2022-2023学年江苏省淮安九年级（下）期中数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年江苏省淮安九年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年江苏省淮安某校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是()

A.B.C.D.

2.某种花粉的直径约为米，则数据用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

3.今年是农历兔年，下面是兔子的剪纸图案，其中是轴对称图形的是()

A.B.

C.D.

4.下列计算正确的是()

A.B.

C.D.

5.超市里五种型号的书包价格分别为，，，，单位：元，降价促销后，每种型号书包价格都降了元降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是()

A.众数B.中位数C.方差D.平均数

6.一元二次方程的根的情况是()

A.有两个实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根

7.如图，是上三点，若，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

8.若抛物线过点，，则的值不可以是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

10.因式分解：______．

11.一次函数的图象向上平移个单位，平移后函数图象经过，则的值为______．

12.计算的结果为______．

13.已知圆锥的高是，底面圆半径为，则该圆锥的侧面展开图面积为______．

14.从数字，，中任选两个数组成一个两位数，其中个位数比十位数大的概率是______．

15.如图，、、均在反比例函数图象上，过该三点分别作坐标轴垂线，横轴上垂足为、、，若、是的三等分点，则图中阴影部分面积为______用含的式子表示．

16.如图，中，，，中，，，，过作，垂足为，则的长为______．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：；

化简：．

18.本小题分

解不等式组．

19.本小题分

如图，在平行四边形中，过作，交于点，过作，交于点．

求证：．

20.本小题分

双减政策实施后，学校为了解九年级学生每天晚上完成书面作业所需时间的情况，在九年级随机抽取若干名学生就某一天情况进行调查，将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表小于等于分钟；大于分钟小于等于分钟：大于分钟小于等于分钟；大于分钟请根据图中信息，解答下列问题：

本次调查的人数是______．

补全条形统计图；

扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是______；

若该校九年级共有名学生，则估计九年级在这一天晚上作业时间大于分钟的人数是多少？

21.本小题分

第一个布袋中有个白球、个红球，第二个布袋中有个白球、个红球，这些球除颜色外无其他差别．

若从第一个布袋中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是______；

若分别从每个布袋中随机取出个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好个白球、个红球的概率．

22.本小题分

如图，中，，用尺规在图中作出正方形，其中点在边上，点在边上，点在边上．

23.本小题分

如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值参考数据：，，

24.本小题分

如图，在中，为的直径，为上一点，是弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．

求证：是的切线；

若，，求的长．

25.本小题分

某超市购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品，需元：购进件甲商品和件乙商品，需元．

甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

设甲商品的销售单价为单位：元件，在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量单位：件与销售单价之间存在一次函数关系，、之间的部分数值对应关系如表：

销售单价元件

日销售量件

请写出当时，与之间的函数关系式；

在的条件下，设甲商品的日销售利润为元，当甲商品的销售单价元件定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

26.本小题分

数学兴趣小组同学们对二次函数为正数进行如下探究：

同学们在探究中发现，该函数图象除与轴交点不变外，还经过一个定点，请写出点坐标______；

有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；

若抛物线与轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出的值．

27.本小题分

如图，已知菱形中，，，点为边上一动点，射线交外角平分线于点，连接、．

当点与点重合时，的度数为______；

当时，求的周长；

当为中点时，连接，求的和；

若，请直接写出的值为______用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，

所以的倒数是．

故选：．

根据倒数的定义进行解答即可．

本题考查的是倒数，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．

2.【答案】

【解析】解：，

故选：．

将一个数表示成的形式，其中，为常数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．

本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】

【解析】解：原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.原图是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：．

根据轴对称图形的概念求解．

此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．

4.【答案】

【解析】解：，选项不符合题意；

B.，选项不符合题意；

C.，选项不符合题意；

D.，选项符合题意．

故选：．

根据同底数幂的乘法、同底数幂的乘方、完全平方公式和同底数幂的除法法则进行判断即可．

本题考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则和完全平方公式是解决本题的关键．

5.【答案】

【解析】解：降价前书包价格分别为，，，，，

中位数是，

平均数是，

方差是，

没有众数，

降价后书包价格分别为，，，，，

中位数是，

平均数是，

方差是，

没有众数，

综上可知降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是方差．

故选：．

根据众数、中位数、方差、平均数的定义进行计算．

本题考查了众数、中位数、方差、平均数的计算，掌握众数、中位数、方差、平均数的计算方法是关键．

6.【答案】

【解析】解：，，．

，

一元二次方程没有实数根．

故选：．

根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程没有实数根．

本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：如图，连接，

，

是等边三角形，

，

，

故选：．

根据等边三角形的性质以及圆周角定理可得答案．

本题考查圆周角定理，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．

8.【答案】

【解析】解：把、分别代入得，

得，

解得，

所以，

所以的值不可以是．

故选：．

把点和点坐标分别代入解析式得到方程组，消去得到可解得，然后利用得到的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．

9.【答案】

【解析】解：代数式有意义，

，

解得：．

故答案为：．

直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．

此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

提取公因式即可．

本题考查了分解因式，能找出多项式的公因式是解此题的关键．

11.【答案】

【解析】解：将一次函数的图象向上平移个单位，得

，

直线经过，

，

故答案为：．

根据一次函数图象的平移规律，可得答案．

本题考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变．

12.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案为：．

先把和化简，把分母有理化，然后合并即可．

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

13.【答案】

【解析】解：圆锥的高是，底面圆半径为，

圆锥的母线长为，

该圆锥的侧面展开图面积为．

故答案为：．

根据圆锥的轴载面是直角三角形，利用勾股定理可得母线长，由圆锥的侧面展开图面积为，直接代数可得结果．

此题主要是考查了圆锥的侧面积的求法，能够熟练掌握锥的侧面展开图面积为是解答此题的关键．

14.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中个位数比十位数大的结果有种，

个位数比十位数大的概率是，

故答案为：．

画树状图，共有种等可能的结果，其中个位数比十位数大的结果有种，再由概率公式求解即可．

本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】

【解析】解：由题意，设，

又、是的三等分点，

，

．

故答案为：．

依据题意，设，又、是的三等分点，从而可得，，进而可以得解．

本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并理解．

16.【答案】

【解析】解：由题意，如图，过分别作，，垂足分别为、．

，

、、、四点共圆．

，．

，，

．

．

又，

．

．

，

，．

在中，，，

，．

，

．

．

．

在中，．

．

．

在中，，，

．

故答案为：．

依据题意，由，故A、、、四点共圆，过分别作，，进而利用，，由勾股定理从而求出，可得，又由四点共圆可得，，从而利用、可得的值，最后在中，可得的值．

本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质及含角的直角三角形，解题时要熟练掌握并灵活运用．

17.【答案】解：

；

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；

先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．

本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，，

，

≌，

，

．

【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明≌．

20.【答案】人

【解析】解：本次调查的人数是：人，

故答案为：人；

部分的人数为：人，

补全条形统计图如下：

扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是：，

故答案为：；

名，

答：估计九年级在这一天晚上作业时间大于分钟的人数大约是名．

用部分的人数除以部分所占百分比可得本次调查的人数；

用本次调查的人数减去其他三组人数可得部分的人数，再补全条形统计图即可；

用乘部分所占比例可得扇形统计图部分所对应的圆心角的度数；

用九年级总人数乘组所占比例即可．

本题考查条形统计图、扇形统计图的特点及制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系式解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．

21.【答案】

【解析】解：从第一个布袋中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是，

故答案为：；

画树状图为：

，

共有种等可能的结果数，取出的两个球中恰好个白球、个红球的有种结果，

所以取出的两个球中恰好个白球、个黄球的概率为．

直接利用概率公式计算可得；

先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好个白球、个红球的结果数，然后根据概率公式求解；

本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．

22.【答案】解：如图，正方形即为所求．

【解析】作平分交与点，过点作与点，与点，四边形即可．

本题考查作图复杂作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】解：如图：延长交于点，延长交于点，

由题意得：，，米，，，

米，

米，

在中，，

米，

，

，

米，

在中，，

米，

米，

塔高的值为米．

【解析】延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】证明：是的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

为圆的半径，

是的切线；

解：如图，连接交于，

为的直径，

，

是的中点，

，，

四边形是矩形，

，，

，

，

设，则，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

．

的长为．

【解析】根据已知条件得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；

连接交于，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，，解直角三角形即可得到结论．

本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

25.【答案】解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得：

，

解得：．

甲、乙两种商品的进货单价分别是元件、元件．

设与之间的函数关系式为，将，代入得：

，

解得：．

与之间的函数关系式为．

由题意得：

．

当时，取得最大值．

当甲商品的销售单价定为元件时，日销售利润最大，最大利润是元．

【解析】设甲、乙两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得关于、的二元一次方程组，求解即可．

设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可．

根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．

本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．

26.【答案】

【解析】解：，

当时，函数过定点，即或，

当时，，当时，，

即函数图象除与轴交点不变，还有点为，

故答案为：；

正确，理由：

由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：，

为正数，则，即对称轴在轴右侧，

而，即顶点不在第一象限；

由可大致画出抛物线的图象如下：

设抛物线和轴的另外一个交点为，抛物线对称轴交轴于点，顶点为，

令，则或，

则点的坐标为，则，

由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，

则，

即，

解得：舍去