【解析】人教A版（2023） 必修一2.2 基本不等式

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、单选题

1．（2023高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】

,

当且仅当时取等号

故答案为：B

【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.

2．（2023高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（）

A．5B．6C．7D．9

【答案】D

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.

故答案为：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．（2023高二下·六安月考）设、、，，，，则、、三数（）

A．都小于B．至少有一个不大于

C．都大于D．至少有一个不小于

【答案】D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，

故选D.

【分析】利用基本不等式计算出，于此可得出结论.

4．（2023高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（）

A．8B．6C．D．

【答案】C

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：C

【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．（2023高一下·大庆期末）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数m的取值范围

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】正实数满足则=4，

当且仅当，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案为：B．

【分析】不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（）

A．8B．6C．4D．2

【答案】C

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故答案为：C.

【分析】由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.

7．（2023·杭州模拟）如果正数满足，那么（）

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

【答案】A

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】，

当且仅当等号成立，

即，

当且仅当等号成立，

且等号成立

故答案为：A

【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.

8．（2023·成都模拟）已知实数满足，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

【分析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.

二、多选题

9．（2023高二上·徐州期末）若，则下列不等式,其中正确的有（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题：

由基本不等式可得：，所以A符合题意；

当时，，所以B不符合题意；

，所以，

即，所以C符合题意；

因为，所以

即，所以D符合题意.

故答案为：ACD

【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.

10．（2023高二上·烟台期中）下列说法正确的是（）.

A．若，，则的最大值为4

B．若，则函数的最大值为-1

C．若，，则的最小值为1

D．函数的最小值为9

【答案】B,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】对于，取得到，错误；

对于，，时等号成立，正确；

对于，取满足等式，此时，错误；

对于，

，当时等号成立，正确.

故答案为：

【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除和利用均值不等式计算得到答案.

11．（2023高二上·菏泽期中）设，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】A.当时，成立，A符合题意；

B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，B不正确；

C.当时，，所以，C符合题意；

D.，所以，等号成立的条件是当且仅当，即，D符合题意.

故答案为：ACD

【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.

12．（2023高一上·葫芦岛月考）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B,C

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】∵正数，满足，

∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.

∵的解集为，∴.

故答案为：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，结合选项即可判断．

三、填空题

13．（2023·天津）已知，且，则的最小值为．

【答案】4

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：4

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

14．（2023·江苏）已知，则的最小值是．

【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．（2023高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为.

【答案】16

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】依题意，

当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.

故答案为：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．（2023高二下·台州期末）已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围．

【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】因为，当且仅当，

即时等号成立，所以，解得.

故答案为：

【分析】利用“1”的替换求出的最小值，再解不等式即可.

17．（2023高二下·杭州期末）若正数a，b满足，则ab的最小值是．

【答案】25

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】依题意为正数，且，

所以，

即，

解得，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值是25.

故答案为：25

【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得的最小值.

18．（2023高一下·嘉兴期中）已知，，，则的最小值为．

【答案】12

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由得出

令，，则

当且仅当，即时取等号

的最小值为12

故答案为：12

【分析】利用换元法，令，得出，结合基本不等式，即可得出的最小值.

19．（2023高二下·宜宾月考）已知，若点在直线上，则的最小值为.

【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】在上，

，，

，

设，则，

，

当，即时，“=”成立，

，

即的最小值为，故答案为.

【分析】由在直线上，可得，设，则，原式化为，展开后利用基本不等式可得结果.

20．（2023高一上·辽宁月考）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是.

【答案】a≤18

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

当且仅当，时取等号．

不等式恒成立，

所以．

故答案为：．

【分析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．

四、解答题

21．（2023·徐州模拟）已知，，且，

求证：．

【答案】证明：设，，因为，，所以，，且，

.

当且仅当，即时，上述等号成立，原命题得证．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】设，，可得出，然后利用基本不等式可证得.

22．（2023高一下·宁波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

【答案】（1）解：法一：，

因此，∴

因此的最大值为，当且仅当时取等号

法二：∵

∴，当且仅当时取等号

因此的最大值为

（2）解：

当且仅当，即，时取等号

因此的最小值为16

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）利用结论,(当且仅当时等号成立)得到，也可对平方变形处理.（2）把与所求相乘，构造和的形式用基本不等式求最值.

23．（2023·海南模拟）已知都是正数，求证：

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：∵，∴，当且仅当时等号成立，

同理可得，，

∴，即；

（2）解：因为，所以，

当且仅当时等号成立，

同理可得，，

∴，

即.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）因为，同理可得，，三个式子相加，即可得到本题答案；（2）因为，同理可得，，，三个式子相加，即可得到本题答案.

24．（2023高二下·柳州模拟）已知正实数满足.

（1）求的最小值.

（2）证明：

【答案】（1）解：因为，所以

因为，所以（当且仅当，即时等号成立），

所以

（2）证明：

因为，所以

故（当且仅当时，等号成立）

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函数的最大值；

（2）已知(正实数集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

【答案】（1）解：,,故．

．

,

,

当且仅当,即或(舍)时,等号成立,

故当时,．

（2）解：,,,

．

当且仅当,且,即时等号成立,

∴当,时,．

（3）解：,

当且仅当,即,时取最大值,

所以有最大值．

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【分析】(1)将再对进行基本不等式求最值即可.(2)利用,再展开用基本不等式即可.(3)利用在中拼凑出再利用基本不等式即可.

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、单选题

1．（2023高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（）

A．B．C．D．

2．（2023高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（）

A．5B．6C．7D．9

3．（2023高二下·六安月考）设、、，，，，则、、三数（）

A．都小于B．至少有一个不大于

C．都大于D．至少有一个不小于

4．（2023高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（）

A．8B．6C．D．

5．（2023高一下·大庆期末）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数m的取值范围

A．B．

C．D．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（）

A．8B．6C．4D．2

7．（2023·杭州模拟）如果正数满足，那么（）

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

8．（2023·成都模拟）已知实数满足，则的最小值为（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．（2023高二上·徐州期末）若，则下列不等式,其中正确的有（）

A．B．C．D．

10．（2023高二上·烟台期中）下列说法正确的是（）.

A．若，，则的最大值为4

B．若，则函数的最大值为-1

C．若，，则的最小值为1

D．函数的最小值为9

11．（2023高二上·菏泽期中）设，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·葫芦岛月考）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（）

A．B．

C．D．

三、填空题

13．（2023·天津）已知，且，则的最小值为．

14．（2023·江苏）已知，则的最小值是．

15．（2023高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为.

16．（2023高二下·台州期末）已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围．

17．（2023高二下·杭州期末）若正数a，b满足，则ab的最小值是．

18．（2023高一下·嘉兴期中）已知，，，则的最小值为．

19．（2023高二下·宜宾月考）已知，若点在直线上，则的最小值为.

20．（2023高一上·辽宁月考）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是.

四、解答题

21．（2023·徐州模拟）已知，，且，

求证：．

22．（2023高一下·宁波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

23．（2023·海南模拟）已知都是正数，求证：

（1）；

（2）.

24．（2023高二下·柳州模拟）已知正实数满足.

（1）求的最小值.

（2）证明：

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函数的最大值；

（2）已知(正实数集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】

,

当且仅当时取等号

故答案为：B

【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.

2．【答案】D

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.

故答案为：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．【答案】D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，

故选D.

【分析】利用基本不等式计算出，于此可得出结论.

4．【答案】C

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：C

【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．【答案】B

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】正实数满足则=4，

当且仅当，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案为：B．

【分析】不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．

6．【答案】C

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故答案为：C.

【分析】由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.

7．【答案】A

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】，

当且仅当等号成立，

即，

当且仅当等号成立，

且等号成立

故答案为：A

【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.

8．【答案】A

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

【分析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.

9．【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由题：

由基本不等式可得：，所以A符合题意；

当时，，所以B不符合题意；

，所以，

即，所以C符合题意；

因为，所以

即，所以D符合题意.

故答案为：ACD

【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.

10．【答案】B,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】对于，取得到，错误；

对于，，时等号成立，正确；

对于，取满足等式，此时，错误；

对于，

，当时等号成立，正确.

故答案为：

【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除和利用均值不等式计算得到答案.

11．【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】A.当时，成立，A符合题意；

B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，B不正确；

C.当时，，所以，C符合题意；

D.，所以，等号成立的条件是当且仅当，即，D符合题意.

故答案为：ACD

【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.

12．【答案】B,C

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】∵正数，满足，

∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.

∵的解集为，∴.

故答案为：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，结合选项即可判断．

13．【答案】4

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：4

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

14．【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．【答案】16

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】依题意，

当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.

故答案为：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】因为，当且仅当，

即时等号成立，所以，解得.

故答案为：

【分析】利用“1”的替换求出的最小值，再解不等式即可.

17．【答案】25

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】依题意为正数，且，

所以，

即，

解得，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值是25.

故答案为：25

【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得的最小值.

18．【答案】12

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】由得出

令，，则

当且仅当，即时取等号

的最小值为12

故答案为：12

【分析】利用换元法，令，得出，结合基本不等式，即可得出的最小值.

19．【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】在上，

，，

，

设，则，

，

当，即时，“=”成立，

，

即的最小值为，故答案为.

【分析】由在直线上，可得，设，则，原式化为，展开后利用基本不等式可得结果.

20．【答案】a≤18

【知识点】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

当且仅当，时取等号．

不等式恒成立，