特征值全部 。谢谢阅读xyyy1123写成矩阵形式并求由变量x,x,x到变量y,y,y的变量二、把变量代换xy2y2y2123123123xyy2y3123代换。xyyyzz2，求由变量z,z到变量x,x的变量代换。三、已知变量代换112和11xy2yyzz1212212212,.四、用正交变换将二次型f(x,x,x)2x25x25x24xx4xx8xx化为标准形。123123121323,.习题二十一 正定二次型与正定矩阵姓名 学号 班级一、已知二次型f(x,x,x)5x25x2cx22xx 6xx6xx的秩为2，求系数c及感谢阅读1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3此二次型所对应矩阵的特征值。,.二、已知二次型f(x,x,x)2x23x23x22axx(a0)，通过正交变换化为标准形12312323y22y25y2，求参数a及所用正交变换矩阵。精品文档放心下载1 2 3,.三、判断二次型f(x,x,x)x23x29x22xx2xx2xx的正定性.123123121323,.四、设A是n阶正定矩阵，证明AE1。精品文档放心下载五、设A是n阶实对称矩阵，试分别确定实数t的取值范围，使得AtE是（1）正定矩阵；（2）精品文档放心下载负定矩阵；（3）不定矩阵；（4）可逆矩阵。,.试卷一一、选择题（每小题3分，共15分）1．设A是n阶方阵，且满足A2E，则下列结论正确的是( )谢谢阅读（A）若AE，则AE不可逆；（B）AE可逆；感谢阅读（C）若AE，则AE可逆；（D）AE可逆。2．设向量组,,线性无关，,,线性相关，则()123234（A）能被,线性表示；（B）不能被,线性表示；423423（C）能被,,线性表示；（D）不能被,,线性表示。123441233．A,B为4阶矩阵，A2，B2，则A*B12AT()（A）32；（B）64；（C）32；（D）16。4．齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是()A）A的任意两个列向量线性相关；（B）A中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（C）A的任意两个列向量线性无关；（D）A中任一列向量都是其余列向量的线性组合。谢谢阅读5.设A为mn矩阵，b0，且rAn，则线性方程组Axb精品文档放心下载（A）有唯一解； （B）有无穷多解； （C）无解； （D）可能无解。感谢阅读二、填空题（每小题3分，共15分）,.垂直，且3,4)2)。1．已知与，则(3(2.设,,是非齐次线性方程组Axb的解，，则是123123Axb的解的充分必要条件为t，是齐次线性方程组Ax0的解的充分必要条件为t。1a10003.设矩阵a1b相似于对角矩阵010，则a，b。1b00214.设A为n阶方阵，且A26A5EO，则A的特征值可能取值为。10k。5．设k为正整数，则=31三、计算题（共58分）1．（6分）求通过点A(5,7,4)且在x,y,z轴上截距相等的平面方程。2．（6分）求过点(1,4,3)且与直线2x4yz10和x2y1z3x3y50412都垂直的直线方程。110213，且AEC1BTCTE，求B。3．（8分）已知A011，C021001002xaaLa4．（8分）计算n阶行列式DaxaLa。MMMMaaaLx5．（8分）设向量组(1,0,1,2)，2(2,1,0,3)，(1,1,1,1)，(3,2,1,4)，134(2,1,0,4)，试求这个向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无感谢阅读5关组线性表示。,.xax2x11236．（10分）已知线性方程组xxax2，问：a取何值时方程组有无穷多解，1235x5x4x1123并求其通解。7．（12分）已知三元二次型fxTAx经正交变换xQy化为标准形y2y25y2，1231且已知A对应特征值5有一个特征向量1，试求正交变换xQy。1感谢阅读四、证明题（共12分）1．（6分）设,,,是一组n维向量，则,,,线性无关任一n维向量精品文档放心下载1 2 n 1 2 n可用它们线性表示。2．（6分）设为n维列向量，且T1，矩阵AET。证明：行列式A0。谢谢阅读试卷二一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）精品文档放心下载垂直，且3,))=________。1．已知与4，则((x2x2x02．设B是三阶非零矩阵，B的每一列向量都是方程组1230的解,则2xxtx1233xxx0123R(B)=_____。3．设3阶方阵A的三个特征值为1，2，1，则|A____。2E|20014．设矩阵2x2相似于矩阵2，则x_____，y____。311y5．二次型f(x,x,x)xx2xx2xx2的秩为_________。123122331二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）感谢阅读,.A1设A为33矩阵，|A|2，把A按行分块为AA2，其中Aj(j1,2,3)是A的感谢阅读A32A第j行，则行列式33A1值为()。2A1A．6；B.-6；C.-54；D.542.设向量组的秩为r,,,,的秩为1,,,212s112t,,,的秩为r,则下列不正确的是（）。r,3,,,,212s12t3A．若(1)可由(2)线性表示，则rr；B.若(2)可由(1)线性表示，则rr；2313C.若rr，则rr；D.若rr，则rr。132123123．设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再将B的第2列加到第3列得C，则满足APC的可逆矩阵P为（）。010010010011A．100；B.101；C.100：D．1001010010110014．设矩阵A

的行向量线性无关，则下列错误的是（

）45A．ATX

0只有零解；

B.AT

AX

0必有无穷多解；C.

b,ATX

b有唯一解；

D.

b,AX

b总有无穷多解。5．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（感谢阅读

）。A．充分必要条件；

B.充分而非必要条件；C.必要而非充分条件；

D.既非充分也非必要条件。三、计算题（共58分）,.1．（6分）求过点M(0,1,3)且垂直于平面3x2yz90的直线方程。精品文档放心下载2．（6分）求垂直平面z0，并通过从点(1,1,1)到直线yz10的垂线的平面方x0精品文档放心下载程。2203．（8分）设n阶矩阵A和B满足ABAB，已知B260，求矩阵A。00224434．（8分）计算行列式：1621。3520412035．（10分）已知T,T，T1，11，11，，1111，，1230，，2T；问为何值时：（1）可由,,线性表示，且表示法唯一；（2）不可由,,线性表示；123123（3）可由,,线性表示，且表示法不唯一，并写出一般表示式。1236．（10分）设(1,1,4,2),(1,1,2,4),(3,2,3,11),(1,3,10,0),求该1234向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。谢谢阅读7．（10分）已知3阶实对称矩阵A的特征值为8，2，且属于8的1231特征向量为(1,k,1)T,属于2的特征向量(1,1,0)T